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目前共有10篇帖子。
【字幕】
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1
00:00:04,000 --> 00:00:06,000
二維空間
2
00:00:14,540 --> 00:00:16,500
我的名字叫做喜帕恰斯
3
00:00:17,540 --> 00:00:20,500
我生活在耶穌誕生之前的第二個世紀,
4
00:00:20,660 --> 00:00:25,620
我可以毫不謙虛地說,
5
00:00:26,060 --> 00:00:31,900
我是地理與天文學之父。
6
00:00:32,540 --> 00:00:35,820
我寫了至少有14本書，
7
00:00:36,060 --> 00:00:40,420
但不幸的是,它們幾乎都已遺失。
8
00:00:40,640 --> 00:00:43,460
我編寫了星星的第一本目錄,
9
00:00:43,540 --> 00:00:46,380
開創了數學三角學，
10
00:00:46,540 --> 00:00:49,500
甚至發明了星盤。
11
00:00:50,540 --> 00:00:53,500
幸運的是，我傑出的後繼者托勒密,
12
00:00:53,620 --> 00:00:56,500
在三個世紀以後,
13
00:00:56,620 --> 00:00:59,500
繼續了我的工作。
14
00:00:59,620 --> 00:01:02,500
如今,史學家們都無法確定,
15
00:01:02,620 --> 00:01:07,500
究竟哪些是我的貢獻,哪些是他的。
16
00:01:08,539 --> 00:01:13,500
他的原稿<天文學大成>是第一本天文學論文
17
00:01:13,620 --> 00:01:17,500
他的"地理學"一書包含了，
18
00:01:17,620 --> 00:01:22,580
當時第一張世界地圖。
19
00:01:23,540 --> 00:01:28,500
地理與幾何學都涉及對地球的研究
20
00:01:30,660 --> 00:01:36,820
地理學用來描繪地球，
21
00:01:38,060 --> 00:01:41,700
幾何學則涉及到對它的測量。
22
00:01:42,540 --> 00:01:47,500
地球是近似球狀的
23
00:01:47,620 --> 00:01:52,500
此時我們忽略它在兩極是略微扁平的，
24
00:01:52,620 --> 00:01:57,500
而假設它是一個完美球體。
25
00:01:57,620 --> 00:02:00,820
你知道,在一個球面上,
26
00:02:01,260 --> 00:02:03,820
所有點都與它的中心點等距。
27
00:02:04,100 --> 00:02:06,100
正如這個箭頭,
28
00:02:06,220 --> 00:02:08,579
從球心射向球面的一個動點,
29
00:02:08,699 --> 00:02:12,579
它的長度總是不變的。
30
00:02:20,100 --> 00:02:25,100
現在選擇一條軸線:一條過球心的直線
31
00:02:27,020 --> 00:02:31,140
若沿著一個過這條軸線的平面
32
00:02:31,340 --> 00:02:36,100
切開球體， 切面將是一個大圓周
33
00:02:36,260 --> 00:02:41,260
並將球體切分為兩個半球。
34
00:03:09,940 --> 00:03:16,740
若我們沿著軸線如西瓜瓣似的切割球面，
35
00:03:16,860 --> 00:03:20,820
得到的就是經線的輪廓。
36
00:03:20,860 --> 00:03:24,740
它們是一些半圓周，
37
00:03:24,860 --> 00:03:29,220
其兩端位於地球的北極和南極。
38
00:03:39,540 --> 00:03:41,500
相反地，
39
00:03:41,620 --> 00:03:44,300
若對著軸線平切球面，
40
00:03:44,580 --> 00:03:48,500
我們將得到許多圓周,稱之為緯線。
41
00:03:59,580 --> 00:04:03,500
於是,球面被兩簇網狀曲線覆蓋：
42
00:04:03,740 --> 00:04:08,700
即經線和緯線。
43
00:04:11,580 --> 00:04:13,580
位於正中間緯線，
44
00:04:13,740 --> 00:04:16,580
是眾所周知的赤道,
45
00:04:16,620 --> 00:04:20,580
由於某些歷史原因, 一條特殊的經線
46
00:04:20,700 --> 00:04:22,580
被選為子午線
47
00:04:22,780 --> 00:04:25,820
它經過英國格林威治天文台。
48
00:04:31,700 --> 00:04:34,660
若要指出地球表面某一點的位置，
49
00:04:34,740 --> 00:04:37,660
我們可以從赤道
50
00:04:37,860 --> 00:04:40,820
與子午線相交的這點開始，
51
00:04:40,980 --> 00:04:44,660
沿著赤道走一段距離
52
00:04:44,940 --> 00:04:51,820
用一個紅色角度來標記,稱為經度；
53
00:05:04,980 --> 00:05:10,580
然後,沿著經線向上走
54
00:05:11,540 --> 00:05:15,660
用一個綠色角度來標記,稱為緯度；
55
00:05:26,020 --> 00:05:29,980
最後到達我們的目的地。
56
00:05:33,100 --> 00:05:41,100
地球上的每一點都可以這兩個角度
57
00:05:41,260 --> 00:05:43,980
即經度和緯度來確定。
58
00:05:45,700 --> 00:05:47,740
因為我們需要用兩個數字
59
00:05:47,940 --> 00:05:50,460
來指定地球表面上的一個位置
60
00:05:50,620 --> 00:05:56,180
我們說球面是二維的。
61
00:05:56,660 --> 00:06:01,500
數學家們通常稱它為S2。
62
00:06:09,140 --> 00:06:13,580
現在，我們允許小飛機離開地球
63
00:06:13,660 --> 00:06:17,100
飛入太空。
64
00:06:17,260 --> 00:06:20,100
為了指出它的位置
65
00:06:20,180 --> 00:06:23,100
我們將需要三個數字
66
00:06:23,180 --> 00:06:27,620
經度，緯度和...
67
00:06:27,700 --> 00:06:31,700
在地球上方的高度。
68
00:06:32,340 --> 00:06:34,380
由於需要三個數字
69
00:06:34,420 --> 00:06:35,700
來確定在外太空的位置，
70
00:06:35,940 --> 00:06:39,900
我們說空間是三維的。
71
00:06:51,820 --> 00:06:54,660
掛在牆上的畫中，
72
00:06:54,820 --> 00:06:58,980
有一幅托勒密的畫像——地圖繪製術之父。
73
00:07:04,700 --> 00:07:07,660
地圖是怎樣繪製的呢？
74
00:07:17,020 --> 00:07:20,060
一種方法是將地球投射到一個平面上。
75
00:07:22,700 --> 00:07:26,900
選擇一座城市，例如「Dakar」，
76
00:07:26,940 --> 00:07:31,900
再畫出連結北極和這座城市的直線。
77
00:07:34,100 --> 00:07:38,580
這條直線穿過桌面上的另一點
78
00:07:38,860 --> 00:07:42,140
稱為這座城市的投影。
79
00:07:42,620 --> 00:07:47,380
球面上的任何一點都可以被投射到桌面上。
80
00:07:47,620 --> 00:07:50,540
我們的城市離北極越近
81
00:07:50,700 --> 00:07:52,580
它在桌面上的投影就越遠，
82
00:07:53,660 --> 00:07:56,580
甚至可以超出桌面!
83
00:07:58,540 --> 00:08:02,460
因此我們說北極沒有投影。
84
00:08:03,540 --> 00:08:08,460
或者說,它的投影在無窮遠處。
85
00:08:10,540 --> 00:08:13,180
整個地球,除北極以外,
86
00:08:13,260 --> 00:08:19,140
都可以在桌面上被表示出來。
87
00:08:21,220 --> 00:08:28,180
這張地圖被稱為 -- 球極投影。
88
00:09:09,700 --> 00:09:13,660
當然,這個投影並不保持原來的尺寸
89
00:09:13,780 --> 00:09:17,660
例如,與北美洲相比,
90
00:09:17,780 --> 00:09:21,660
南美洲就顯得非常微小。
91
00:09:38,700 --> 00:09:42,580
為了更好地理解這個投影,
92
00:09:42,660 --> 00:09:46,580
我們將地球像球一樣地滾動,
93
00:09:46,700 --> 00:09:49,300
並且總是從最高點向桌面投射。
94
00:09:49,660 --> 00:09:52,660
大陸的投影在平面上舞動著,
95
00:09:52,780 --> 00:09:56,340
先逐漸變大,接著變小。
96
00:10:01,220 --> 00:10:04,460
但如果我們湊近一點兒看,
97
00:10:04,660 --> 00:10:08,140
它們的形狀並沒有改變
98
00:10:08,340 --> 00:10:11,180
只是長度有所變化。
99
00:10:11,620 --> 00:10:16,580
因此,我們說球極投影是保形的。
100
00:10:16,660 --> 00:10:19,540
經線和緯線的投影又是什麼呢?
101
00:10:19,620 --> 00:10:25,580
當我們從北極開始投射,
102
00:10:25,780 --> 00:10:29,620
經線成為從南極發出的射線
103
00:10:29,780 --> 00:10:34,660
緯線則成為一些同心圓。
104
00:10:43,060 --> 00:10:47,980
當地球滾動時,可看到經線和緯線
105
00:10:48,100 --> 00:10:52,380
都總是投射為圓或直線。
106
00:10:56,060 --> 00:11:00,580
球極投影把畫在球面上的圓
107
00:11:00,660 --> 00:11:03,580
變換為畫在平面上的圓。
108
00:11:06,340 --> 00:11:08,540
當然除了那些
109
00:11:08,700 --> 00:11:10,660
經過至高點的圓,
110
00:11:10,820 --> 00:11:14,780
它們的投影變成一些直線。
111
00:11:41,780 --> 00:11:46,580
我們將從底部觀看同樣的運動。
112
00:11:58,620 --> 00:12:01,780
從這個角度,可看到經線和緯線們，
113
00:12:01,900 --> 00:12:05,780
形成兩簇圓。
114
00:12:07,540 --> 00:12:09,900
所有經線都交匯的兩點,
115
00:12:10,700 --> 00:12:14,540
正是北極和南極。
116
00:12:54,620 --> 00:12:57,580
你認出來了嗎?
117
00:12:57,660 --> 00:13:00,620
它就是格林威治子午線。
118
00:13:00,700 --> 00:13:07,860
到此結束我們駛向四維空間的第一步。
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1
00:00:10,540 --> 00:00:14,500
現在,輪到我來帶領你參觀這個幾何學的花園
2
00:00:14,620 --> 00:00:19,980
我的名字叫做Escher,我是20世紀的一位荷蘭藝術家。
3
00:00:21,660 --> 00:00:24,620
幾何學是我恆定的靈感源泉。
4
00:00:25,060 --> 00:00:28,900
我是繪畫難以置信的鋪砌藝術的專家。
5
00:00:30,540 --> 00:00:34,820
這是我在水晶球里的自畫像.
6
00:00:35,540 --> 00:00:38,140
我最著名的作品之一,
7
00:00:38,620 --> 00:00:41,660
是在一個平面上繪出
8
00:00:41,740 --> 00:00:45,580
能夠強行從紙上逃出的蜥蜴,
9
00:00:45,740 --> 00:00:48,700
並在其它物體的頂端,
10
00:00:48,820 --> 00:00:51,700
凝視先前平面物體的存在。
11
00:00:53,820 --> 00:00:56,700
為了給四維空間做準備,
12
00:00:58,220 --> 00:01:01,700
我們將借鑒我的這個作品，
13
00:01:01,820 --> 00:01:05,700
和一本在19世紀出版的小冊子，
14
00:01:05,820 --> 00:01:08,700
它由一位名為Edwin Abbot的英國牧師所著,
15
00:01:08,820 --> 00:01:11,700
題為"FlatLand"，平原。
16
00:01:14,020 --> 00:01:16,900
讓我們試著向這些平面生物,
17
00:01:17,220 --> 00:01:20,180
解釋我們所熟知的，
18
00:01:20,620 --> 00:01:27,100
三維空間。
19
00:01:39,540 --> 00:01:43,380
設想其中一隻蜥蜴
20
00:01:43,540 --> 00:01:47,380
能夠暫時從它悲慘的存在中逃脫,
21
00:01:47,500 --> 00:01:52,100
並登上一個海角，來向下俯視它的世界。
22
00:01:54,020 --> 00:01:57,900
它將怎樣給他的同伴解釋,
23
00:01:58,020 --> 00:02:01,900
三維物體的存在呢?
24
00:02:04,620 --> 00:02:07,500
作為第一次嘗試,它可以試著
25
00:02:07,620 --> 00:02:12,500
將一些三維物體穿過它的平面世界。
26
00:02:15,620 --> 00:02:18,500
例如， 這個四面體，
27
00:02:18,620 --> 00:02:24,500
正逐漸穿過蜥蜴的平面。
28
00:02:28,100 --> 00:02:32,980
平面生物們看到一個綠色三角形突然出現，
29
00:02:33,100 --> 00:02:35,980
然後逐漸變小。
30
00:02:37,020 --> 00:02:40,060
他們看到的只有這些，
31
00:02:40,260 --> 00:02:43,220
因為它們有局限的視覺,
32
00:02:43,260 --> 00:02:47,060
看不到平面以外的任何東西。
33
00:02:47,940 --> 00:02:51,700
當蜥蜴觀察到這些綠色多邊形的
34
00:02:51,940 --> 00:02:55,580
出現，變形, 然後消失時，
35
00:02:55,860 --> 00:03:00,900
它們可以試想穿過平面的物體的形狀。
36
00:03:01,980 --> 00:03:04,580
而僅從這些在平面上的切面，
37
00:03:04,740 --> 00:03:07,580
來猜想物體的形狀，
38
00:03:07,660 --> 00:03:11,580
應該是多麼地困難。試試看!
39
00:03:11,740 --> 00:03:16,580
正穿過這個平面的是什麼?
