歷史

在直角雙曲線（方程）下，雙曲線三角形（黃色），和對應於雙曲角u的雙曲線扇形（紅色）。這個三角形的邊分別是雙曲函數中和的倍。

在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特引入雙曲函數[2]，並計算了雙曲幾何中雙曲三角形的面積[3]。自然對數函數是在直角雙曲線下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角，在漸近線即x或y軸上需要有的或的值。顯見這裡的底邊是，垂線是。

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線下雙曲角的。

虛數圓角定義

雙曲角經常定義得如同虛數圓角。實際上，如果是實數而，則

 

所以雙曲函數和可以通過圓函數來定義。這些恆等式不是從圓或旋轉得來的，它們應當以無窮級數的方式來理解。特別是，可以將指數函數表達為由偶次項和奇次項組成，前者形成函數，後者形成了函數。函數的無窮級數可從得出，通過把它變為交錯級數，而函數可來自將變為交錯級數。上面的恆等式使用虛數，從三角函數的級數的項中去掉交錯因子，來恢復為指數函數的那兩部分級數。

雙曲函數可以通過虛數圓角定義為：

雙曲正弦：[1]


雙曲餘弦：[1]

雙曲正切：


雙曲餘切：