下列的擴展在整個複數平面上成立：

雙曲函數的積分

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3b8fdf43f8776dffda67dd3149f2d4cae54e5ff

與指數函數的關係

從雙曲正弦和餘弦的定義，可以得出如下恆等式:

和

複數的雙曲函數

因為指數函數可以定義為任何複數參數，也可以擴展雙曲函數的定義為複數參數。函數和是全純函數。

指數函數與三角函數的關係由歐拉公式給出：

所以:

因此，雙曲函數是關於虛部有周期的，周期為（對雙曲正切和餘切是）。

反雙曲函數是雙曲函數的反函數。它們的定義為：

[img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4037cf41ed88f824727044066df30adc8d80109a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|

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