40
00:03:21,100 --> 00:03:23,980
一個四面體。
41
00:03:40,620 --> 00:03:42,820
那現在呢?
42
00:03:43,860 --> 00:03:46,820
一個立方體!
43
00:03:47,620 --> 00:03:50,460
不要忘記，
44
00:03:50,620 --> 00:03:54,460
平面蜥蜴的視覺，
45
00:03:54,620 --> 00:03:58,460
只能看到逐漸變幻的橫切面。
46
00:03:58,620 --> 00:04:01,460
要完整地理解物體的形狀，
47
00:04:01,620 --> 00:04:03,660
必須拓展視覺深度。
48
00:04:04,140 --> 00:04:05,500
這又是什麼?
49
00:04:10,100 --> 00:04:12,980
一個八面體
50
00:04:25,340 --> 00:04:26,420
和一個......
51
00:04:27,380 --> 00:04:32,500
20 面體。
52
00:04:47,340 --> 00:04:49,180
最後......
53
00:04:51,540 --> 00:04:59,140
12 面體,它有 12 個面, 20 個頂點和 30 條棱......
54
00:05:03,420 --> 00:05:06,300
現在,我只給你展示
55
00:05:06,540 --> 00:05:09,220
一些橫切面，
56
00:05:09,420 --> 00:05:13,500
你要猜出隱藏在背後的多面體。
57
00:05:24,100 --> 00:05:26,940
這是個四面體，
58
00:05:46,620 --> 00:05:49,460
立方體，
59
00:05:59,540 --> 00:06:02,380
越來越難了,是嗎?
60
00:06:02,700 --> 00:06:05,380
你看， 這些二維空間里的生物，
61
00:06:05,620 --> 00:06:08,460
必須發展一個很好的幾何直覺
62
00:06:08,540 --> 00:06:12,580
才能了解對我們是如此自然的
63
00:06:12,700 --> 00:06:14,580
三維空間里的事物。
64
00:06:15,620 --> 00:06:18,500
為了對四維空間有所感知，
65
00:06:18,700 --> 00:06:20,900
我們將會遇到同樣的困難。
66
00:06:23,620 --> 00:06:26,380
這裡有第二種方法
67
00:06:26,620 --> 00:06:29,460
來解釋多面體。
68
00:06:29,620 --> 00:06:32,380
先將多面體膨脹,
69
00:06:32,620 --> 00:06:37,900
使其頂點和棱同處一個球面。
70
00:06:38,100 --> 00:06:44,980
然後, 將它球極投影到蜥蜴的平面。
71
00:06:45,100 --> 00:06:51,380
以便讓二維空間的朋友們觀賞。
72
00:06:51,620 --> 00:06:55,060
當然,我們也可以滾動球體,
73
00:06:55,180 --> 00:06:57,460
並讓它帶動我們的四面體及其投影。
74
00:07:09,780 --> 00:07:13,380
先觀察一下立方體,
75
00:07:13,500 --> 00:07:19,460
並且數數它有幾個頂點,幾條棱和幾個面。
76
00:07:58,540 --> 00:08:02,460
現在輪到八面體。
77
00:08:21,540 --> 00:08:24,460
你看到八個有色面。
78
00:08:24,660 --> 00:08:28,580
注意到棱的投影變成了一些圓弧。
79
00:08:46,540 --> 00:08:50,700
這裡來了一個二十面體。
80
00:09:09,540 --> 00:09:12,460
它的結構更加複雜
81
00:09:13,100 --> 00:09:15,660
但蜥蜴們還是可以理解它的。
82
00:09:16,180 --> 00:09:22,660
可以看到它有 20 個面, 12 個頂點和 30 條棱。
83
00:09:23,380 --> 00:09:26,380
數數看?
84
00:09:33,260 --> 00:09:37,180
最後,是一個幾何學珠寶 -- 12 面體。
85
00:10:20,100 --> 00:10:22,980
現在,來做一些練習!
86
00:10:23,140 --> 00:10:26,180
讓我們將自己放入二維空間
87
00:10:26,300 --> 00:10:29,180
並且試著從投影的形狀
88
00:10:29,260 --> 00:10:32,180
來辨認多面體。
89
00:10:32,260 --> 00:10:34,140
很簡單,不是嗎?
90
00:10:35,420 --> 00:10:41,380
你可以看到 4 個面, 6 條棱和 4 個頂點...
91
00:10:42,660 --> 00:10:45,140
這是個四面體。
92
00:10:53,780 --> 00:10:55,980
那這個呢?
93
00:10:58,900 --> 00:11:03,460
6 個面,每個面有 4 條棱...
94
00:11:03,660 --> 00:11:08,220
認出來了吧! 是一個立方體。
95
00:11:25,700 --> 00:11:28,580
這個更複雜了,不是嗎?
96
00:11:28,860 --> 00:11:31,500
面是三角形的
97
00:11:31,700 --> 00:11:35,980
有 5 條棱從每個頂點出發...
98
00:11:36,780 --> 00:11:40,660
它有很多個面
99
00:11:40,780 --> 00:11:42,660
可能有 20 個?
100
00:11:43,260 --> 00:11:45,180
真是個二十面體。棒極了!!
101
00:11:54,940 --> 00:11:58,900
再觀察十二面體，
102
00:11:59,460 --> 00:12:02,340
每個面是一個五邊形。
103
00:12:02,500 --> 00:12:06,660
數一下,它有 12 個面，
104
00:12:06,780 --> 00:12:10,660
且有 3 條棱從每個頂點出發。
105
00:12:16,780 --> 00:12:20,380
這五個固體總是令幾何學家著迷。
106
00:12:21,700 --> 00:12:25,580
古希臘的哲學家們甚至認為
107
00:12:25,780 --> 00:12:30,580
它們與組成世界的基本元素有神秘聯繫。
108
00:12:30,780 --> 00:12:34,580
我們另外稱它們為柏拉圖式的固體。
109
00:12:36,700 --> 00:12:38,660
現在，我們明白了，
110
00:12:38,900 --> 00:12:43,660
一個平面物體對三維空間的感知是很困難的。
111
00:12:43,860 --> 00:12:46,700
但有很多方法可用，
112
00:12:46,900 --> 00:12:51,660
其中球極投影似乎是一個比較有效的方法。
113
00:12:51,860 --> 00:12:57,700
現在,我們必須為四維空間做好準備。
114
00:12:57,900 --> 00:13:01,740
我們將需要使用我們的想像力...
|
|
|
1
00:00:08,540 --> 00:00:11,500
我的名字叫做Ludwig Schläfli,
2
00:00:12,820 --> 00:00:15,700
我是一位瑞士幾何學家。
3
00:00:18,660 --> 00:00:21,620
我生活在19世紀，
4
00:00:22,060 --> 00:00:25,900
我將為你開啟四維空間之門!
5
00:00:28,540 --> 00:00:31,500
不用怕,我是一個有遠見卓識的人。
6
00:00:34,660 --> 00:00:40,580
我是一個最早理解
7
00:00:40,700 --> 00:00:43,580
多維空間的存在的人，
8
00:00:43,700 --> 00:00:46,580
甚至可以研究其相應的幾何學。
9
00:00:47,820 --> 00:00:50,700
如果生活在平面中的生物，
10
00:00:50,820 --> 00:00:54,700
可以理解三維空間中的多面體，
11
00:00:54,820 --> 00:00:59,380
為什麼我們就不能理解四維空間中的物體呢?
12
00:01:02,700 --> 00:01:05,580
我的主要成就之一
13
00:01:05,700 --> 00:01:09,580
是列出四維空間里的所有規則多面體。
14
00:01:11,340 --> 00:01:14,220
什麼是四維空間呢?
15
00:01:14,340 --> 00:01:16,500
已有很多關於這方面的文獻,
16
00:01:16,620 --> 00:01:20,300
科幻小說家們對此總是樂此不疲!
17
00:01:20,700 --> 00:01:23,220
我將在黑板上為你解釋它們。
18
00:01:23,340 --> 00:01:26,220
這塊黑板將帶有一些魔幻色彩。
19
00:01:28,340 --> 00:01:32,220
重要的是,你必須做好準備,
20
00:01:32,340 --> 00:01:34,500
遺忘我們所熟知的世界
21
00:01:34,620 --> 00:01:36,500
並且想像一個我們的視覺與感覺，
22
00:01:36,620 --> 00:01:40,500
都不能直接進入的新世界。
23
00:01:41,020 --> 00:01:44,900
我們必須變得聰明起來,正如之前的蜥蜴一樣。
24
00:01:45,020 --> 00:01:47,900
我將攀上一個至高點,
25
00:01:48,020 --> 00:01:50,900
不幸的是,你看不到它。
26
00:01:51,020 --> 00:01:53,900
我會試著把我所看到的描述出來。
27
00:01:54,020 --> 00:01:56,700
但在開始之前,我先在黑板上畫出一條直線。
28
00:01:58,020 --> 00:02:00,820
我將原點定在這裡。
29
00:02:04,620 --> 00:02:06,580
這條直線上的每一點
30
00:02:06,700 --> 00:02:09,580
都可用它與原點的距離標出,
31
00:02:09,700 --> 00:02:12,580
如果它在(原點)左邊,用負號表示
32
00:02:15,340 --> 00:02:18,220
如果它在(原點)右邊,則用正號表示。
33
00:02:18,340 --> 00:02:21,300
我們習慣上將這個數字標記為 x ，
34
00:02:21,420 --> 00:02:24,380
並且稱之為橫坐標。
35
00:02:24,660 --> 00:02:27,380
由於直線上每一點的位置
36
00:02:27,540 --> 00:02:30,380
能用一個數字表示,
37
00:02:30,460 --> 00:02:33,380
我們說直線是一維的。
38
00:02:33,540 --> 00:02:35,460
現在,我將畫出第二條軸線,
39
00:02:35,620 --> 00:02:37,380
與第一條軸線垂直。
40
00:02:38,620 --> 00:02:40,500
黑板上的每一點
41
00:02:40,620 --> 00:02:42,980
現由兩個數字來描述,
42
00:02:43,100 --> 00:02:47,380
通常記為 x 和 y : 橫坐標與縱坐標。
43
00:02:49,500 --> 00:02:53,460
如此平面是二維的。
44
00:02:54,620 --> 00:02:59,060
如果你需要跟直線上的生物解釋
45
00:02:59,180 --> 00:03:02,180
平面上它所未知的一點,
46
00:03:02,340 --> 00:03:04,300
你可以簡單地說
47
00:03:04,420 --> 00:03:08,500
"平面上的一點由兩個已知數組成"。
48
00:03:10,620 --> 00:03:13,580
讓我們通向三維空間。
49
00:03:16,260 --> 00:03:19,380
粉筆在空間中
50
00:03:19,620 --> 00:03:22,380
畫出第三條軸線,與另外兩條垂直。
51
00:03:26,540 --> 00:03:30,380
空間中的一點由三個數字表示,
52
00:03:30,460 --> 00:03:33,300
x , y 和 z 。
53
00:03:34,180 --> 00:03:36,300
我們可以跟對於我們的世界
54
00:03:36,340 --> 00:03:38,980
充滿好奇的爬行動物們說
55
00:03:39,100 --> 00:03:42,500
"空間中的一點,不過是三個數字而已"。
56
00:03:44,620 --> 00:03:47,460
讓我們通向四維空間。
57
00:03:47,620 --> 00:03:50,580
可以試著畫出第四條軸線
58
00:03:50,620 --> 00:03:54,900
與另外三條垂直,但這是不可能的!
59
00:03:56,580 --> 00:04:00,300
所以還要嘗試其他方法。
60
00:04:02,540 --> 00:04:04,580
當然,我們也許會說,
61
00:04:04,660 --> 00:04:07,500
四維空間中的一點
62
00:04:07,700 --> 00:04:11,300
只是四個數字,x,y,z,t 。
63
00:04:11,500 --> 00:04:15,300
這並沒有給我們帶來任何啟示!
64
00:04:15,500 --> 00:04:18,300
然而,我們仍將試著對它的幾何，
65
00:04:18,500 --> 00:04:21,300
建立某種直覺。
66
00:04:21,540 --> 00:04:23,580
第一種方法，
67
00:04:23,620 --> 00:04:25,500
是類推法。
68
00:04:26,020 --> 00:04:27,980
這裡有一條直線，
69
00:04:29,020 --> 00:04:31,900
和一個等邊三角形，
70
00:04:40,620 --> 00:04:45,380
接著是一個規則四面體。
71
00:04:53,700 --> 00:04:57,460
魔術黑板能夠讓我們在空間中繪畫。
72
00:04:59,700 --> 00:05:02,580
那麼怎樣在四維空間中繼續呢?
