雙曲正割：


雙曲餘割：

這些複數形式的定義得出自歐拉公式。

與三角函數的類比

奧古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科書《Trigonometry and Double Algebra》中將圓三角學擴展到了雙曲線[4]。威廉·金頓·克利福德在1878年使用雙曲角來參數化單位雙曲線。

給定相同的角α，在雙曲線上計算雙曲角的量值（雙曲扇形面積除以半徑）得到雙曲函數，角得到三角函數。在單位圓和單位雙曲線上，雙曲函數與三角函數有如下的關係:

正弦同樣是從x軸到曲線的半弦。
餘弦同樣是從y軸到曲線的半弦（圖中的餘弦是長方形的另一條邊）。

正切同樣是過x軸上單位點（1,0）在曲線上的切線到終邊的長度。
餘切同樣是從y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和曲線連線之長度。
正割同樣是在一個有正切和單位長的直角三角形上，但邊不一樣。
餘割同樣是y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和原點之距離。

角的量值可以從0到無限大，但實際上只會介於到（360度）之間，其餘是的同界角，再繞着圓旋轉，故三角函數可以有周期。雙曲角的量值可以從到無限大，但實際上不會超過（45度），故無法如三角函數一樣有周期性。

與雙曲函數有關的恆等式如下:

加法公式：

二倍角公式：