双曲正割：


双曲余割：

这些复数形式的定义得出自欧拉公式。

与三角函数的类比

奥古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科书《Trigonometry and Double Algebra》中将圆三角学扩展到了双曲线[4]。威廉·金顿·克利福德在1878年使用双曲角来参数化单位双曲线。

给定相同的角α，在双曲线上计算双曲角的量值（双曲扇形面积除以半径）得到双曲函数，角得到三角函数。在单位圆和单位双曲线上，双曲函数与三角函数有如下的关系:

正弦同样是从x轴到曲线的半弦。
余弦同样是从y轴到曲线的半弦（图中的余弦是长方形的另一条边）。

正切同样是过x轴上单位点（1,0）在曲线上的切线到终边的长度。
余切同样是从y轴与过终边和曲线交点的切线与y轴的交点和曲线连线之长度。
正割同样是在一个有正切和单位长的直角三角形上，但边不一样。
余割同样是y轴与过终边和曲线交点的切线与y轴的交点和原点之距离。

角的量值可以从0到无限大，但实际上只会介于到（360度）之间，其余是的同界角，再绕着圆旋转，故三角函数可以有周期。双曲角的量值可以从到无限大，但实际上不会超过（45度），故无法如三角函数一样有周期性。

与双曲函数有关的恒等式如下:

加法公式：

二倍角公式：