73
00:05:02,780 --> 00:05:05,380
可以看到直線,三角形和四面體,
74
00:05:05,620 --> 00:05:09,460
分別有2個,3個和4個頂點。
75
00:05:09,540 --> 00:05:12,180
因此,可試畫有五個頂點的圖形。
76
00:05:12,260 --> 00:05:14,300
試試看。
77
00:05:14,340 --> 00:05:16,300
在直線,三角形或四面體中,
78
00:05:16,420 --> 00:05:19,220
每對頂點由一條棱連接。
79
00:05:19,340 --> 00:05:22,220
所以,我們需將5個頂點兩兩相接。
80
00:05:22,420 --> 00:05:24,300
我們來數數
81
00:05:24,500 --> 00:05:25,380
1條棱
82
00:05:25,500 --> 00:05:43,460
2,3,4,5,6,7,8,9,10 條棱。
83
00:05:43,780 --> 00:05:45,780
在四面體中
84
00:05:45,900 --> 00:05:49,660
每三個頂點間都有一個三角面
85
00:05:49,820 --> 00:05:51,660
我們如法炮製,
86
00:05:51,780 --> 00:05:53,660
於是,可以得到 1 個三角面
87
00:05:53,780 --> 00:05:56,660
2,3,......,10 個三角面。
88
00:05:59,540 --> 00:06:01,540
但是,如果我們用類推法繼續,
89
00:06:01,700 --> 00:06:04,660
則必須在每四個頂點之間，
90
00:06:04,780 --> 00:06:07,220
加入一個四面體面。
91
00:06:09,620 --> 00:06:11,980
共有 5 個四面體面。
92
00:06:12,780 --> 00:06:16,180
就是它!我們造出了一個四維物體。
93
00:06:16,340 --> 00:06:18,740
它叫"單形"。
94
00:06:18,900 --> 00:06:20,780
現在讓它在空間中轉起來，
95
00:06:20,860 --> 00:06:23,700
正如之前轉動四面體一樣。
96
00:06:25,620 --> 00:06:28,460
當然,你必須想像
97
00:06:28,540 --> 00:06:31,580
單形是在四維空間中轉動,
98
00:06:31,700 --> 00:06:34,580
你看到的,只是它在黑板上的投影。
99
00:06:34,660 --> 00:06:38,580
更複雜的是，
100
00:06:38,660 --> 00:06:41,580
面變得混亂起來並且互相交錯。
101
00:06:41,660 --> 00:06:46,540
是的,看一個四維物體是需要一點經驗的。
102
00:06:51,620 --> 00:06:53,580
我們可以讓
103
00:06:53,700 --> 00:06:55,580
在四維空間中的單形
104
00:06:55,700 --> 00:06:57,580
緩慢地穿過
105
00:06:57,700 --> 00:07:00,580
"我們的"三維空間。
106
00:07:00,700 --> 00:07:03,580
正如之前爬行動物看到一個多邊形
107
00:07:03,780 --> 00:07:05,580
出現然後消失一樣，
108
00:07:05,700 --> 00:07:08,660
我們看到的是一個三維多面體
109
00:07:08,780 --> 00:07:11,660
出現,然後改變形狀,最後消失。
110
00:07:14,540 --> 00:07:18,820
好了!單形穿過了我們的三維空間。
111
00:07:20,620 --> 00:07:22,580
我們將看到
112
00:07:22,740 --> 00:07:24,580
更多的四維物體
113
00:07:24,780 --> 00:07:28,060
穿過我們的三維空間。
114
00:07:28,620 --> 00:07:31,580
這是一個超立方體,它是
115
00:07:31,660 --> 00:07:34,500
線段,正方形和立方體的推廣。
116
00:07:36,180 --> 00:07:41,060
必須承認,用這種切面方法，
117
00:07:41,260 --> 00:07:46,060
來嘗試得到一個幾何直覺,是非常困難的。
118
00:07:46,180 --> 00:07:51,580
我發現了二十面體和十二面體的類似物。
119
00:07:51,780 --> 00:07:54,660
它們的名字非常複雜，
120
00:07:55,780 --> 00:08:00,580
我將簡單地稱它們為 120 號和 600 號，
121
00:08:00,780 --> 00:08:05,140
因為第一個有 120 個面,第二個則有 600 個面。
122
00:08:05,700 --> 00:08:11,660
看 120 號,它正穿過我們的空間。
123
00:08:18,100 --> 00:08:19,980
現在,是 600 號。
124
00:08:20,180 --> 00:08:24,180
當然,當我說四維多面體有 600 個面時,
125
00:08:24,340 --> 00:08:26,980
是指三維的面。
126
00:08:27,300 --> 00:08:30,540
是的,它們是 600 個四面體。
127
00:08:30,700 --> 00:08:33,660
至於 120 號,它有 120 個十二面體!
128
00:08:33,780 --> 00:08:37,580
稍後,我們將看到怎樣更好地理解它們。
129
00:08:47,620 --> 00:08:50,580
為了用我們三維的眼睛,
130
00:08:50,740 --> 00:08:52,900
來觀察這些四維物體,
131
00:08:53,020 --> 00:08:55,340
我們可以觀察它們的陰影。
132
00:08:55,420 --> 00:08:58,900
這些物體仍然在四維空間中
133
00:08:59,020 --> 00:09:01,500
但我們將它投射到三維空間里來
134
00:09:01,620 --> 00:09:04,900
正如一位畫家將風景投射到畫布上一樣。
135
00:09:04,940 --> 00:09:09,820
這正是我們對單形所做過的。
136
00:09:18,020 --> 00:09:21,820
這是一個超立方體。
137
00:09:25,620 --> 00:09:28,460
當然,它在空間里轉動
138
00:09:29,620 --> 00:09:31,380
為的是讓我們觀賞到所有細節。
139
00:09:31,620 --> 00:09:37,300
例如,超立方體有 16 個頂點。
140
00:09:54,060 --> 00:09:55,900
這裡有個新來的。
141
00:09:56,100 --> 00:09:58,500
在我的發現中是最美麗的。
142
00:09:58,700 --> 00:10:00,660
我稱它為 24 號。
143
00:10:00,780 --> 00:10:03,900
它在三維空間里沒有類似物。
144
00:10:04,020 --> 00:10:08,580
它是純粹的四維物體。
145
00:10:08,780 --> 00:10:12,060
我對它的發現非常自豪。
146
00:10:12,180 --> 00:10:26,140
看,它壯觀極了! 24 個頂點,96 條棱,96 個三角形和 24 個八面體。
147
00:10:26,340 --> 00:10:29,180
一個奇蹟!
148
00:10:40,100 --> 00:10:42,100
這是 120 號的陰影。
149
00:10:42,300 --> 00:10:44,900
非常雄偉!
150
00:10:45,020 --> 00:10:47,980
必須說,它是個非常複雜的奇觀!
151
00:11:27,620 --> 00:11:31,820
讓我們進入其中並觀察它的構造。
152
00:11:40,620 --> 00:11:53,780
看: 600 個頂點, 1200 條棱。
153
00:11:56,620 --> 00:11:59,380
有 4 條棱從每個頂點出發
154
00:11:59,620 --> 00:12:03,460
一個完全規則的結構。
155
00:12:03,540 --> 00:12:07,380
所有的頂點和棱都扮演著同樣的角色。
156
00:12:07,620 --> 00:12:13,660
遺憾的是,投影破壞了它的規則。
157
00:12:13,860 --> 00:12:15,900
試著想像一下,
158
00:12:16,620 --> 00:12:19,700
試想一個在四維空間中的物體，
159
00:12:19,780 --> 00:12:21,660
擁有一個巨大的旋轉群，
160
00:12:21,780 --> 00:12:25,580
互換所有的頂點和棱。
161
00:12:25,780 --> 00:12:28,660
冠軍是...600 號,
162
00:12:29,420 --> 00:12:31,660
像一個龐大的宏觀分子
163
00:12:31,780 --> 00:12:36,300
有 720 條棱和 120 個頂點。
164
00:12:41,620 --> 00:12:44,460
有 12 條棱從每個頂點出發。
165
00:12:53,780 --> 00:12:56,180
但是,我們對四維多面體的探究
166
00:12:56,300 --> 00:12:59,140
並沒有就此結束。
167
00:12:59,260 --> 00:13:02,060
因為我敢打賭，它們的球極投影，
168
00:13:02,180 --> 00:13:05,500
肯定會給我們帶來一個更新更好的幾何直覺。
|
|
|
1
00:00:12,860 --> 00:00:17,820
三維空間包含了二維的S2球面。
2
00:00:19,340 --> 00:00:21,220
用同樣的方法,我們可以研究
3
00:00:21,340 --> 00:00:23,980
四維空間中的球面。
4
00:00:24,180 --> 00:00:27,980
它每點與中心點等距。
5
00:00:28,100 --> 00:00:31,980
為確定其上某一點的位置,
6
00:00:32,180 --> 00:00:34,700
我們需要三個數字。
7
00:00:34,780 --> 00:00:37,580
因此,這個球面是三維的,
8
00:00:37,700 --> 00:00:40,580
我們稱它為S3。
9
00:00:44,620 --> 00:00:46,580
你並看不到這個
10
00:00:46,700 --> 00:00:48,580
在四維空間中的球體
11
00:00:48,700 --> 00:00:51,580
因為你的空間只有三維,
12
00:00:51,700 --> 00:00:54,580
並且,螢幕只有二維!
13
00:00:54,700 --> 00:00:57,580
我只能喚起你的想像力。
14
00:01:00,700 --> 00:01:04,580
為了更好地理解四維多面體
15
00:01:04,700 --> 00:01:07,580
我們只需如法炮製，
16
00:01:07,700 --> 00:01:10,580
之前蜥蜴對三維面體所為：
17
00:01:10,700 --> 00:01:15,460
它將它們膨脹到一個球面上
18
00:01:15,620 --> 00:01:20,500
再球極投影到平面上。
19
00:01:24,940 --> 00:01:27,100
這裡我們將膨脹一個多面體
20
00:01:27,260 --> 00:01:31,700
直到它的面嵌在一個四維空間里的球面 S3 上，*
21
00:01:31,940 --> 00:01:33,900
22
00:01:34,020 --> 00:01:35,980
再球極投影到三維空間里。
23
00:01:36,100 --> 00:01:38,980
我將攀上三維球面的北極 *
24
00:01:40,020 --> 00:01:41,900
25
00:01:42,020 --> 00:01:43,900
並把我所看到的
26
00:01:44,020 --> 00:01:46,900
投射到你的三維空間里來。
27
00:01:48,340 --> 00:01:50,580
你看不到我在哪兒,
28
00:01:50,700 --> 00:01:53,500
正如平面蜥蜴看不到
29
00:01:53,620 --> 00:01:57,380
它攀上至高點的同伴一樣。
30
00:01:57,500 --> 00:01:59,780
我們正處於同樣的情況。
31
00:02:08,620 --> 00:02:10,580
這是個單形。
32
00:02:12,780 --> 00:02:15,660
可以看到它的5個頂點
33
00:02:15,780 --> 00:02:18,660
和 10 條棱。
34
00:02:20,620 --> 00:02:25,460
當然,這時棱是一些圓弧。
35
00:02:27,700 --> 00:02:30,580
這個情況與
36
00:02:30,660 --> 00:02:34,660
將三維多面體球極投影到
37
00:02:34,780 --> 00:02:38,660
平面上是完全類似的。
38
00:02:39,540 --> 00:02:41,780
這是個超立方體。
39
00:02:42,260 --> 00:02:44,180
它很容易辨認
40
00:02:44,300 --> 00:02:48,460
有 32 條棱和 16 個頂點。
41
00:02:50,100 --> 00:02:53,500
這樣理解,比用陰影或
42
00:02:53,620 --> 00:02:57,380
三維橫切面的方法容易很多。
43
00:02:59,100 --> 00:03:01,060
這是 24 號
44
00:03:01,420 --> 00:03:05,300
有 24 個頂點和 96 條棱!
45
00:03:15,620 --> 00:03:19,460
最後, 120 號
46
00:03:35,700 --> 00:03:38,580
和 600 號。
47
00:03:57,620 --> 00:04:01,580
讓我們加入二維面,來看得更清楚些!
48
00:04:03,780 --> 00:04:06,580
這是單形,
49
00:04:06,780 --> 00:04:09,660
和它的 10 個三角面。
50
00:04:09,780 --> 00:04:13,660
這些二維面是球面的一些片斷,
51
00:04:13,900 --> 00:04:17,580
正如之前的棱是一些圓弧一樣。
52
00:04:20,540 --> 00:04:23,660
單形在四維空間中滾動，
53
00:04:23,780 --> 00:04:26,300
再被球極投影出來。
54
00:04:26,620 --> 00:04:29,980
記得當初地球滾動時,
55
00:04:30,060 --> 00:04:32,900
陸地的投影隨之舞動。
56
00:04:36,180 --> 00:04:40,980
有時,一個面經過投影的極點
57
00:04:41,100 --> 00:04:43,460
這點被投到無窮遠處:
58
00:04:43,500 --> 00:04:46,580
看起來就象在螢幕上炸開一樣。
59
00:04:48,020 --> 00:04:51,900
現在來略看一下超立方體。
60
00:04:55,620 --> 00:04:58,380
空間被分割成
61
00:04:58,500 --> 00:05:01,460
8 個立方體形的區域,
62
00:05:01,540 --> 00:05:03,580
它們是超立方體的三維面。
63
00:05:05,580 --> 00:05:08,500
至於二維面,
64
00:05:08,700 --> 00:05:12,500
它們是一些正方形(或多或少地隆起和扭曲)。
65
00:05:15,620 --> 00:05:18,580
有 24 個。
66
00:06:10,620 --> 00:06:13,580
呵呵! 請來欣賞，
67
00:06:15,740 --> 00:06:18,580
我鍾愛的 24 號。
68
00:06:19,020 --> 00:06:22,820
它真是太壯觀了!
69
00:06:23,420 --> 00:06:38,980
24 個頂點,96 條棱, 96 個三角形和 24 個八面體。
70
00:06:41,700 --> 00:06:45,980
有 8 條棱從每個頂點出發。
71
00:08:05,900 --> 00:08:08,460
這是 120 號,
72
00:08:08,620 --> 00:08:11,580
我們將更好地理解它的結構。
73
00:08:15,780 --> 00:08:19,580
有 4 條棱從每個頂點出發。
74
00:08:26,620 --> 00:08:31,500
它的二維面是五邊形。
75
00:08:35,780 --> 00:08:37,660
有 720 個!
76
00:08:41,780 --> 00:08:47,780
這 720 個五邊形相互銜接為 120 個十二面體。
77
00:08:55,060 --> 00:08:56,980
看所有這些十二面體
78
00:08:57,060 --> 00:09:00,980
互相之間完美契合。
79
00:09:08,020 --> 00:09:10,980
真是美妙無比!
