如果這個問題無解，請證明。

如果可以，請找出非整數解，非整數解情況下請找出其中某一段為1919810.

作者：Jasonn
連結：https://www.zhihu.com/question/444236234/answer/1985830298
來源：知乎
著作權歸作者所有。商業轉載請聯繫作者獲得授權，非商業轉載請註明出處。

注意到

114514309=114514^{309}= 

153922725928210148528295418165435488552904277340834286716962248957739908975392793____1919810____594793127838937986162332944645948024612686613437214421777215557260863928154112379044416563434897531203849468730763500664032895804619819513733615823624631186723974811799746285839320774932079268392026435833666016658965844348331753007671232591005496914401361857496592826527890437808543196181024993187183598962003006870134339196320134030991017761919958077322861711414845449315583626649874278219715785078866222328872764286771640987020485399086267397363894028620611441106725766664840521526830096528943462489791323888991739700813629792274391330279825652864113959954152725316917621347084857837021547061246159416857400630836306706422451239251106452713788713520644003007278208477520149129156268990457506612217275546053207766775810841504984618881576503847815483844032029406338637956714235242809811637735678684522930908900777217193357877717689728544451532603695857610280166838625652261947026164063446647258259148308007859785936727828412317849949671710153074930020523393466803372347633717807078541320597842504014987219091238663151345056288493669070955208202679482472789009476725693668223376740054435470105228310653396879412280933326583649558212168844556073958042423412607335251525966824666662386406063994809518633336495981789585933948185092323427702231942820077400954295843153654613311340987676379826253403785468256000237629833564112827215696985633580552226929792549387142703610536953852080655297201621057759280123606617293647213320456731261498168725890780545152771481914583820527451766784

我們可以得到該問題的解，即114514的309次方中包含"1919810"。

作者：QWERTY770
連結：https://www.zhihu.com/question/444236234/answer/1990140963
來源：知乎
著作權歸作者所有。商業轉載請聯繫作者獲得授權，非商業轉載請註明出處。

其實這樣的數有很多！！！

先說答案：309，910，2328，3045，3499，3504，3658，4584，4901，4940，5496，5713，5715，5872，7071，7282，7680，7738，7949，8081，8144，8474，8553，8922，9397，10324，10335，11162，11282，11702，11767，11840，12040，12062，12334，12481，12659，12714，12749，12874，13079，13154，13344，13453，13619，13670，13882……（後面應該還有無窮個數）

並且還有一組是只相差2的：5713 5715。

還有隻相差1的：24492 24493，27286 27287。

甚至還有3個連在一起的數：40126 40127 40128。

print([(i,114514 ** i) for i in range(1, 1000) if str(114514 ** i).find("1919810") != -1])

