历史

在直角双曲线（方程）下，双曲线三角形（黄色），和对应于双曲角u的双曲线扇形（红色）。这个三角形的边分别是双曲函数中和的倍。

在18世纪，约翰·海因里希·兰伯特引入双曲函数[2]，并计算了双曲几何中双曲三角形的面积[3]。自然对数函数是在直角双曲线下定义的，可构造双曲线直角三角形，底边在线上，一个顶点是原点，另一个顶点在双曲线。这里以自然对数即双曲角作为参数的函数，是自然对数的逆函数指数函数，即要形成指定双曲角，在渐近线即x或y轴上需要有的或的值。显见这里的底边是，垂线是。

通过旋转和缩小线性变换，得到单位双曲线下的情况，有：

单位双曲线中双曲线扇形的面积是对应直角双曲线下双曲角的。

虚数圆角定义

双曲角经常定义得如同虚数圆角。实际上，如果是实数而，则

 

所以双曲函数和可以通过圆函数来定义。这些恒等式不是从圆或旋转得来的，它们应当以无穷级数的方式来理解。特别是，可以将指数函数表达为由偶次项和奇次项组成，前者形成函数，后者形成了函数。函数的无穷级数可从得出，通过把它变为交错级数，而函数可来自将变为交错级数。上面的恒等式使用虚数，从三角函数的级数的项中去掉交错因子，来恢复为指数函数的那两部分级数。

双曲函数可以通过虚数圆角定义为：

双曲正弦：[1]


双曲余弦：[1]

双曲正切：


双曲余切：