80
00:10:14,540 --> 00:10:16,540
最後,是 600 號
81
00:10:16,700 --> 00:10:19,900
與它 600 個三維的四面體面,
82
00:10:20,020 --> 00:10:22,900
1200 個三角面
83
00:10:23,020 --> 00:10:26,900
720 條棱和 120 個頂點。
84
00:10:29,540 --> 00:10:32,460
相信我,在包含這個物體的四維空間里
85
00:10:32,620 --> 00:10:34,460
它有 14400 種對稱性!
86
00:11:06,620 --> 00:11:09,460
好,我們完成了
87
00:11:09,620 --> 00:11:11,460
我們的第一個四維空間之旅。
88
00:11:14,460 --> 00:11:17,380
在這個空間里充滿了許多奇觀。
89
00:11:17,540 --> 00:11:20,460
當然,數學家們的想像力
90
00:11:20,500 --> 00:11:23,460
並沒有在四維空間中停止。
91
00:11:23,540 --> 00:11:26,460
還有 5 維, 6 維,
92
00:11:26,620 --> 00:11:31,460
n 維,甚至...
93
00:11:31,700 --> 00:11:34,580
無限維空間!
94
00:11:36,260 --> 00:11:39,140
每個空間有它自己的特性;
95
00:11:39,300 --> 00:11:43,180
但必須說,四維空間是最漂亮的。
96
00:11:43,260 --> 00:11:46,100
為什麼呢?也許是因為,畢竟,
97
00:11:46,220 --> 00:11:49,140
它有一種物理上的真實性。
98
00:11:51,820 --> 00:11:53,780
愛因斯坦的相對論,
99
00:11:54,020 --> 00:11:56,900
始於 20 世紀早期,
100
00:11:56,940 --> 00:12:00,900
假設空間和時間以某種方式結合，
101
00:12:00,940 --> 00:12:05,580
進入一個四維時空。
102
00:12:08,540 --> 00:12:12,460
這個時空中的一點是一個事件,
103
00:12:12,620 --> 00:12:16,460
被它在空間中的位置 x,y,z
104
00:12:17,620 --> 00:12:21,460
和它所發生的時間 t 表現出來。
105
00:12:24,100 --> 00:12:27,980
研究相對論,
106
00:12:28,100 --> 00:12:32,180
需要熟知四維幾何學。*
107
00:12:34,140 --> 00:12:36,620
非常有趣的是，
108
00:12:36,780 --> 00:12:39,660
這個四維幾何學
109
00:12:39,820 --> 00:12:42,380
比起相對論的發現
110
00:12:42,540 --> 00:12:45,340
早了五十多年。
111
00:12:46,620 --> 00:12:50,460
數學與物理如此相互影響，
112
00:12:50,620 --> 00:12:53,500
令科學歷史學家們迷戀不已。
|
|
|
1
00:00:08,540 --> 00:00:11,500
我是Adrien Douady.
2
00:00:12,620 --> 00:00:15,380
我在數學上的成就
3
00:00:15,580 --> 00:00:17,580
集中於複數方面.
4
00:00:18,700 --> 00:00:22,580
我的貢獻在於推動了代數幾何學
5
00:00:22,700 --> 00:00:25,500
與動力系統理論.
6
00:00:26,620 --> 00:00:29,060
複數歷史悠久.
7
00:00:29,180 --> 00:00:33,580
這兒左邊是Tartaglia 和 Cardano,
8
00:00:33,700 --> 00:00:36,580
複數的創始者,生活在文藝復興時期.
9
00:00:36,700 --> 00:00:39,580
右邊是Cauchy 和 Gauss,
10
00:00:39,700 --> 00:00:42,580
在19世紀鞏固了這個理論.
11
00:00:42,700 --> 00:00:44,700
複數
12
00:00:44,780 --> 00:00:46,780
並不複雜!
13
00:00:47,180 --> 00:00:51,180
它們曾被叫做"不可能的數字"
14
00:00:51,260 --> 00:00:54,580
至今有時也會被稱為"虛的".
15
00:00:54,700 --> 00:00:57,700
因為,它確實需要一點兒想像力。
16
00:00:57,780 --> 00:01:01,900
然而今天,這些數在科學中隨處可見
17
00:01:01,940 --> 00:01:04,580
並也不再神秘了.
18
00:01:04,620 --> 00:01:06,580
由它們還能畫出
19
00:01:06,700 --> 00:01:09,580
漂亮的分形圖形。
20
00:01:09,700 --> 00:01:12,580
我做過許多相關研究.
21
00:01:12,700 --> 00:01:16,580
還製作了最早數學動畫片之一
22
00:01:16,700 --> 00:01:19,980
"兔子的動態圖"。
23
00:01:20,100 --> 00:01:24,580
我先在黑板上為你解釋複數.
24
00:01:24,900 --> 00:01:27,900
數學家總是喜歡用粉筆寫字...
25
00:01:29,700 --> 00:01:32,700
看我的三角尺和量角器
26
00:01:32,780 --> 00:01:36,700
有時表現得很不尋常...
27
00:01:39,540 --> 00:01:42,500
先畫一條加上刻度的直線。
28
00:01:45,540 --> 00:01:48,500
數學中最好的方法之一,
29
00:01:48,620 --> 00:01:50,500
是將幾何與代數聯繫起來.
30
00:01:51,980 --> 00:01:54,980
這是代數幾何學的開端.
31
00:01:59,700 --> 00:02:03,700
數字可以兩兩相加, 點也可以!
32
00:02:05,740 --> 00:02:11,380
看這紅藍兩點， 都在直線上。
33
00:02:11,500 --> 00:02:13,700
這兩點相加，
34
00:02:13,780 --> 00:02:17,700
等於綠點!一加二等於三!
35
00:02:18,740 --> 00:02:20,700
移動紅藍兩點,
36
00:02:20,780 --> 00:02:25,700
其"和"綠點也隨之移動.
37
00:02:26,780 --> 00:02:31,780
更有趣的是點點之間還可以相乘.
38
00:02:33,740 --> 00:02:36,700
例如,乘以 -2 的運算.
39
00:02:36,900 --> 00:02:41,780
將點 1 變為點 -2.
40
00:02:44,620 --> 00:02:47,580
若再次乘以-2,
41
00:02:47,740 --> 00:02:50,580
則換回到
42
00:02:50,620 --> 00:02:52,980
原點的同一側，
43
00:02:53,100 --> 00:02:55,060
並將距離擴大兩倍.
44
00:02:55,180 --> 00:02:56,900
當然,我們得到 4.
45
00:02:57,980 --> 00:03:01,900
所以連乘兩次 -2,,
46
00:03:01,980 --> 00:03:04,900
相當於乘以 4.
47
00:03:08,100 --> 00:03:10,980
乘以-1是非常簡單的.
48
00:03:11,100 --> 00:03:14,980
每一點都被送到了關於
49
00:03:15,100 --> 00:03:17,180
原點對稱的一點上,
50
00:03:17,260 --> 00:03:20,580
也就是轉動半圈,
51
00:03:20,740 --> 00:03:24,700
或說旋轉180度.
52
00:03:24,780 --> 00:03:27,780
一個數乘以它的本身,
53
00:03:27,900 --> 00:03:30,780
結果總是正的.
54
00:03:30,980 --> 00:03:32,980
如果乘一次負1,
55
00:03:33,100 --> 00:03:34,980
是轉動半圈;
56
00:03:35,100 --> 00:03:37,180
再乘一次,
57
00:03:37,300 --> 00:03:38,980
則回到了起點!
58
00:03:39,100 --> 00:03:44,380
負1 乘以 負1 等於
59
00:03:44,500 --> 00:03:45,380
正1。
60
00:03:47,980 --> 00:03:50,500
你看, 乘以負1 的運算，
61
00:03:50,620 --> 00:03:52,580
將 2 送到 -2。
62
00:03:52,740 --> 00:03:54,180
若再次乘以負1 ,
63
00:03:54,260 --> 00:03:55,820
則又回到了 2.
64
00:03:55,860 --> 00:03:57,780
很明顯,不是嗎?
65
00:03:58,900 --> 00:04:02,260
因此,沒有任何一個數
66
00:04:02,380 --> 00:04:05,780
乘以它本身等於-1.
67
00:04:08,740 --> 00:04:12,700
也就是說,-1沒有平方根.
68
00:04:17,740 --> 00:04:20,700
可數學家是極富創造力的!
69
00:04:20,780 --> 00:04:23,700
19世紀初,Robert Argand
70
00:04:23,780 --> 00:04:28,780
有一個非常棒的主意.
71
00:04:28,900 --> 00:04:32,700
他對自己說: 既然乘以負1
72
00:04:32,780 --> 00:04:34,780
是轉動180度,
73
00:04:34,900 --> 00:04:40,900
它的平方根應是轉動它的一半:90度.
74
00:04:40,980 --> 00:04:43,980
轉動兩次四分之一圈,
75
00:04:44,100 --> 00:04:45,980
正好是轉動半圈!
76
00:04:46,980 --> 00:04:52,980
四分之一圈的平方是半圈,所以我們得到負1.
77
00:04:53,100 --> 00:04:55,780
這樣想就足夠了!
78
00:04:56,500 --> 00:05:00,500
因此,Argand宣布 負1 的平方根
79
00:05:00,620 --> 00:05:05,500
是對應於1的一個90度的旋轉.
80
00:05:05,620 --> 00:05:11,060
然而,這迫使我們離開水平直線,
81
00:05:11,180 --> 00:05:14,500
將一個數賦予
82
00:05:14,620 --> 00:05:17,700
不在直線上的平面中的點!
83
00:05:18,740 --> 00:05:22,700
由於這個構造有點兒奇怪,
84
00:05:22,780 --> 00:05:28,700
我們說 負1 的平方根,是一個虛數。
85
00:05:28,780 --> 00:05:32,700
並稱它為 i.
86
00:05:32,780 --> 00:05:35,820
但是,一旦我們有勇氣離開直線,
87
00:05:35,860 --> 00:05:37,700
問題就變得簡單了.
88
00:05:38,740 --> 00:05:41,700
2i,3i等都可被表現出來。
89
00:05:41,780 --> 00:05:45,700
平面上的每一點都對應著一個複數
90
00:05:45,780 --> 00:05:50,700
相反地,所有複數都定義一個平面上的點.
91
00:05:52,620 --> 00:05:57,580
平面上的點全部變成了數!
92
00:05:57,780 --> 00:06:01,780
而且他們還可以兩兩相加。
93
00:06:01,900 --> 00:06:06,780
看這紅點,它表示 1+2i .
94
00:06:06,900 --> 00:06:13,500
將它與藍點 3+i 相加，
95
00:06:14,740 --> 00:06:18,700
很自然的，
96
00:06:18,900 --> 00:06:21,700
我們得到...
97
00:06:21,780 --> 00:06:24,700
4+3i .
98
00:06:24,780 --> 00:06:28,700
從幾何學角度來說,這只是向量相加.
99
00:06:29,620 --> 00:06:33,500
不僅它們可以相加，
100
00:06:37,980 --> 00:06:40,980
更有趣的是,
101
00:06:41,100 --> 00:06:43,980
這些複數也可以相乘，
102
00:06:44,100 --> 00:06:46,980
正如實數一樣.
103
00:06:47,100 --> 00:06:47,980
請看...
104
00:06:48,180 --> 00:06:51,180
怎樣將一個複數乘以 2.
105
00:06:51,260 --> 00:06:55,180
2 乘以 1+2i 自然應該
106
00:06:55,260 --> 00:06:57,180
等於 2+4i 。
107
00:06:57,260 --> 00:06:59,700
從幾何學角度來說,乘 2 非常簡單;
108
00:06:59,780 --> 00:07:01,700
它只是擴大兩倍;
109
00:07:01,780 --> 00:07:04,700
紅點擴大兩倍,正是綠點!
110
00:07:11,100 --> 00:07:14,060
乘 i 也並不困難，
111
00:07:14,180 --> 00:07:17,700
只是相當於轉動四分之一圈.
112
00:07:18,260 --> 00:07:21,180
要將 3+i 乘以 i,
113
00:07:21,260 --> 00:07:25,700
只需將其轉動四分之一圈.
114
00:07:25,780 --> 00:07:29,700
得到的是 -1+3i 。
115
00:07:30,780 --> 00:07:33,780
不算複雜吧!
116
00:07:40,100 --> 00:07:44,060
最後,我們可將任意兩個複數相乘
117
00:07:44,180 --> 00:07:46,060
沒有問題吧?
118
00:07:46,740 --> 00:07:54,700
例如, 把 2+1.5i 與 -1+2.4 i 相乘.
119
00:07:54,780 --> 00:07:57,700
如通常一樣,
120
00:07:57,780 --> 00:08:03,700
先算乘 2 ,再算乘 1.5i ,然後將結果相加.
121
00:08:03,780 --> 00:08:06,700
於是我們得到:
122
00:08:06,780 --> 00:08:09,740
"2乘以..."
123
00:08:17,700 --> 00:08:19,580
我們得到
124
00:08:19,740 --> 00:08:26,060
-2 + 4.8 i + (- 1.5 i + 3.6*i*i)。
125
00:08:26,260 --> 00:08:29,780
但是, 要記得 i 的平方等於 -1,
126
00:08:29,900 --> 00:08:32,780
所以要把 i*i 換成 -1。
127
00:08:35,180 --> 00:08:38,180
我們得到:
128
00:08:38,260 --> 00:08:45,580
-2 -3.6 加上...
