不定积分是微分的逆运算，不是求导的逆运算，所以积分符号后面当然要跟上微分的运算结果（也就是微分式）。例如0，(4+x)dx，7dx等都是微分的运算结果，而8则是求导的运算结果，不是微分的运算结果，所以∫8是没有意义的。注意4+dx不是微分运算的结果，因为没有哪个函数只进行微分运算后能得到4+dx，必须要先微分再进行一次加法运算才能得到。
设p = 4xdx，那么d(2x²)=p，也就是说对2x²进行微分运算后，其运算结果是p。由于不定积分是微分的逆运算，那么∫p肯定就等于2x²。
再看下面的例子：

可以看出开方符号里面也有乘方运算。若f(x)=x³，并规定符号√为（也就是∛），那么上式就可以写为√f2=2，也可以写为√8f1=2，并且8f1=f2。这个就和∫d(sinx)=sinx，∫cosxdx= sinx，d(sinx)=cosxdx很相似。
若有方程8fx=f(7+3x)，那么两边进行√运算：√8fx=√f(7+3x)，因为8fx=f(2x)（这个根据√的运算性质可以得到），所以可以得到：2x=7+3x，因此x=-7。这个非常类似于解微分方程。
那么为什么√8有意义，∫8就没有意义了呢？这是因为8可以是乘方运算的结果，但却不可能是微分运算的结果。

我觉得，课本上在讲不定积分的时候压根就不该提到求导。直接说，不定积分是微分的逆运算。因为d(2x³)=6x²dx，所以∫6x²dx = 2x³；因为d(3x²)=3d(x²)，所以∫3d(x²)=3x²；因为找不到一个函数使d(?)=6x，所以∫6x无意义。然后说∫6x²dx里面的6x²dx叫做被积表达式，不说6x²叫被积函数。这样的话肯定就没人再问dx是什么了。