较少见的三角函数[编辑]

单位圆上的三角函数，包括了两种正矢（versin、vercos）、余矢（coversin、covercos）、弦函数（crd）、外正割（exsec）和外余割（excsc）

除了上述六种基本函数，史上还有下列几种较少见的三角函数：

弦函数（）：早期的三角函数表纪录的是弦的全长（如托勒密全弦表），对应的三角函数为crd函数。[14]不过今日此函数已被正弦函数取代，已经鲜少使用。
正矢（）、余矢系列函数，与其半值函数（如半正矢系列函数）：早期导航术中很重要的三角函数之一，因半正矢公式出名。[15]不过其定义和基本三角函数高度相关，因此在电脑和计算机普及后这个函数已经几乎没再使用。
外正割（）和外余割（）：由于正割和余割部分的数值十分接近一，因此运算时很容易出现灾难性抵消或数值误差，因此出现了外正割和外余割的函数与函数表来解决这类问题。不过这类问题在电脑和计算机普及后逐渐消失，因此这个函数已经几乎没再使用。[15]

正矢    半正矢    
余的正矢    余的半正矢    
余矢    半余矢    
余的余矢    余的半余矢    
外正割    外余割    
弦函数    

微分方程式定义[编辑]

三角函数在物理学是研究振动和波不可或缺的工具，如简谐振动满足以下微分方程式，正弦和余弦函数都满足

就是说，它们加上自己的二阶导数都等于0函数。在由所有这条方程式的解的二维向量空间中，正弦函数是满足初始条件和的唯一解，而余弦函数是满足初始条件和的唯一解[16]。因为正弦和余弦函数是线性独立的，它们在一起形成了的基。这种定义正弦和余弦函数的方法本质上等价于使用欧拉公式。（参见线性微分方程式）。很明显这条微分方程式不只用来定义正弦和余弦函数，还可用来证明正弦和余弦函数的三角恒等式。进一步的，观察到正弦和余弦函数满足，这意味着它们是二阶导数算子的特征函数。

正切函数是非线性微分方程式

满足初始条件的唯一解。有个非常有趣的形象证明证明了正切函数满足这微分方程式，参见Needham的Visual Complex Analysis。[17]

弧度的重要性[编辑]

弧度透过测量沿着单位圆的路径的长度而指定一角，并构成正弦和余弦函数的特定辐角。特别是，只有映射弧度到比率的那些正弦和余弦函数才满足描述它们的经典微分方程式。如果正弦和余弦函数的弧度辐角是正比于频率的

则导数将正比于“振幅”。

。

这里的是表示在单位之间映射的常数。如果是度，则

。

如果是圈（转，弧度，度），则

这意味着使用度（或圈）的正弦的二阶导数不满足微分方程式

，

但满足

；

对余弦也是类似的。

这意味着这些正弦和余弦是不同的函数，因此只有它的辐角是弧度的条件下，正弦的四阶导数才再次是正弦。因为凡是作为函数意义上的正弦、余弦、正切，都只用弧度定义，而不用360度的角度定义。

利用函数方程式定义三角函数[编辑]

在数学分析中，可以利用基于和差公式这样的性质的函数方程式来定义三角函数。例如，取用给定此种公式和毕达哥拉斯恒等式，可以证明只有两个实函数满足这些条件。即存在唯一的一对实函数和使得对于所有实数和，下列方程式成立[18]：

并满足附加条件

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