129
00:08:45,620 --> 00:08:48,500
整理一下, 即得到
130
00:08:48,780 --> 00:08:55,380
-2 -3.6 + 4.8 i - 1.5 i ,
131
00:08:55,500 --> 00:08:59,380
結果是
132
00:08:59,500 --> 00:09:05,900
-5.6 + 3.3 i 。
133
00:09:08,180 --> 00:09:11,060
好了,現在我們能夠
134
00:09:11,180 --> 00:09:13,180
將複數相乘了，
135
00:09:13,300 --> 00:09:18,260
換句話說,我們能將平面上的點相乘!
136
00:09:18,380 --> 00:09:20,260
這太不可思議了!
137
00:09:20,380 --> 00:09:23,260
我們曾認為平面是2維的
138
00:09:23,380 --> 00:09:24,900
因為需要兩個數
139
00:09:24,980 --> 00:09:27,980
來描述任意一點的位置
140
00:09:28,100 --> 00:09:30,380
但現在一個數就夠了!
141
00:09:32,100 --> 00:09:35,060
當然,現在涉及到的是複數!
142
00:09:35,180 --> 00:09:39,060
此時要引進
143
00:09:40,180 --> 00:09:43,060
兩個新概念：
144
00:09:43,180 --> 00:09:47,060
複數的模和輻角.
145
00:09:50,940 --> 00:09:54,780
複數 z 的模
146
00:09:54,940 --> 00:09:58,780
只是原點與 z 點之間的距離.
147
00:10:00,940 --> 00:10:04,980
測量一下紅點的模
148
00:10:05,100 --> 00:10:08,580
也就是 2 + 1.5 i 的模
149
00:10:08,980 --> 00:10:11,980
看, 它等於 2.5.
150
00:10:12,100 --> 00:10:15,060
因此 2 + 1.5 i 的模是 2.5.
151
00:10:15,100 --> 00:10:18,060
對於藍點,我們得到 2.6.
152
00:10:18,100 --> 00:10:21,060
對於綠點,
153
00:10:21,180 --> 00:10:24,260
紅點與藍點的積，
154
00:10:24,380 --> 00:10:26,980
我們得到 6.5 。
155
00:10:28,100 --> 00:10:31,060
這是個規則:兩個複數的乘積的模
156
00:10:31,180 --> 00:10:35,060
正是它們的模的乘積.
157
00:10:50,940 --> 00:10:52,900
複數的輻角
158
00:10:52,980 --> 00:10:56,980
是這點和原點的連線，
159
00:10:57,100 --> 00:10:59,900
與橫軸的差角。
160
00:10:59,980 --> 00:11:03,060
如紅色複數的輻角
161
00:11:03,180 --> 00:11:05,380
是36.8度.
162
00:11:05,500 --> 00:11:09,380
藍點的輻角是112.6度.
163
00:11:09,500 --> 00:11:14,700
它們的乘積,綠點的輻角是149.4度;
164
00:11:14,780 --> 00:11:19,700
這是兩個數的輻角的和...
165
00:11:27,980 --> 00:11:31,260
兩個複數相乘,
166
00:11:31,380 --> 00:11:35,900
相當於模相乘,輻角相加.
167
00:11:45,980 --> 00:11:48,900
讓我們用球極平面射影
168
00:11:48,980 --> 00:11:52,900
來完結與複數的首次相遇.
169
00:11:53,940 --> 00:11:58,780
取一球體,讓它在原點與黑板相切.
170
00:12:01,100 --> 00:12:04,060
對黑板上的每一點,
171
00:12:04,180 --> 00:12:07,060
使用球極平面射影
172
00:12:07,180 --> 00:12:10,060
將每個複數,
173
00:12:10,180 --> 00:12:13,060
對應於球面上的一點.
174
00:12:13,180 --> 00:12:16,060
只有球體的北極
175
00:12:16,180 --> 00:12:19,060
也就是投影的極點，
176
00:12:19,180 --> 00:12:22,700
與任何複數都沒有聯繫。
177
00:12:22,780 --> 00:12:26,260
我們說它對應於無窮遠處.
178
00:12:27,180 --> 00:12:29,180
數學家們說球面
179
00:12:29,260 --> 00:12:32,180
是一條復射影直線.
180
00:12:33,180 --> 00:12:35,060
為什麼是直線?
181
00:12:35,260 --> 00:12:38,180
因為只需一個數來描述它的點!
182
00:12:38,260 --> 00:12:40,180
為什麼是復的?
183
00:12:40,260 --> 00:12:44,180
因為這些數是複數.
184
00:12:44,260 --> 00:12:46,180
為什麼是射影?
185
00:12:46,260 --> 00:12:49,500
因為要用射影來加入一個無窮遠點.
186
00:12:49,700 --> 00:12:51,700
數學家們真是怪異，
187
00:12:51,780 --> 00:12:53,820
竟然說球面是一條直線!
|
|
|
1
00:00:07,540 --> 00:00:11,500
我將為你說明一些變換。
2
00:00:11,540 --> 00:00:13,500
變換什麼?
3
00:00:13,580 --> 00:00:16,500
嗯,如果你不介意的話,
4
00:00:16,540 --> 00:00:20,500
我們來變換我的相片。
5
00:00:20,620 --> 00:00:22,580
先從簡單的開始:
6
00:00:22,620 --> 00:00:25,580
將 z 變換為 z/2。
7
00:00:25,620 --> 00:00:28,620
照片上的每一點都對應著一個複數 z
8
00:00:28,660 --> 00:00:30,580
經過除 2 運算，
9
00:00:31,540 --> 00:00:34,500
它變成另外一點。
10
00:00:34,540 --> 00:00:36,540
因此,這張新的照片。
11
00:00:36,580 --> 00:00:39,500
不出所料地,
12
00:00:39,540 --> 00:00:42,500
把我縮小了兩倍，
13
00:00:42,540 --> 00:00:45,580
因為每個 z 都除以了 2!
14
00:00:45,620 --> 00:00:48,580
這個變換叫做位似。
15
00:00:53,540 --> 00:00:55,740
接下來,做乘 i 變換。
16
00:00:56,540 --> 00:00:57,660
很簡單!
17
00:00:57,940 --> 00:00:59,740
我們知道乘以 i,
18
00:01:00,540 --> 00:01:03,700
只是轉動四分之一圈。
19
00:01:04,500 --> 00:01:06,700
模長沒變，
20
00:01:07,500 --> 00:01:10,700
輻角卻增大了90度。
21
00:01:11,580 --> 00:01:14,540
說得這樣複雜，
22
00:01:14,580 --> 00:01:17,580
其實只是轉動了照片!
23
00:01:28,580 --> 00:01:31,580
來吧,更複雜一點兒的...
24
00:01:31,620 --> 00:01:34,580
乘 1+i 變換。
25
00:01:37,540 --> 00:01:39,740
你看這個 1+i;
26
00:01:40,540 --> 00:01:42,740
橫坐標為 1,縱坐標也是1:
27
00:01:43,540 --> 00:01:45,740
輻角是 45 度
28
00:01:46,540 --> 00:01:49,500
模是..., 由勾股定理，
29
00:01:49,540 --> 00:01:51,740
根號 2。
30
00:01:52,500 --> 00:01:54,700
因此,乘 1+i
31
00:01:54,740 --> 00:01:58,700
是將模長乘以根號 2,
32
00:01:58,740 --> 00:02:01,740
並將輻角加上 45 度。
33
00:02:02,540 --> 00:02:08,500
它是一個位似與一個旋轉的結合，
34
00:02:08,540 --> 00:02:11,500
稱為--相似變換。
35
00:02:20,740 --> 00:02:22,700
更有趣的來了!
36
00:02:22,740 --> 00:02:27,700
把 z 變換為它的平方，
37
00:02:27,740 --> 00:02:30,700
也就是說 z 乘以 z 。
38
00:02:30,740 --> 00:02:34,700
先將照片
39
00:02:34,740 --> 00:02:38,700
夾固在坐標軸之間。
40
00:02:38,740 --> 00:02:41,700
再改變一下焦距。
41
00:02:41,740 --> 00:02:44,660
因為平方將物體膨脹許多，
42
00:02:44,700 --> 00:02:48,660
我需要一些空間來解釋。
43
00:02:49,540 --> 00:02:52,740
好了,照片在逐漸地變換。
44
00:02:53,540 --> 00:02:56,500
注意,z平方的輻角
45
00:02:56,540 --> 00:02:59,500
是 z 的輻角的兩倍。
46
00:02:59,540 --> 00:03:03,500
因此照片左下角的直角，
47
00:03:03,540 --> 00:03:06,500
被擴大了兩倍，
48
00:03:06,540 --> 00:03:09,500
變成了平角。
49
00:03:09,540 --> 00:03:12,500
現把照片放在另一個地方，
50
00:03:12,540 --> 00:03:16,700
再做 z平方的變換：
51
00:03:16,740 --> 00:03:20,500
輻角還是擴大了兩倍。
52
00:03:20,540 --> 00:03:22,580
看我的食指，
53
00:03:23,540 --> 00:03:27,500
變換之前,它的輻角大約為45度
54
00:03:29,540 --> 00:03:33,500
變換之後,它指向垂直方向,90度。
55
00:03:33,540 --> 00:03:38,500
注意模長同時也被平方了。
56
00:03:54,580 --> 00:03:57,540
這是一個新的變換;
57
00:03:58,580 --> 00:04:02,540
將點 z 送到 -1/z 。
58
00:04:02,580 --> 00:04:05,540
別忘了,複數們可以
59
00:04:05,580 --> 00:04:09,540
相加,相乘,也可以相除
60
00:04:09,580 --> 00:04:12,540
(當然了,除了零不能被除以外!)
61
00:04:13,580 --> 00:04:16,580
這張照片可使你想起西斯廷教堂?
62
00:04:18,580 --> 00:04:22,580
那些模長很大的複數,
63
00:04:22,620 --> 00:04:27,580
其逆數將變得很小,反之亦然。
64
00:04:30,860 --> 00:04:33,580
這裡有一個類似的變換。
65
00:04:33,620 --> 00:04:35,580
看這個公式。
66
00:04:35,620 --> 00:04:38,580
k 的值逐漸地改變。
67
00:04:38,620 --> 00:04:40,580
某些部分膨脹起來,
68
00:04:40,660 --> 00:04:44,580
另一些則收縮了,但如果我們靠近看,
69
00:04:44,660 --> 00:04:50,500
形狀是保持不變的,即使長度有所變化。
70
00:04:52,540 --> 00:04:56,500
圓依然是圓,即使它變大了:
71
00:04:56,580 --> 00:04:59,540
我的手變大了,而臉卻變小
72
00:04:59,580 --> 00:05:02,540
但你還是可以認出我吧!
73
00:05:11,540 --> 00:05:14,740
這個更複雜了。
74
00:05:22,540 --> 00:05:24,740
呵呵,這可不是一個...
75
00:05:25,540 --> 00:05:26,740
適用於我的減肥術!
76
00:05:28,540 --> 00:05:32,500
但是請注意,即使我變胖了,
77
00:05:32,540 --> 00:05:35,500
那些小部分的形狀並沒有改變:
78
00:05:35,540 --> 00:05:38,500
例如,我襯衫上的一粒鈕扣，
79
00:05:38,580 --> 00:05:40,700
它依然保持一個圓的形狀。
80
00:05:41,540 --> 00:05:47,500
這些變換被稱為共形的， 或全純的,
81
00:05:47,540 --> 00:05:50,540
為了說明它們
82
00:05:50,580 --> 00:05:52,620
保持形狀不變。
83
00:05:52,660 --> 00:05:54,620
其實,使用複數,
84
00:05:54,660 --> 00:05:56,620
還可以做許多事情;
85
00:05:56,660 --> 00:05:58,620
如取指數,
86
00:05:58,660 --> 00:06:00,620
若你知道它意味著什麼!
87
00:06:00,660 --> 00:06:03,620
即使不知道,也可以看一下
88
00:06:03,660 --> 00:06:05,620
指數使我遭受的待遇!
89
00:06:05,660 --> 00:06:07,620
我的頭怎麼不見了?
90
00:06:07,660 --> 00:06:11,620
不! 向原點處仔細看，
91
00:06:11,660 --> 00:06:14,620
可以看到我的鬍鬚。
92
00:06:15,660 --> 00:06:19,620
現在,你了解複數了
93
00:06:19,660 --> 00:06:22,620
並已看到了一些變換。
94
00:06:22,660 --> 00:06:27,540
我將為你解釋我最近的研究成果之一。
95
00:06:27,580 --> 00:06:30,620
你看,這兒有一些點
96
00:06:30,660 --> 00:06:34,620
一些是藍色的,在單位圓盤內
97
00:06:34,660 --> 00:06:37,620
另一些是黃色的,在圓外。
98
00:06:37,660 --> 00:06:41,540
連續多次運用z平方的變換
99
00:06:41,580 --> 00:06:43,620
結果呢?
100
00:06:45,620 --> 00:06:49,580
藍點仍在圓內，
101
00:06:49,660 --> 00:06:52,580
黃點則
102
00:06:52,660 --> 00:06:55,580
遠離圓盤,甚至跑出螢幕。
103
00:07:00,500 --> 00:07:05,700
藍色圓盤被稱為 z平方的
104
00:07:06,500 --> 00:07:08,700
填充Julia集。
105
00:07:08,740 --> 00:07:11,700
位於Julia 集外的點
106
00:07:11,740 --> 00:07:16,500
在無休止地重複變換下,越跑越遠。
107
00:07:17,580 --> 00:07:20,540
也可用其它的變換玩同樣的遊戲;
108
00:07:20,580 --> 00:07:24,540
例如,像那些z平方加上c的形式
109
00:07:24,580 --> 00:07:28,540
c是事先挑選的一個複數。
110
00:07:29,540 --> 00:07:33,740
對於每個 c, 都有一個Julia 集，
111
00:07:34,540 --> 00:07:36,740
它的形狀隨 c 變化。
112
00:07:38,540 --> 00:07:40,740
你看， 這兒有些例子。
113
00:08:12,540 --> 00:08:14,740
這個,我給它取名兔子!
