【本帖目錄】

2樓：同時的相對性

3樓：同地的相對性
4樓：洛倫茲變換的逆變換
5樓：不同參照系下測量物體長度
6~7樓：具有加速運動差異的兩個觀測者分別觀測到的對方的加速度不相等

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同時的相對性：
在某一參照系K中看來，同時發生於不同地點的兩個事件，在另一個相對K運動的參照系K'中看來，這兩個事件不僅不是同地發生的，而且也不是同時發生的，發生時間有先後之分。

原因很簡單：
如果在K系來看，發生在兩個不同地點x1和x2處的兩個事件1號事件（發生在x1）和2號事件（發生在x2）是同時發生的，則1號事件發生時刻t1和2號事件發生時刻t2是相等的，即t1=t2。
我們通過洛倫茲變換鐘的時間坐標變換T=γ(t-vx/c^2)計算另一個參照系K'中1號事件發生時刻T1和2號事件發生時刻T2就可以得到：
T1=γ(t1-vx1/c^2)
T2=γ(t2-vx2/c^2)
由於t1=t2，所以我們可以都用t1代表，於是上面的式子變成：
T1=γ(t1-vx1/c^2)
T2=γ(t1-vx2/c^2)
可見，T1無法和T2相等，因為x1≠x2。
這就說明，在K系兩個事件同時發生，但在K'系就因為兩者發生地點不同，所以不是同時發生。

在一個參照系K中同一地點發生在不同時刻的兩個事件，在另一相對K運動的參照系K'看來，既不是同時發生，又不是發生於同一個地點。

原因同樣很簡單：
如果在K系來看，發生在兩個不同時刻t1和t2的兩個事件1號事件（發生在t1）和2號事件（發生在t2）是同地發生的，則1號事件發生位置x1和2號事件發生位置x2是相等的，即x1=x2。
我們通過洛倫茲變換中的空間坐標變換X=γ(x-vt)計算另一個參照系K'中1號事件發生位置X1和2號事件發生位置X2就可以得到：
X1=γ(x1-vt1)
X2=γ(x2-vt2)
由於x1=x2，所以我們可以都用x1代表，於是上面的式子變成：
X1=γ(x1-vt1)
X2=γ(x1-vt2)
可見，X1無法和X2相等，因為t1≠t2。

這就說明，在K系兩個事件同地發生，但在K'系就因為兩者發生時刻不同，所以不是同地發生的。

假定K參照係為第一觀察者所在參照系，也叫「相對第一觀測者靜止的參照系」，簡稱「靜止系」，K'係為第二相對觀察者所在參照系，也叫「相對第一觀察者運動系，相對第二觀察者靜止系」，簡稱「運動系」。 
x,y,z,t,v(x)是被觀測物體在「靜止系」的三維空間坐標，時間，三維速度分量。 
X,Y,Z,T,V(X)是被觀測物體在「運動系」的三維空間坐標，時間，三維速度分量。 
γ=1/[(1-u^2/c^2)^(1/2)] >1是「靜止系」中「洛侖茲擴張因子」。
洛倫茲變換X=γ(x-ut)，Y=y，Z=z和T=γ(t-ux/c^2)
其逆變換為：
x=γ(X+uT)，y=Y，z=Z和t=γ(T+uX/c^2)


推導：
根據愛因斯坦速度變換V(X)=[v(x)-u]/([1-v(x)u/c^2)]，由於在xyz-t系看來，XYZ-T系在以速度u運動，而xyz-t 系自認為速度v(x)=0（相對自己靜止），則xyz-t系在XYZ-T系中的速度V(X)就是V(X)=[v(x)-u]/([1-v(x)u /c^2)]=(0-u)/(1-0)=-u

那麼，當我們把XYZ-T系看作靜止系，則它到xyz-t系的洛倫茲變換就是：
γ'=1/[(1-(-u)^2/c^2)^(1/2)]=1/[(1-u^2/c^2)^(1/2)]=γ>1
x=γ'[X-(-u)T]，y=Y，z=Z和t=γ'[T-(-u)X/c^2]，整理得：
x=γ(X+uT)，y=Y，z=Z和t=γ(T+uX/c^2)

下圖中，藍色參照係為運動系XYZ-T，黑色為靜止系xyz-t。

已知在黑色xyz-t系中「同時測量（在t0=0時刻）」得到的兩個位置是x0和x1。
根據洛倫茲空間坐標變換X=γ(x-vt)，x0=0對應XYZ-T系的X0，x1對應XYZ-T系的X1，於是有：
X0=γ(x0-vt0)=γx0=0
X1=γ(x1-vt0)=γx1>x1
我們把在xyz-t系測量x0點的事件叫做事件A，把在xyz-t系測量x1點的事件叫做事件B，則兩個事件發生的時刻分別為ta=tb=t0=0
根據洛倫茲時間坐標變換T=γ(t-vx/c^2)，在XYZ-T系看來，這兩個事件對應的發生時間就是：
Ta=γ(t0-vx0/c^2)=0
Tb=γ(t0-vx1/c^2)=-γvx1/c^2
顯然是滿足「同時的相對性」規則，Ta≠Tb。說明在XYZ-T系，AB兩個事件並不同時發生。

現在我們假定有人在XYZ-T系中同時測量了與X0X1線段相同的一段長度，也就是說，該參照系內在T0時刻同時發生了兩個事件C（測量X0）和D（測量X1），它們的發生時刻分別為Tc=Td=T0