這是一個1行解決的方法，只考慮1-1000的情況。

有2個數：309和910。

輸出：

[(309, 1539227259282101485282954181654354885529042773408342867169622489577399089753927931919810594793127838937986162332944645948024612686613437214421777215557260863928154112379044416563434897531203849468730763500664032895804619819513733615823624631186723974811799746285839320774932079268392026435833666016658965844348331753007671232591005496914401361857496592826527890437808543196181024993187183598962003006870134339196320134030991017761919958077322861711414845449315583626649874278219715785078866222328872764286771640987020485399086267397363894028620611441106725766664840521526830096528943462489791323888991739700813629792274391330279825652864113959954152725316917621347084857837021547061246159416857400630836306706422451239251106452713788713520644003007278208477520149129156268990457506612217275546053207766775810841504984618881576503847815483844032029406338637956714235242809811637735678684522930908900777217193357877717689728544451532603695857610280166838625652261947026164063446647258259148308007859785936727828412317849949671710153074930020523393466803372347633717807078541320597842504014987219091238663151345056288493669070955208202679482472789009476725693668223376740054435470105228310653396879412280933326583649558212168844556073958042423412607335251525966824666662386406063994809518633336495981789585933948185092323427702231942820077400954295843153654613311340987676379826253403785468256000237629833564112827215696985633580552226929792549387142703610536953852080655297201621057759280123606617293647213320456731261498168725890780545152771481914583820527451766784), (910, 36417681556347258928796148622131677364337588994161375908674305797791498433356328595522788197690472441637891589765906498432361108584966527259471406062309771090230787876291919810789105920189939735186770532531348738580603827356508260893302204359406889060784936216739760346370115275982416842886930617944378113862423406309215752008035186165765484041746475505263702796615691806587923856005889464857240531775300408393262967520879583482458391497230001596632400929542135588641936108630710683476764729588621972715891333824641959175144813765480382664867871474909701967021378448620817946215895425365496300992875915952394662859185865624511296549849298968584348300604361485757778404132404036570644060725098357577381232439747097551199438545661824985747209557383254894860405817519485138506335155367712068357099589983663632321593063053725276471283114751273431793170913827635444848413851768696231461722041307862468070170743572079492100057551280932124576950200579840067579728815402793566148863718334374638807981774586236481606116264953411317343812441759200427149597986660700466507055436695495461114792909955790417666271071371685222537002394488069420521476793962524712535178086916991271679174291886628800518102117102310264632404403620236585245780579536026265384925446628351468262213624139229226632901940758479069864819760866436011238627051215484688354005600695865040471868825005973127354974392783125364095045857384919992931309141136770240264583301399301112526911707551432372619763012217743554874462028255166408640543751216400412924221527227448612103999894042760554835601453011222572903211929958462136148180662861193846603677550711920168879156702563449483140139507606043919637921345036570467101362157630800697884873121037190798661804907835024724536554212891962746824060506244405732422554335469679232739844150418159754306430335957881623922119522163981041091743209196872962315096317240993048586182432239544302996272404897863502572144897741841948725600891237887465072275383460300722924778834315999735092847568891445980511267803351740768422661186788040573609511485885073998504705243052623220481176047498938385314604504883902263271188588234586131847056426772476324955265721762081130667317393648540070358235023286879224406591890925579215050928433779178504432880662219825176494902725337487301667277988919258209050429151128204013371993710175642631097690614246027981109584815747259101302908188028770027032308282320121773023887849419511806667646855762691456892761109894843132359569657555577734800192190997764071136047977605356999666756126590073265872546793781432562487260491161077297425547530478623488777324276790990418460726258808206755871281249010127436509488576501023206755653624051648903476791849457245548145889178273070242828789781891148433005787582754811146913945782309444865750795041383939247836140861327698857318468175768375938164888828763484702289753048975984093993062436796810163778763905690233172227523083437400618826044022056066567583854382146739141027468890857613144362661342743107939058985206821310425535455761799813668666639593942662595628509334148642915528545559286951908761103698155014100501958393296208085157605455341068096003034875515395918858824536051166740516766192930096517622232150109373020410554883414805789596724724718304468624119311684154635401631196915628562519160047293826735454561717497847583773202730637708723724568055474601247787455883767834221038716157810175026481125250650005044278716373168227021260484974065943032298991749086355041404178258490623499631730711636886000285650090061223171063673538068466118470273500063067930842316046098558497583093364514947006832013609860546282121176876542588309252549535650645666922406438598499614737300890680712865607650083471977557416310623536403936398402747952310050315612446405364743788136814003803458912199460110584838244891947537763674749103808309974862848624423177312579418932332302535695644391609452948180871232263033339457774825905918254398059238567200912881547228655478318971992142801724894917614628878528285916782822171812966454489064753884209989752405664918320130044828579091786948679022215286301107086027790493348575132992818249547129051667158220996358734825199521255197891868069674996045561233095364818366623409235639419698170772608932124723500192468986783852146523766616084467491878105005132702257012887047945962634173783479642027744718453711831248859863022714854612262357507110771193369076602352865715879030927443519741358672691412509657259566666580124439691405519757330288487098451227731403999119030786537934167027428728131989178373957066419951410290302902156041810237671148461417801413341580370697625514794597316508633828477296628808667711636531838976)]

114514^309=1539227259282101485282954181654354885529042773408342867169622489577399089753927931919810594793127838937986162332944645948024612686613437214421777215557260863928154112379044416563434897531203849468730763500664032895804619819513733615823624631186723974811799746285839320774932079268392026435833666016658965844348331753007671232591005496914401361857496592826527890437808543196181024993187183598962003006870134339196320134030991017761919958077322861711414845449315583626649874278219715785078866222328872764286771640987020485399086267397363894028620611441106725766664840521526830096528943462489791323888991739700813629792274391330279825652864113959954152725316917621347084857837021547061246159416857400630836306706422451239251106452713788713520644003007278208477520149129156268990457506612217275546053207766775810841504984618881576503847815483844032029406338637956714235242809811637735678684522930908900777217193357877717689728544451532603695857610280166838625652261947026164063446647258259148308007859785936727828412317849949671710153074930020523393466803372347633717807078541320597842504014987219091238663151345056288493669070955208202679482472789009476725693668223376740054435470105228310653396879412280933326583649558212168844556073958042423412607335251525966824666662386406063994809518633336495981789585933948185092323427702231942820077400954295843153654613311340987676379826253403785468256000237629833564112827215696985633580552226929792549387142703610536953852080655297201621057759280123606617293647213320456731261498168725890780545152771481914583820527451766784