114
00:08:53,540 --> 00:08:55,740
為了更好地理解它們形狀的改變,
115
00:08:56,540 --> 00:08:58,740
請同時看兩個東西：
116
00:08:59,540 --> 00:09:01,740
左邊,紅色的那邊,
117
00:09:02,540 --> 00:09:04,740
有點 c 。
118
00:09:05,540 --> 00:09:07,740
它將移動。
119
00:09:08,540 --> 00:09:11,500
右邊是與之對應的Julia 集:
120
00:09:11,580 --> 00:09:14,500
當 c 改變時，
121
00:09:14,580 --> 00:09:16,500
它逐漸變形。
122
00:09:16,540 --> 00:09:19,500
對於某些 c ,
123
00:09:19,540 --> 00:09:21,620
它似乎
124
00:09:21,660 --> 00:09:24,500
消失了,
125
00:09:24,540 --> 00:09:26,500
正如現在。
126
00:09:26,540 --> 00:09:29,500
事實上,Julia 集
127
00:09:29,540 --> 00:09:32,500
分裂為無限個小塊
128
00:09:32,580 --> 00:09:35,500
小到肉眼看不見。
129
00:09:35,540 --> 00:09:40,500
是 Benoit Mandelbrot 普及了分形集合,
130
00:09:40,540 --> 00:09:43,500
並提議研究紅色的集合
131
00:09:43,540 --> 00:09:47,500
這個集合描繪的 c 值
132
00:09:47,540 --> 00:09:51,500
正是可以"被看到"的Julia 集的c值，
133
00:09:51,540 --> 00:09:55,500
也就是說,那些沒有分裂為
134
00:09:55,540 --> 00:09:58,700
許多小塊的Julia 集的c值。
135
00:09:59,500 --> 00:10:01,540
這個紅色集合被稱為
136
00:10:01,580 --> 00:10:06,500
Mandelbrot 集合,我曾花了許多時間來研究它。
137
00:10:06,540 --> 00:10:09,500
最後,我建議你來看一下
138
00:10:09,540 --> 00:10:12,500
這個Mandelbrot集合,近些,再近些,
139
00:10:12,540 --> 00:10:15,500
並且進入其中
140
00:10:15,540 --> 00:10:19,500
來欣賞它無比的美麗...
141
00:10:19,540 --> 00:10:21,500
來吧,出發咯!
142
00:10:21,540 --> 00:10:23,500
看...
143
00:10:25,540 --> 00:10:27,740
這一次,我不再為你解釋所有的細節。
144
00:10:28,540 --> 00:10:30,620
設想它是一個黑色島嶼,
145
00:10:30,660 --> 00:10:33,500
被熱帶海洋環繞著,
146
00:10:33,540 --> 00:10:37,620
並且你可以看到它在海面下的底部。
147
00:10:46,540 --> 00:10:50,500
我跟你說,你正在觀察一些
148
00:10:50,540 --> 00:10:52,500
極其微小的細節...
149
00:10:52,540 --> 00:10:56,500
如果Mandelbrot集合有一個足球場那麼大,
150
00:10:56,580 --> 00:11:00,500
那麼,我們將觀察一個原子大小的細節;
151
00:11:00,540 --> 00:11:03,500
大約是百萬分之一毫米!
152
00:12:14,580 --> 00:12:16,500
也許你會問，
153
00:12:16,540 --> 00:12:18,620
為什麼我會對它產生興趣?
154
00:12:18,660 --> 00:12:21,620
首先,因為它很美麗
155
00:12:21,660 --> 00:12:23,620
並且對於這個課題的研究，
156
00:12:23,660 --> 00:12:26,620
給了我很多快樂。
157
00:12:26,660 --> 00:12:29,580
這個理由已足夠使我在這個問題上花費時間了。
158
00:12:29,620 --> 00:12:33,540
並且,這些看似簡單的變換，
159
00:12:33,580 --> 00:12:37,540
卻蘊含了
160
00:12:37,580 --> 00:12:40,540
混沌學中的精華。
161
00:12:40,580 --> 00:12:43,540
是的，簡單物體
162
00:12:43,580 --> 00:12:46,500
可產生豐富結構!
163
00:12:46,540 --> 00:12:49,540
通過簡單的化身
164
00:12:49,580 --> 00:12:52,580
來研究複雜的現象,
165
00:12:52,620 --> 00:12:55,580
這正是數學家們通常所扮演的角色。
|
|
|
1
00:00:09,540 --> 00:00:12,180
這些 空間中的圓周，
2
00:00:12,220 --> 00:00:16,260
將組成美麗的曲面。
3
00:00:17,620 --> 00:00:20,580
為了理解四維空間中的
4
00:00:20,700 --> 00:00:23,700
三維球面,
5
00:00:23,740 --> 00:00:28,700
我將用圓環填滿它，
6
00:00:28,740 --> 00:00:33,780
以此方式構成稱為"纖維叢"的物體。
7
00:00:34,540 --> 00:00:36,980
對了,我叫 Heinz Hopf
8
00:00:37,100 --> 00:00:40,980
生活在二十世紀上半葉。
9
00:00:41,020 --> 00:00:44,500
我參與發展了拓撲學。
10
00:00:46,700 --> 00:00:49,700
看這個環面,
11
00:00:49,740 --> 00:00:52,700
似乎被一些纏繞在一起的圓周填滿。 ---
12
00:00:55,780 --> 00:00:58,780
13
00:00:59,780 --> 00:01:04,780
圓周,球面和環面屬於
14
00:01:04,820 --> 00:01:07,780
最簡單的物體。
15
00:01:08,780 --> 00:01:11,780
且互相關聯。
16
00:01:13,780 --> 00:01:17,780
我曾在柏林、普林斯頓和蘇黎世工作,
17
00:01:17,940 --> 00:01:20,780
當代數學文獻中，時常會出現：
18
00:01:20,820 --> 00:01:29,780
Poincaré-Hopf 定理, Hopf 不變數, Hopf 代數, Hopf 纖維叢， 等等。
19
00:01:34,540 --> 00:01:36,500
這是我的畫像。
20
00:01:37,540 --> 00:01:43,500
我在1931年發表了關於"我的"纖維叢的發現。
21
00:01:48,780 --> 00:01:52,780
當然，這也倚仗著
22
00:01:52,820 --> 00:01:56,780
許多前輩們的工作,如 Clifford。
23
00:01:56,900 --> 00:01:59,900
他在19世紀的英國工作。
24
00:02:12,700 --> 00:02:17,700
讓我先從白色的黑板開始解釋。
25
00:02:17,740 --> 00:02:18,700
這是 ?
26
00:02:18,740 --> 00:02:22,700
一個 2 維平面?
27
00:02:22,740 --> 00:02:24,700
嗯... 是,也不是!
28
00:02:24,740 --> 00:02:26,700
因為它是...
29
00:02:26,740 --> 00:02:29,060
一個復2維平面,
30
00:02:29,180 --> 00:02:31,980
即一個實 4 維空間。
31
00:02:32,100 --> 00:02:34,060
來,努力一下!
32
00:02:34,100 --> 00:02:38,060
這其中每點由兩個坐標確定;
33
00:02:38,100 --> 00:02:42,060
而每個坐標都是一個複數，
34
00:02:42,100 --> 00:02:45,580
即由兩個實數定義。
35
00:02:45,620 --> 00:02:47,900
畫面上每條軸都是一條復直線;
36
00:02:47,940 --> 00:02:51,900
其上每點都有一個坐標，
37
00:02:51,940 --> 00:02:55,900
它是一個複數。
38
00:02:56,540 --> 00:03:02,500
這是橫軸上的點 2 - i 。
39
00:03:13,540 --> 00:03:16,500
看另一條軸,即縱軸，
40
00:03:16,540 --> 00:03:21,500
這是它上的點 1 - 2i 。
41
00:03:26,540 --> 00:03:28,980
黑板雖是魔幻的,
42
00:03:29,020 --> 00:03:32,500
可還不能同時顯示兩個平面。
43
00:03:32,620 --> 00:03:36,180
它們在三維里沿著一條直線相交，
44
00:03:36,220 --> 00:03:39,580
但在四維空間,它們只在原點相交，
45
00:03:39,620 --> 00:03:42,580
畢竟,它們是軸線!
46
00:03:48,620 --> 00:03:50,580
這又是什麼?
47
00:03:50,620 --> 00:03:53,580
一個圓周? 是... 也不是!
48
00:03:54,620 --> 00:03:59,580
應該試想，它在四維空間中，
49
00:03:59,620 --> 00:04:02,580
且與原點的距離恆為 1。
50
00:04:02,620 --> 00:04:05,580
它不是別的,
51
00:04:05,780 --> 00:04:09,580
正是三維球面 S3 !
52
00:04:10,540 --> 00:04:14,380
這需要一點兒想像力...
53
00:04:20,700 --> 00:04:26,260
試想一下這 S3 怎樣與橫軸相交。
54
00:04:28,540 --> 00:04:31,500
在截取橫軸時，
55
00:04:31,540 --> 00:04:38,700
其截面為這軸上與原點距離為 1 的點集。
56
00:04:46,540 --> 00:04:50,500
所以... , 是一個圓周。
57
00:04:54,620 --> 00:04:57,580
對於縱軸也是如此，
58
00:04:57,620 --> 00:05:03,580
它與 S3 也在一個圓周上相遇,藍圓周。
59
00:05:07,700 --> 00:05:11,700
對於水平和垂直直線是如此,
60
00:05:11,740 --> 00:05:16,700
對於其它過原點的直線也是如此。
61
00:05:29,380 --> 00:05:34,380
如這條直線的方程是 z_2 = -2 z_1 。
62
00:05:34,420 --> 00:05:40,380
實際上，對應於所有直線 z_2 = a z_1 都有一個圓周，
63
00:05:40,540 --> 00:05:44,500
而且 a 可以取任何複數。
64
00:05:44,860 --> 00:05:49,500
因此,在四維空間中的球面 S3，
65
00:05:49,540 --> 00:05:52,500
是被一些圓周填滿的 ;
66
00:05:52,540 --> 00:05:56,500
在過原點的每條復直線上
67
00:05:56,540 --> 00:05:58,500
都有一個圓周。
68
00:05:58,540 --> 00:06:03,500
小心! 似乎這些圓周彼此相交，
69
00:06:03,580 --> 00:06:05,500
然而在四維空間中，
70
00:06:05,580 --> 00:06:09,500
兩條直線只在原點相交,
71
00:06:09,540 --> 00:06:12,500
因此,它們各自包含的單位圓周，
72
00:06:12,540 --> 00:06:14,500
並不相交。
73
00:06:14,540 --> 00:06:17,500
如此把 S3 分解為許多圓周，
74
00:06:17,540 --> 00:06:20,500
是我首先發現的。
75
00:06:20,540 --> 00:06:24,500
因此它被稱為 Hopf 纖維叢。
76
00:06:24,540 --> 00:06:26,500
叫纖維叢， 是因為
77
00:06:26,540 --> 00:06:29,500
它很像織品的纖維。
78
00:06:29,540 --> 00:06:33,580
現用球極投影來觀察它。
79
00:06:33,620 --> 00:06:38,060
試想從北極將 S3 投影到
80
00:06:38,100 --> 00:06:43,060
南極的正切空間， 即是我們的三維空間。
81
00:06:43,100 --> 00:06:48,060
這是其中一個圓周的投影。
82
00:06:48,100 --> 00:06:51,380
即一條復直線和 S3 的交點的投影。
83
00:06:51,540 --> 00:06:53,980
有很多這樣的圓周。
84
00:06:54,020 --> 00:06:58,500
在每條過原點的復直線上，也就是
85
00:06:58,620 --> 00:07:00,980
每給一個複數 a ,
86
00:07:01,020 --> 00:07:05,500
就有一個 S3 與直線 z_2 = a z_1 的相交圓周。
87
00:07:05,620 --> 00:07:09,380
變動 a 值, （或變動這條直線），
88
00:07:09,420 --> 00:07:13,580
圓周投影也隨之改變。
89
00:07:15,540 --> 00:07:18,500
有時甚至變成了一條直線。
90
00:07:18,540 --> 00:07:22,500
這是因為它經過了 S3 的北極。
91
00:07:29,620 --> 00:07:32,700
現在同時觀察兩個圓周。
92
00:07:32,780 --> 00:07:38,500
左下角的紅綠兩點代表兩個複數 a ，
93
00:07:40,620 --> 00:07:43,580
紅點對應於紅圓周。
94
00:07:43,620 --> 00:07:47,780
綠點對應於綠圓周。
95
00:07:47,980 --> 00:07:51,980
而且, 如同鏈子上的兩個環，
96
00:07:52,020 --> 00:07:54,260
它們總是相互纏繞著，
97
00:07:54,300 --> 00:07:57,260
不打碎不可能被分開。
98
00:08:05,980 --> 00:08:08,980
更美妙的是，可讓三個圓周
99
00:08:09,020 --> 00:08:14,900
同時翩翩起舞。
100
00:08:50,700 --> 00:08:53,700
現取眾多的復直線,
101
00:08:53,740 --> 00:08:55,700
顯出眾多的圓周。
102
00:08:55,740 --> 00:08:58,700
103
00:09:08,540 --> 00:09:10,500
它們填滿了整個空間。
104
00:09:10,540 --> 00:09:14,900
且兩兩不相交。
105
00:09:14,980 --> 00:09:18,980
這就是一個纖維結構的例子。
106
00:10:04,540 --> 00:10:06,900
下面我們
107
00:10:06,940 --> 00:10:10,500
暫且回到黑板。
108
00:10:10,540 --> 00:10:13,500
看, 每條線上有一個Hopf 圓周。
109
00:10:14,540 --> 00:10:18,060
可用方程 z_2 = a z_1 代表此線 ,
110
00:10:18,100 --> 00:10:21,060
a 是複數,
111
00:10:21,100 --> 00:10:22,500
代表直線的斜率，
112
00:10:22,540 --> 00:10:26,500
用標在綠線上的紅點表示。
113
00:10:26,540 --> 00:10:30,380
縱軸沒有這樣的方程，
114
00:10:30,420 --> 00:10:33,580
但可被想像為斜率為無窮大。
115
00:10:35,540 --> 00:10:38,580
別忘了,a 是一複數。
116
00:10:38,620 --> 00:10:42,500
綠線是一條復直線,
117
00:10:42,540 --> 00:10:46,500
也就是一個實平面。
118
00:10:47,540 --> 00:10:50,980
每條與 S3 相交的復直線，
119
00:10:51,020 --> 00:10:52,980
都被綠線上的一點，
120
00:10:53,020 --> 00:10:54,980
完全刻劃，
121
00:10:55,020 --> 00:10:57,980
別忘了加上在無窮遠處的一點。
122
00:11:17,260 --> 00:11:20,260
而加上這點以後，
123
00:11:20,300 --> 00:11:23,260
綠色直線即變成了二維球面。
124
00:11:25,540 --> 00:11:28,500
這正是三維中的球極投影。
125
00:11:40,780 --> 00:11:43,780
因此,與 S3 相交的復直線，
126
00:11:43,820 --> 00:11:47,780
可用黃色球面上的點表示。
127
00:11:47,820 --> 00:11:50,500
即對應於二維球面上的每一點,
128
00:11:56,780 --> 00:12:00,900
都有一個 S3 上的圓周。
129
00:12:00,940 --> 00:12:03,060
圓周也可以說是,
130
00:12:03,100 --> 00:12:06,580
一維球面,不是嗎?
