較少見的三角函數[編輯]

單位圓上的三角函數，包括了兩種正矢（versin、vercos）、餘矢（coversin、covercos）、弦函數（crd）、外正割（exsec）和外餘割（excsc）

除了上述六種基本函數，史上還有下列幾種較少見的三角函數：

弦函數（）：早期的三角函數表紀錄的是弦的全長（如托勒密全弦表），對應的三角函數為crd函數。[14]不過今日此函數已被正弦函數取代，已經鮮少使用。
正矢（）、餘矢系列函數，與其半值函數（如半正矢系列函數）：早期導航術中很重要的三角函數之一，因半正矢公式出名。[15]不過其定義和基本三角函數高度相關，因此在電腦和計算機普及後這個函數已經幾乎沒再使用。
外正割（）和外餘割（）：由於正割和餘割部分的數值十分接近一，因此運算時很容易出現災難性抵消或數值誤差，因此出現了外正割和外餘割的函數與函數表來解決這類問題。不過這類問題在電腦和計算機普及後逐漸消失，因此這個函數已經幾乎沒再使用。[15]

正矢    半正矢    
餘的正矢    餘的半正矢    
餘矢    半餘矢    
餘的餘矢    餘的半餘矢    
外正割    外餘割    
弦函數    

微分方程式定義[編輯]

三角函數在物理學是研究振動和波不可或缺的工具，如簡諧振動滿足以下微分方程式，正弦和餘弦函數都滿足

就是說，它們加上自己的二階導數都等於0函數。在由所有這條方程式的解的二維向量空間中，正弦函數是滿足初始條件和的唯一解，而餘弦函數是滿足初始條件和的唯一解[16]。因為正弦和餘弦函數是線性獨立的，它們在一起形成了的基。這種定義正弦和餘弦函數的方法本質上等價於使用歐拉公式。（參見線性微分方程式）。很明顯這條微分方程式不只用來定義正弦和餘弦函數，還可用來證明正弦和餘弦函數的三角恆等式。進一步的，觀察到正弦和餘弦函數滿足，這意味着它們是二階導數算子的特徵函數。

正切函數是非線性微分方程式

滿足初始條件的唯一解。有個非常有趣的形象證明證明了正切函數滿足這微分方程式，參見Needham的Visual Complex Analysis。[17]

弧度的重要性[編輯]

弧度透過測量沿着單位圓的路徑的長度而指定一角，並構成正弦和餘弦函數的特定輻角。特別是，只有映射弧度到比率的那些正弦和餘弦函數才滿足描述它們的經典微分方程式。如果正弦和餘弦函數的弧度輻角是正比於頻率的

則導數將正比於「振幅」。

。

這裏的是表示在單位之間映射的常數。如果是度，則

。

如果是圈（轉，弧度，度），則

這意味着使用度（或圈）的正弦的二階導數不滿足微分方程式

，

但滿足

；

對餘弦也是類似的。

這意味着這些正弦和餘弦是不同的函數，因此只有它的輻角是弧度的條件下，正弦的四階導數才再次是正弦。因為凡是作為函數意義上的正弦、餘弦、正切，都只用弧度定義，而不用360度的角度定義。

利用函數方程式定義三角函數[編輯]

在數學分析中，可以利用基於和差公式這樣的性質的函數方程式來定義三角函數。例如，取用給定此種公式和畢達哥拉斯恆等式，可以證明只有兩個實函數滿足這些條件。即存在唯一的一對實函數和使得對於所有實數和，下列方程式成立[18]：

並滿足附加條件

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