114514^910=36417681556347258928796148622131677364337588994161375908674305797791498433356328595522788197690472441637891589765906498432361108584966527259471406062309771090230787876291919810789105920189939735186770532531348738580603827356508260893302204359406889060784936216739760346370115275982416842886930617944378113862423406309215752008035186165765484041746475505263702796615691806587923856005889464857240531775300408393262967520879583482458391497230001596632400929542135588641936108630710683476764729588621972715891333824641959175144813765480382664867871474909701967021378448620817946215895425365496300992875915952394662859185865624511296549849298968584348300604361485757778404132404036570644060725098357577381232439747097551199438545661824985747209557383254894860405817519485138506335155367712068357099589983663632321593063053725276471283114751273431793170913827635444848413851768696231461722041307862468070170743572079492100057551280932124576950200579840067579728815402793566148863718334374638807981774586236481606116264953411317343812441759200427149597986660700466507055436695495461114792909955790417666271071371685222537002394488069420521476793962524712535178086916991271679174291886628800518102117102310264632404403620236585245780579536026265384925446628351468262213624139229226632901940758479069864819760866436011238627051215484688354005600695865040471868825005973127354974392783125364095045857384919992931309141136770240264583301399301112526911707551432372619763012217743554874462028255166408640543751216400412924221527227448612103999894042760554835601453011222572903211929958462136148180662861193846603677550711920168879156702563449483140139507606043919637921345036570467101362157630800697884873121037190798661804907835024724536554212891962746824060506244405732422554335469679232739844150418159754306430335957881623922119522163981041091743209196872962315096317240993048586182432239544302996272404897863502572144897741841948725600891237887465072275383460300722924778834315999735092847568891445980511267803351740768422661186788040573609511485885073998504705243052623220481176047498938385314604504883902263271188588234586131847056426772476324955265721762081130667317393648540070358235023286879224406591890925579215050928433779178504432880662219825176494902725337487301667277988919258209050429151128204013371993710175642631097690614246027981109584815747259101302908188028770027032308282320121773023887849419511806667646855762691456892761109894843132359569657555577734800192190997764071136047977605356999666756126590073265872546793781432562487260491161077297425547530478623488777324276790990418460726258808206755871281249010127436509488576501023206755653624051648903476791849457245548145889178273070242828789781891148433005787582754811146913945782309444865750795041383939247836140861327698857318468175768375938164888828763484702289753048975984093993062436796810163778763905690233172227523083437400618826044022056066567583854382146739141027468890857613144362661342743107939058985206821310425535455761799813668666639593942662595628509334148642915528545559286951908761103698155014100501958393296208085157605455341068096003034875515395918858824536051166740516766192930096517622232150109373020410554883414805789596724724718304468624119311684154635401631196915628562519160047293826735454561717497847583773202730637708723724568055474601247787455883767834221038716157810175026481125250650005044278716373168227021260484974065943032298991749086355041404178258490623499631730711636886000285650090061223171063673538068466118470273500063067930842316046098558497583093364514947006832013609860546282121176876542588309252549535650645666922406438598499614737300890680712865607650083471977557416310623536403936398402747952310050315612446405364743788136814003803458912199460110584838244891947537763674749103808309974862848624423177312579418932332302535695644391609452948180871232263033339457774825905918254398059238567200912881547228655478318971992142801724894917614628878528285916782822171812966454489064753884209989752405664918320130044828579091786948679022215286301107086027790493348575132992818249547129051667158220996358734825199521255197891868069674996045561233095364818366623409235639419698170772608932124723500192468986783852146523766616084467491878105005132702257012887047945962634173783479642027744718453711831248859863022714854612262357507110771193369076602352865715879030927443519741358672691412509657259566666580124439691405519757330288487098451227731403999119030786537934167027428728131989178373957066419951410290302902156041810237671148461417801413341580370697625514794597316508633828477296628808667711636531838976

找到更多答案的方法：

t = 1 for i in range(1, 1000000): t = t * 114514 if str(t).find("1919810") != -1: print(i)