131
00:12:06,700 --> 00:12:09,700
這些圓周填滿了 S3，
132
00:12:09,740 --> 00:12:14,260
每一點又都只屬於一個圓，
133
00:12:14,300 --> 00:12:17,260
其又對應於二維球面上的一點。
134
00:12:21,900 --> 00:12:23,900
這樣,我們就得到了
135
00:12:23,940 --> 00:12:28,900
一個從 S3 到 S2 的投影。
136
00:12:28,980 --> 00:12:31,980
很複雜吧?
137
00:12:32,260 --> 00:12:36,580
數學家們說 S2 每一點的上方
138
00:12:36,620 --> 00:12:39,580
都掛有一個圓周纖維。
139
00:12:39,700 --> 00:12:45,700
它們全體正好組成三維球面。
140
00:12:47,780 --> 00:12:50,780
我對這纖維叢真是非常自豪，
141
00:12:50,820 --> 00:12:52,780
更何況,
142
00:12:52,820 --> 00:12:58,700
她早已成為了拓撲學的一個基礎課題!
|
|
|
1
00:00:10,540 --> 00:00:13,060
再來看 S2 球面和它的緯線。
2
00:00:14,220 --> 00:00:15,980
S2中每一點的上方,
3
00:00:16,020 --> 00:00:17,700
都可想像一個 Hopf 圓周。
4
00:00:19,540 --> 00:00:23,060
看, 這是其中一條緯線
5
00:00:23,100 --> 00:00:24,700
(例如赤道)上方的圓周們。
6
00:00:26,740 --> 00:00:28,580
這是另一條緯線對應的圓周。
7
00:00:28,620 --> 00:00:30,580
它們正向南極移動。
8
00:00:31,540 --> 00:00:34,500
為什麼這個環面似乎變得越來越小?
9
00:00:35,020 --> 00:00:36,500
因為在南極的上方,
10
00:00:36,540 --> 00:00:38,500
只有一個圓周。
11
00:01:13,740 --> 00:01:18,900
而在北極上方,我們看到一條紅色直線,
12
00:01:18,940 --> 00:01:25,980
其實它是一個經過無窮遠處的圓周。
13
00:02:02,540 --> 00:02:05,500
現在讓我們轉動它們。
14
00:02:05,820 --> 00:02:08,500
當然啦,
15
00:02:08,540 --> 00:02:11,500
是在四維空間中的旋轉。
16
00:03:08,780 --> 00:03:12,780
實際上這些圖片中的一部分
17
00:03:12,940 --> 00:03:15,780
在很久以前就已被大眾所知。
18
00:03:15,820 --> 00:03:18,780
人們將環面上四個圓周族的存在
19
00:03:18,820 --> 00:03:21,780
歸功於Villarceau侯爵,
20
00:03:21,820 --> 00:03:24,700
而一些更早的跡象，
21
00:03:24,740 --> 00:03:27,380
可在史特拉斯堡大教堂的一個雕刻品中看到。
22
00:03:47,820 --> 00:03:50,980
讓我們取一個旋轉環面:
23
00:03:51,020 --> 00:03:53,700
它由一個圓周圍繞一根
24
00:03:53,740 --> 00:03:58,980
對稱軸旋轉所得。
25
00:04:24,740 --> 00:04:27,580
現用一個平面切割環面。
26
00:04:29,740 --> 00:04:32,500
注意我是怎樣選取這個平面的。
27
00:04:32,740 --> 00:04:35,500
我們說它與環面雙切,
28
00:04:35,740 --> 00:04:38,500
因為它準確地在兩點正切。
29
00:05:21,740 --> 00:05:23,980
注意看哦,
30
00:05:24,020 --> 00:05:27,980
此平面沿著兩個完美圓周切開環面。
31
00:05:29,540 --> 00:05:31,500
這就是 Villarceau 定理 :
32
00:05:31,540 --> 00:05:37,500
一個與環面雙切的平面將環面沿著兩個圓周切開。
33
00:06:27,540 --> 00:06:31,500
當然,並不只有一個雙切平面。
34
00:06:31,540 --> 00:06:37,500
這兒有另一個,將環面沿著另外兩個Villarceau圓周切開。
35
00:06:55,780 --> 00:06:59,780
還有很多個雙切平面 :
36
00:06:59,940 --> 00:07:01,380
只需饒著對稱軸旋轉。
37
00:07:15,940 --> 00:07:18,500
你看,環面上的每一點
38
00:07:18,540 --> 00:07:21,500
經過四個圓周,
39
00:07:21,540 --> 00:07:24,500
由一些恰當的平面截得。
40
00:07:28,700 --> 00:07:31,700
一個是平行環,
41
00:07:34,540 --> 00:07:37,500
一個是子午環,
42
00:07:40,020 --> 00:07:41,500
接著是第一個 Villarceau 圓周
43
00:07:45,380 --> 00:07:47,380
和另一個。
44
00:07:55,220 --> 00:07:57,700
對環面上的任意一點如法炮製,
45
00:07:57,740 --> 00:08:02,900
即可看到環面被四個圓周族覆蓋。
46
00:08:04,540 --> 00:08:07,500
兩個同族圓周不會相遇。
47
00:08:07,540 --> 00:08:11,700
藍圓周與紅圓周只在一點相遇。
48
00:08:13,620 --> 00:08:17,500
黃圓周與白圓周在兩點相遇:
49
00:08:17,540 --> 00:08:20,500
它們是 Villarceau 圓周。
50
00:08:39,260 --> 00:08:42,380
注意看這些黃色圓周:
51
00:08:42,420 --> 00:08:45,380
它們正是 Hopf 圓周!
52
00:08:45,420 --> 00:08:48,380
還記得剛才在一條緯線
53
00:08:48,420 --> 00:08:51,180
上方出現的纖維們嗎?
54
00:08:51,220 --> 00:08:54,380
它是一個被互相纏繞的圓周填滿的環面,
55
00:08:54,420 --> 00:08:58,380
正如這個被黃色圓周填滿的環面。
56
00:09:01,540 --> 00:09:04,500
那麼,白色圓周是什麼呢?
57
00:09:04,540 --> 00:09:07,500
它們是另一個Hopf纖維化的纖維!
58
00:09:07,620 --> 00:09:12,580
是黃色圓周的鏡面反射。
59
00:09:41,540 --> 00:09:43,500
最後，取出一個
60
00:09:43,740 --> 00:09:45,500
旋轉環面,
61
00:09:45,540 --> 00:09:48,500
與它的四個圓周族,
62
00:09:49,420 --> 00:09:50,500
並在三維球面中想像它,
63
00:09:50,540 --> 00:09:53,500
接著,在四維空間中轉動球面,
64
00:09:53,860 --> 00:09:56,540
再使用球極投影
65
00:09:56,580 --> 00:09:59,500
投回到三維空間中來。
66
00:09:59,580 --> 00:10:02,540
這樣,我們得到一些面
67
00:10:02,580 --> 00:10:05,540
同樣被四個圓周族覆蓋:
68
00:10:05,580 --> 00:10:08,540
它們是 Dupin 四次圓紋曲面。
69
00:10:29,580 --> 00:10:32,540
有時,當環面經過投影極點時
70
00:10:32,580 --> 00:10:35,540
其投影經過無窮遠處...
71
00:10:46,700 --> 00:10:51,540
這時,它的內外兩面甚至可以交換位置。
72
00:10:54,700 --> 00:10:59,580
環面內面是粉色的,外面是綠色的。
73
00:11:28,580 --> 00:11:31,540
嘿嘿,一個在四維空間中的簡單旋轉，
74
00:11:31,620 --> 00:11:34,580
就把綠色變成粉色而粉色變成了綠色!
75
00:11:37,620 --> 00:11:40,580
難道這不壯觀嗎?!
|
|
|
1
00:00:13,540 --> 00:00:15,500
來做一些數學吧,
2
00:00:15,540 --> 00:00:19,500
首先,證明一些我們已經肯定的東西。
3
00:00:19,580 --> 00:00:21,260
我們看到,
4
00:00:21,300 --> 00:00:23,500
球極射影
5
00:00:23,540 --> 00:00:25,500
將球面上
6
00:00:25,540 --> 00:00:27,500
不過極點的的圓
7
00:00:27,540 --> 00:00:29,500
變為平面上的圓。
8
00:00:29,540 --> 00:00:32,500
現在,我們來證明它。
9
00:00:33,980 --> 00:00:36,980
即使這個定理早已聞名於世,
10
00:00:37,020 --> 00:00:39,980
讓我,貝恩哈德·黎曼,
11
00:00:40,020 --> 00:00:42,980
來為你描述它。
12
00:00:43,020 --> 00:00:44,980
人們常以我為榮地說起
13
00:00:45,020 --> 00:00:47,380
黎曼球面。
14
00:00:48,580 --> 00:00:51,500
證明比說明要複雜得多。
15
00:00:52,540 --> 00:00:55,500
圖像上看到一個像圓的曲線，
16
00:00:55,580 --> 00:00:59,500
還不足以證明，
17
00:00:59,540 --> 00:01:04,500
它確實是個圓。
18
00:01:04,540 --> 00:01:06,500
必須通過
19
00:01:06,540 --> 00:01:09,500
一個嚴格推理，
20
00:01:09,540 --> 00:01:13,500
來證明它確實是個圓。
21
00:01:14,540 --> 00:01:17,500
是偉大的歐幾里得,
22
00:01:17,540 --> 00:01:20,500
在耶穌誕生之前的第三世紀,
23
00:01:20,540 --> 00:01:23,500
在他名為"元素"的書中,
24
00:01:23,540 --> 00:01:26,500
將數學的規則公式化。
25
00:01:26,540 --> 00:01:29,500
證明必須倚靠一些事實
26
00:01:29,540 --> 00:01:33,500
而這些事實本身也必須被證明。
27
00:01:33,540 --> 00:01:37,500
然而,我們必須從一些東西開始,
28
00:01:37,540 --> 00:01:41,500
並且接受一些不必證明的斷言:
29
00:01:41,580 --> 00:01:44,500
這些就是公理。
30
00:01:44,540 --> 00:01:46,500
因此,數學是
31
00:01:46,540 --> 00:01:49,580
一個巨大的建築，
32
00:01:49,620 --> 00:01:52,500
它的基礎是公理，
33
00:01:52,540 --> 00:01:55,980
且每塊磚建立於前一塊的基礎之上。
34
00:01:56,380 --> 00:02:00,900
為了證明球極射影定理,
35
00:02:00,940 --> 00:02:04,060
原則上我們必須從公理開始證明!
36
00:02:04,580 --> 00:02:07,500
當然,我們沒有時間這樣做...
37
00:02:07,540 --> 00:02:12,500
我們要用中學裡所學的
38
00:02:12,540 --> 00:02:15,500
幾何定理，
39
00:02:15,540 --> 00:02:18,580
來證明我們的定理。
40
00:02:28,100 --> 00:02:31,060
先從簡單的開始：
41
00:02:31,100 --> 00:02:35,060
球面和平面的交集：
42
00:02:36,100 --> 00:02:40,060
當一個平面截取一個球面時,
43
00:02:40,100 --> 00:02:43,060
若它不與球面相切,
44
00:02:43,100 --> 00:02:46,060
交集定是一個圓周。
45
00:02:46,100 --> 00:02:47,100
很顯然吧?
46
00:02:47,140 --> 00:02:49,060
肯定對嗎?