通過洛倫茲變換的逆變換x=γ(X+uT)和t=γ(T+uX/c^2)，可以計算出事件C（發生在Tc=T0=0時刻，位置Xc=X0=0）和事件D（發生在Td=T0=0時刻，位置Xd=X1=0）在xyz-t系中的數據：
xc=γ(Xc+uTc)=0
xd=γ(Xd+uTd)=γX1>X1

前面我們計算過X1=γ(x1-vt0)=γx1>x1
xd=γX1=γ²x1>X1>x1

這就說明了一個重要問題：在xyz-t系中同時測量的一段長度x1-x0=x1 不等於 與「這段長度通過洛倫茲變換 變換到XYZ-T系的長度X1-X0」等長的Xd-Xc長度通過洛倫茲逆變換 變換回xyz-t系的長度xd-xc。

在牛頓理論中，通常我們認為，xyz-t系中一段長度x1-x0變換到XYZ-T系得到長度X1-X0，如果把長度X1-X0變換回xyz-t系，無論是否同時測量兩端，都應該重新得到長度x1-x0。
但相對論中顯然存在「是否同時測量兩端」造成的顯著差異。
如 上圖，相對論中，在XYZ-T系中同樣一段長度X1-X0，如果它是在xyz-T系中同時測量兩端的，那麼它在xyz-t系種對應長度就是x1-x0；如 果X1-X0是在XYZ-T系中同時測量兩端的，那麼它就對應xyz-t系中的長度xd-x0；在不同參照系中同時測量兩端，將對應完全不同的結果。

通過上面的分析我們發現，在一個參照系中同時測量兩端的長度，變換到另一個參照系後得到的長度都是比原來長的，是原來長度的γ>1倍。

解釋：這是相對論中的一個極其重要的結論，甚至可以說最重要也不為過。它直接指出了雙生子佯謬的答案。我們現在就來證明它，我們使用反證法：

我們假設最簡單的加速運動狀況：勻加速直線運動，也就是說，加速度不隨時間改變。
我們希望證明下面這個命題是錯的：
「在 相對於靜止系作勻加速運動的運動系 中看來，靜止系也在作勻加速運動」。

正常的具體計算涉及微積分，考慮到部分讀者可能看不懂，所以我在這裡所進行的列式計算，只使用初等數學，仍然有困難的讀者只看定性討論即可。 

設觀察者A看來，觀察者B在作勻加速直線運動（加速度a是個常量），則A認為B的速度符合方程u=at（為簡化問題，設初速度為0）。 

那麼，按照這個速度u=at，通過洛侖茲變換計算一下B系中A的速度就是（已知條件A在自己參照系速度v(x)=0，A看B參照系速度u=at）： 
V(X)=[v(x)-u]/([1-v(x)u/c^2)] 
=[0-at]/([1-0*at/c^2)] 
=-at 

看看A系中u=at的含義：為簡化問題，我們假設B在A系初位置x0=0，運動開始時間為t0=0，此時A，B位置重合。 
加速運動到t時刻末位置： 
x=0.5at² 
運動距離： 
x-x0=0.5at²-0=0.5at² 
運動時間： 
t-t0=t 
看看在B系的情況，假定B系中A,B重合位置也對應X0=0,T0=0，則對應的 
X=γ(x-at²)（其中γ=1/√(1-a²t²/c²) ） 

則加速運動總位移： 
X-X0=X-0=X 
總時間應該是： 
T-T0=T-0=T 
=γ(t-atx/c²)（其中γ=1/√(1-a²t²/c²) ）

如果在B系看來，A系也在勻加速運動，則按照勻加速直線運動的位移公式有： 
X=0.5AT² 
A=2X/T² 
=2γ(x-at²)/γ²(t-atx/c²)² 
=2(x-at²)/γ(t-atx/c²)² 

代入x=0.5at²得到 
A=-at²/γ(t-a²t³/c²)² 
=-[at²√(1-a²t²/c²)]/(t-a²t³/c²)² 

看來我們無論如何不能消去t 
這說明，動系中的靜系的加速度A不是一個只和常數a和c相關的量，而是一個隨著時間t在改變的量。這直接違反了我們假設「在B系看來，A系也在勻加速運動」的前提，說明我們的前提不成立。 

那麼合理的解釋只有一個，在B系看來，A系在作變加速運動（加速度隨時間改變）。 

這就告訴我們一個很關鍵的結論： 
具有加速運動差異的兩個觀測者分別觀測到的對方的加速度不相等。


正 是由於這個結論的存在，一對生理進程完全相同的孿生兄弟，一個乘坐火箭離開地球再返回，一個一直留在地球上，雖然在火箭看來，地球上的那個兄弟相對於火箭 也有一個加速遠離之後返回的過程，而且「看起來」這個過程與地球上的兄弟看到火箭離開又返回的過程異曲同工，但是由於兩個過程的各個階段的加速度都是不同 的，所以兩個兄弟重新在地球見面時，一定有一個兄弟經歷了「更劇烈」的加速過程（實際上就是火箭里的那位，這裡我們不作具體解釋），因此他實際上平均運動 速度比地面上的兄弟要快，按照動鍾變慢的結論我們就可以知道，火箭上的兄弟就像是動鍾，他的衰老變化過程減慢，他返回地面時，看起來比地面上的兄弟衰老得 程度要輕一些，所以地球上的那位看起來比他老。

完畢