下列的扩展在整个复数平面上成立：

双曲函数的积分

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3b8fdf43f8776dffda67dd3149f2d4cae54e5ff

与指数函数的关系

从双曲正弦和余弦的定义，可以得出如下恒等式:

和

复数的双曲函数

因为指数函数可以定义为任何复数参数，也可以扩展双曲函数的定义为复数参数。函数和是全纯函数。

指数函数与三角函数的关系由欧拉公式给出：

所以:

因此，双曲函数是关于虚部有周期的，周期为（对双曲正切和余切是）。

反双曲函数是双曲函数的反函数。它们的定义为：

[img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4037cf41ed88f824727044066df30adc8d80109a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|

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