目前找到的答案如上文所示。等程序跑完了再更新。

更新：

電腦算的太慢了，40627以內的解如下：

309 910 2328 3045 3499 3504 3658 4584 4901 4940 5496 5713 5715 5872 7071 7282 7680 7738 7949 8081 8144 8474 8553 8922 9397 10324 10335 11162 11282 11702 11767 11840 12040 12062 12334 12481 12659 12714 12749 12874 13079 13154 13344 13453 13619 13670 13882 13971 14209 14376 14506 14570 14662 14755 14814 14878 14964 15090 15113 15118 15195 15286 15403 15526 15559 15789 15881 16114 16118 16365 16408 16550 16855 16939 17105 17170 17206 17212 17296 17696 17946 18072 18256 18277 18324 18342 18535 18537 18609 18783 18844 18933 19162 19180 19219 19259 19281 19326 19609 19639 20076 20129 20248 20396 20436 20511 20526 20812 21283 21411 21425 21444 21456 21458 21480 21532 21615 21657 21690 21758 21764 21883 21891 21991 22106 22145 22231 22328 22591 22611 22633 22710 22725 22821 22923 23010 23069 23322 23416 23518 23566 23676 23789 23897 23997 24265 24285 24320 24492 24493 24513 24688 24737 24792 24833 24996 25055 25068 25114 25129 25316 25356 25400 25427 25515 25635 25646 25661 25693 25872 25899 26141 26230 26494 26588 26615 26719 26809 26951 27099 27282 27286 27287 27371 27456 27548 27661 27699 27885 27919 27976 28052 28075 28089 28102 28175 28248 28342 28368 28371 28582 28654 28671 28789 28823 28909 28924 28946 28983 29123 29191 29250 29320 29381 29406 29642 29658 29701 29809 29823 29882 29889 29898 29906 29990 29993 30110 30159 30276 30350 30401 30488 30539 30593 30638 30727 30761 30819 30837 30931 31046 31078 31114 31165 31173 31177 31188 31273 31427 31586 31706 31762 31765 31858 31917 31937 31957 32030 32099 32116 32236 32312 32322 32354 32392 32399 32440 32524 32689 32712 32737 32869 32956 32974 32977 33000 33007 33073 33078 33097 33136 33168 33218 33233 33248 33282 33345 33386 33466 33468 33539 33611 33683 33846 33860 33863 33874 34003 34437 34451 34511 34572 34592 34677 34679 34728 34867 34927 35054 35112 35130 35206 35327 35369 35408 35486 35527 35736 35748 35770 35773 35777 35806 35808 35822 35874 35927 35931 35932 36023 36179 36205 36222 36240 36258 36301 36331 36520 36532 36789 36790 36841 36947 37047 37061 37116 37238 37258 37291 37314 37375 37563 37577 37578 37606 37660 37683 37688 37757 37773 37804 37815 37840 37870 37871 37877 37964 38072 38135 38416 38455 38512 38589 38597 38648 38681 38730 38812 38814 38821 38827 38909 39004 39036 39069 39191 39236 39277 39298 39327 39425 39442 39728 39770 39774 39787 39797 39810 39855 39916 39947 40008 40113 40126 40127 40128 40169 40195 40238 40317 40441 40478 40563 40590 40591 40593 40627

whoishower：

//顯然易知，可以寫出以下代碼 public class Test { public static void main(String[] args) { BigDecimal baseNumber = new BigDecimal("114514"); int pow = 0; String result = ""; while (!result.contains("1919810")) { pow++; result = baseNumber.pow(pow).toString(); } System.out.println("次方是："+pow); System.out.println("結果是："+result); } }

次方是：309

結果是：1539227259282101485282954181654354885529042773408342867169622489577399089753927931919810594793127838937986162332944645948024612686613437214421777215557260863928154112379044416563434897531203849468730763500664032895804619819513733615823624631186723974811799746285839320774932079268392026435833666016658965844348331753007671232591005496914401361857496592826527890437808543196181024993187183598962003006870134339196320134030991017761919958077322861711414845449315583626649874278219715785078866222328872764286771640987020485399086267397363894028620611441106725766664840521526830096528943462489791323888991739700813629792274391330279825652864113959954152725316917621347084857837021547061246159416857400630836306706422451239251106452713788713520644003007278208477520149129156268990457506612217275546053207766775810841504984618881576503847815483844032029406338637956714235242809811637735678684522930908900777217193357877717689728544451532603695857610280166838625652261947026164063446647258259148308007859785936727828412317849949671710153074930020523393466803372347633717807078541320597842504014987219091238663151345056288493669070955208202679482472789009476725693668223376740054435470105228310653396879412280933326583649558212168844556073958042423412607335251525966824666662386406063994809518633336495981789585933948185092323427702231942820077400954295843153654613311340987676379826253403785468256000237629833564112827215696985633580552226929792549387142703610536953852080655297201621057759280123606617293647213320456731261498168725890780545152771481914583820527451766784