47
00:02:49,100 --> 00:02:52,060
這可需要一個證明。
48
00:02:57,660 --> 00:03:00,580
為此,取一個藍色平面。
49
00:03:04,580 --> 00:03:09,500
從球的中心點C
50
00:03:09,540 --> 00:03:13,500
引垂線到藍面上。
51
00:03:13,540 --> 00:03:18,500
稱點P為這垂線的垂足。
52
00:03:18,700 --> 00:03:22,700
在球面和藍面的交集中
53
00:03:22,740 --> 00:03:27,700
選取兩點,A和B
54
00:03:27,740 --> 00:03:34,500
觀察兩個三角形CPA和CPB。
55
00:03:34,540 --> 00:03:38,500
它們有一條公共邊:CP。
56
00:03:38,540 --> 00:03:43,500
且都是直角三角形,
57
00:03:43,540 --> 00:03:46,500
因為P點的角是一個直角，
58
00:03:46,980 --> 00:03:49,980
由於藍面與CP垂直。
59
00:03:50,020 --> 00:03:55,980
同時,兩條斜邊，AC 和 BC 長度相等，
60
00:03:56,020 --> 00:04:00,980
因為 A 和 B 同在球面上，
61
00:04:01,020 --> 00:04:03,700
必與中心點 C 等距。
62
00:04:03,740 --> 00:04:06,060
回憶一下勾股定理!
63
00:04:06,180 --> 00:04:08,380
由於這兩個直角三角形
64
00:04:08,420 --> 00:04:10,900
有兩條等長的邊,
65
00:04:10,940 --> 00:04:14,580
它們的第三條邊長也相等!
66
00:04:14,700 --> 00:04:16,700
因此,我們證明了
67
00:04:16,740 --> 00:04:19,700
PA和PB等長，
68
00:04:19,740 --> 00:04:22,700
即 A 和 B 在同一個
69
00:04:22,780 --> 00:04:24,700
以 P 為圓心的
70
00:04:24,740 --> 00:04:26,700
藍面上的圓周上。
71
00:04:26,740 --> 00:04:28,700
因此,我們證明了
72
00:04:28,740 --> 00:04:30,700
所有同時在球面
73
00:04:30,740 --> 00:04:32,700
和藍面上的點
74
00:04:32,740 --> 00:04:35,700
同屬於一個圓周。
75
00:04:36,580 --> 00:04:38,500
這是不是意味著
76
00:04:38,540 --> 00:04:40,780
這個圓周上所有的點
77
00:04:40,820 --> 00:04:44,500
都同在球面和平面上?
78
00:04:44,540 --> 00:04:47,500
不!我們還需要
79
00:04:47,540 --> 00:04:49,500
來證明它!
80
00:04:55,620 --> 00:04:59,500
設 A 是球面與平面交集中的一點。
81
00:04:59,540 --> 00:05:02,500
取藍面中過 A 的圓周
82
00:05:02,540 --> 00:05:05,500
以 P 為圓心。
83
00:05:06,540 --> 00:05:08,500
需證明這個圓周
84
00:05:08,540 --> 00:05:10,500
包含在球面中。
85
00:05:15,540 --> 00:05:19,260
設 B 是圓周上的一點
86
00:05:22,580 --> 00:05:27,500
觀察兩個三角形CPA和CPB。
87
00:05:27,540 --> 00:05:32,500
它們有一條公共邊 CP，
88
00:05:32,540 --> 00:05:35,500
且都是直角三角形,
89
00:05:35,540 --> 00:05:38,500
因為P點的角是一個直角。
90
00:05:38,540 --> 00:05:42,500
同時 PA 和 PB 長度相等
91
00:05:42,540 --> 00:05:46,500
因為 A，B 同在一個以 P 為圓心的圓周上。
92
00:05:46,540 --> 00:05:48,500
再次使用勾股定理,
93
00:05:48,540 --> 00:05:50,500
可推得兩條斜邊
94
00:05:50,540 --> 00:05:52,500
有相同的長度。
95
00:05:52,540 --> 00:05:55,500
CA等於CB。
96
00:05:55,540 --> 00:05:58,500
也就是說
97
00:05:58,540 --> 00:06:01,500
B 也在球面上，
98
00:06:01,540 --> 00:06:05,500
因它到中心點的距離與 A 相同。
99
00:06:05,540 --> 00:06:07,500
這就證明了
100
00:06:07,540 --> 00:06:09,980
平面和球面之交，
101
00:06:10,020 --> 00:06:12,980
必是一個圓周。
102
00:06:13,100 --> 00:06:16,500
取一直徑APB，
103
00:06:16,540 --> 00:06:20,500
並且將它置於螢幕平面中。
104
00:06:20,780 --> 00:06:23,780
藍面在螢幕中以一條直線出現
105
00:06:23,820 --> 00:06:26,780
球面則成為一個圓。
106
00:06:28,740 --> 00:06:33,580
畫出圓在 A,B 兩點的切線。
107
00:06:33,620 --> 00:06:36,580
它們相交在某點 S。
108
00:06:38,620 --> 00:06:42,500
顯然,直線CS仍是
109
00:06:42,540 --> 00:06:45,500
我們圖像的一條對稱線。
110
00:06:45,540 --> 00:06:47,500
為什麼呢?
111
00:06:47,540 --> 00:06:51,980
嗯... 因為三角形 CAS 和 CBS 全等!
112
00:06:52,020 --> 00:06:55,980
為什麼? 嗯... 因為
113
00:06:56,020 --> 00:06:57,980
它們是兩個直角三角形
114
00:06:58,020 --> 00:06:59,980
有一條公共斜邊
115
00:07:00,020 --> 00:07:02,980
且 CA 和 CB 等長!
116
00:07:04,020 --> 00:07:04,980
為什麼?
117
00:07:05,020 --> 00:07:07,980
嗯... 因為它們是兩條半徑。
118
00:07:08,020 --> 00:07:09,980
你看,
119
00:07:10,020 --> 00:07:12,980
若必須走到論據的盡頭,
120
00:07:13,020 --> 00:07:16,980
這部影片將會是電影史上最長的一部。
121
00:07:17,020 --> 00:07:17,980
看!
122
00:07:18,020 --> 00:07:21,980
我們證明了球面上的圓周
123
00:07:22,020 --> 00:07:23,980
總可被理解為
124
00:07:24,020 --> 00:07:26,980
一圓錐面與球面
125
00:07:27,020 --> 00:07:29,980
相切的交線。
126
00:07:31,100 --> 00:07:35,060
球面正如一個
127
00:07:35,100 --> 00:07:37,060
蛋筒中的冰淇淋。
128
00:07:37,100 --> 00:07:40,060
好了,言歸正傳,
129
00:07:40,100 --> 00:07:42,060
別忘了我們的目的!
130
00:07:42,100 --> 00:07:45,060
證明球極射影
131
00:07:45,100 --> 00:07:48,060
將圓周投射為圓周!
132
00:07:48,580 --> 00:07:50,620
先證明一個，
133
00:07:50,660 --> 00:07:52,500
數學家常說的，
134
00:07:52,540 --> 00:07:54,500
引理 :
135
00:07:55,540 --> 00:07:57,980
這是球面在某點 A 的切面
136
00:07:58,020 --> 00:08:02,500
從側面看過去。
137
00:08:09,260 --> 00:08:12,260
這兒是在另一點 B 的切面，
138
00:08:12,300 --> 00:08:16,380
同樣從它的側面看。
139
00:08:16,420 --> 00:08:21,380
這兩個切面相交於一條直線 d,
140
00:08:21,420 --> 00:08:24,380
此時只能看到一個點，
141
00:08:24,420 --> 00:08:27,380
由於這條直線與螢幕垂直。
142
00:08:27,820 --> 00:08:29,780
你看到的這個圖形
143
00:08:29,820 --> 00:08:31,780
關於兩條切線的等分線
144
00:08:31,820 --> 00:08:33,780
對稱。
145
00:08:34,580 --> 00:08:37,500
這個三維圖形
146
00:08:37,540 --> 00:08:41,500
關於兩個切面的等分面對稱。
147
00:08:54,540 --> 00:08:58,500
取一包含線段 AB 的平面，
148
00:08:58,540 --> 00:09:02,500
它與直線 d 在某點 M 相交
149
00:09:05,540 --> 00:09:09,500
當然除非它平行於 d 。
150
00:09:09,900 --> 00:09:12,900
關於等分面的對稱性，
151
00:09:12,940 --> 00:09:17,900
說明了 AM 和 BM 有相同的長度。
152
00:09:17,940 --> 00:09:23,900
即 ABM 是等腰三角形。
153
00:09:23,940 --> 00:09:26,900
這正是我們的引理!
154
00:09:26,940 --> 00:09:30,900
好,現在可以證明
155
00:09:30,940 --> 00:09:34,900
我們的定理了。
156
00:09:35,580 --> 00:09:38,500
取球面上一個不過北極的圓周。
157
00:09:38,580 --> 00:09:42,500
我們想證明它的投影是一個圓周。
158
00:09:53,580 --> 00:09:58,500
如果不投到南極切面
159
00:09:58,540 --> 00:10:01,500
而投到一個與其平行的平面上，
160
00:10:01,540 --> 00:10:04,500
著名的泰勒斯定理
161
00:10:04,540 --> 00:10:05,500
向我們保證
162
00:10:05,540 --> 00:10:07,980
投影的結果是相似的。
163
00:10:08,020 --> 00:10:11,500
因此,為了證明我們的定理,
164
00:10:11,540 --> 00:10:14,500
可以選擇一個合適的
165
00:10:14,620 --> 00:10:16,500
投影平面
166
00:10:16,540 --> 00:10:21,180
(只要它與南極切面平行)。
167
00:10:21,580 --> 00:10:24,500
現將這個黃色圓周放入一個圓錐體中。
168
00:10:24,580 --> 00:10:26,500
你還記得嗎?
169
00:10:26,540 --> 00:10:28,500
冰激凌球
170
00:10:28,620 --> 00:10:30,500
在一個以S為頂點的蛋筒里!
171
00:10:31,540 --> 00:10:34,500
嗯...我們將黃圓周投射到
172
00:10:34,540 --> 00:10:39,500
過 S 的水平面上。
173
00:10:44,540 --> 00:10:48,500
點 B 被投射到了點 D。
174
00:10:49,540 --> 00:10:51,500
然而,看這個圖形!
175
00:10:51,620 --> 00:10:58,500
三角形 AMB 與 DSB 相似!
176
00:10:58,540 --> 00:11:00,500
為什麼?
177
00:11:00,540 --> 00:11:03,500
嗯...還要使用一次泰勒斯定理,對吧?
178
00:11:03,540 --> 00:11:06,500
回憶一下我們的引理!
179
00:11:06,540 --> 00:11:10,500
AMB 是等腰三角形!
180
00:11:10,620 --> 00:11:14,500
所以,DSB 也是等腰的。
181
00:11:14,540 --> 00:11:16,260
因此,BS 的長度
182
00:11:16,300 --> 00:11:19,260
與 DS 相等。
183
00:11:31,580 --> 00:11:36,780
當點 B 沿著黃色圓周移動時,
184
00:11:36,820 --> 00:11:39,500
線段 BS 保持與球面相切。
185
00:11:39,620 --> 00:11:42,580
因此它的長度不變。
186
00:11:46,580 --> 00:11:52,500
由於 BS 與 DS 是等長的,
187
00:11:52,540 --> 00:11:54,500
移動著的線段 DS
188
00:11:54,540 --> 00:11:58,500
同樣保持恆定的長度。
189
00:11:58,540 --> 00:12:00,500
然而我們看,
190
00:12:00,540 --> 00:12:03,500
說 DS 有恆定的長度,
191
00:12:03,540 --> 00:12:05,500
這意味著點D，
192
00:12:05,540 --> 00:12:08,980
描繪了一個圓。
193
00:12:09,020 --> 00:12:11,500
因此,黃色圓周
194
00:12:11,540 --> 00:12:14,500
在過 S 的水平面上的投影
195
00:12:14,620 --> 00:12:17,780
是一個圓周。
196
00:12:20,820 --> 00:12:22,780
我們已經看到,
197
00:12:22,820 --> 00:12:25,780
由泰勒斯定理,這意味著,
198
00:12:25,820 --> 00:12:30,260
它在南極切面上的投影
199
00:12:30,300 --> 00:12:35,180
同樣也是一個圓周!
200
00:12:36,260 --> 00:12:40,180
這正是我們需要證明的!!!
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1
00:00:05,000 --> 00:00:09,000
預告： 「高維空間"的第二部分!
2
00:00:14,040 --> 00:00:17,000
你將看到動力系統
3
00:00:17,040 --> 00:00:20,000
是研究動態變化的科學......
4
00:00:24,400 --> 00:00:29,200
......拓撲學是研究形狀的科學......
5
00:01:14,480 --> 00:01:19,480
......算術是研究數字的科學.
6
00:01:29,440 --> 00:01:32,400
你將發現拓撲學是怎樣
7
00:01:32,440 --> 00:01:35,400
啟示動力系統學的......
8
00:02:04,040 --> 00:02:07,000
......並且,你也將學習數字是
9
00:02:07,040 --> 00:02:11,000
怎樣處於運動狀態的......
10
00:02:23,600 --> 00:02:26,560
...或者,運動中的數字是怎樣
11
00:02:26,600 --> 00:02:30,560
產生不可思議的拓撲學.
12
00:03:13,040 --> 00:03:16,000
是的,你將親眼看到
13
00:03:16,040 --> 00:03:20,000
數學中至今仍未被解決的,
14
00:03:20,040 --> 00:03:24,000
最複雜的問題之一:黎曼假設.
15
00:03:26,040 --> 00:03:29,000
嗯...是的!你將看到
16
00:03:29,040 --> 00:03:32,000
被數學家們稱為
17
00:03:32,040 --> 00:03:36,000
"極限圓"的動力系統.
18
00:03:38,120 --> 00:03:41,080
然而,為了理解所有這些
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00:03:41,120 --> 00:03:44,080
你們需要等待下一張DVD,
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00:03:44,120 --> 00:03:48,080
或許,同樣地,再下一張DVD......
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00:03:48,120 --> 00:03:51,080
數學中需要證明是如此之多!
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00:03:54,120 --> 00:03:56,080
回見!
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