作者：Sept
連結：https://www.zhihu.com/question/444236234/answer/1990227306
來源：知乎
著作權歸作者所有。商業轉載請聯繫作者獲得授權，非商業轉載請註明出處。

【答案】309

【解析】關於此，我確信已發現了一種美妙的證法 ，可惜這裡空白的地方太小，寫不下。

Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Sim-CH：

看了下問題描述。認真的嗎？非整數解？你確定不是要的整數解？？？

既然本來寫的「末尾」被改成了「中間包含」，那我覺得，以114514為底119198100的對數即為所求最小值，約為1.59646078206554。

Remi：

注意到  並不存在  ，那麼無解

壞時代，來臨力（絕望）

Doraemon：

都 3202 年了，這種自己編個 Python 程序就能驗證的問題還要提問個毛線啊

import sys sys.set_int_max_str_digits(1000000000) ans = 1 for i in range(1, 10001): ans *= 114514 if (str(ans).find("1919810") >= 0): print("114514 的 " + str(i) + " 次方里含有 1919810")

跑幾分鐘後，得到如下的輸出結果：

114514 的 309 次方里含有 1919810 114514 的 910 次方里含有 1919810 114514 的 2328 次方里含有 1919810 114514 的 3045 次方里含有 1919810 114514 的 3499 次方里含有 1919810 114514 的 3504 次方里含有 1919810 114514 的 3658 次方里含有 1919810 114514 的 4584 次方里含有 1919810 114514 的 4901 次方里含有 1919810 114514 的 4940 次方里含有 1919810 114514 的 5496 次方里含有 1919810 114514 的 5713 次方里含有 1919810 114514 的 5715 次方里含有 1919810 114514 的 5872 次方里含有 1919810 114514 的 7071 次方里含有 1919810 114514 的 7282 次方里含有 1919810 114514 的 7680 次方里含有 1919810 114514 的 7738 次方里含有 1919810 114514 的 7949 次方里含有 1919810 114514 的 8081 次方里含有 1919810 114514 的 8144 次方里含有 1919810 114514 的 8474 次方里含有 1919810 114514 的 8553 次方里含有 1919810 114514 的 8922 次方里含有 1919810 114514 的 9397 次方里含有 1919810

作者：何冬州楊巔楊艷華典生

連結：https://www.zhihu.com/question/444236234/answer/1728386749

來源：知乎

著作權歸作者所有。商業轉載請聯繫作者獲得授權，非商業轉載請註明出處。

題：

114514的多少次方，中間包含著1919810呢？

解：

Table[Select[Range[1000], MemberQ[IntegerDigits[10^k*114514^#, 10^7], 1919810]&], {k,0,6}]

Table[Select[Range[1000], MemberQ[IntegerDigits[10^k*114514^#, 10^7], 1919810]&], {k,0,6}] - Wolfram|Alpha

{{}, {309}, {}, {910}, {}, {}, {}}

Table[Select[Range[1001, 2000], MemberQ[IntegerDigits[10^k*114514^#, 10^7], 1919810]&], {k,0,6}]

{{}, {}, {}, {}, {}, {}, {}}

Table[Select[Range[2001, 3000], MemberQ[IntegerDigits[10^k*114514^#, 10^7], 1919810]&], {k,0,6}] 超出算力.

Table[Select[Range[2001, 2500], MemberQ[IntegerDigits[10^k*114514^#, 10^7], 1919810]&], {k,0,6}]

Table[Select[Range[2001, 2500], MemberQ[IntegerDigits[10^k*114514^#, 10^7], 1919810]&], {k,0,6}] - Wolfram|Alpha

{{}, {}, {}, {}, {}, {}, {2328}}

...

待改進。

參考解答：

114514的多少次方，中間包含著1919810呢？ 摘註：{

Select[Range[10^4], StringContainsQ[ToString[114514^#], "1919810"] &] // AbsoluteTiming

{309,910,2328,3045,3499,3504,3658,4584,4901,4940,5496,5713,5715,5872,7071,7282,7680,7738,7949,8081,8144,8474,8553,8922,9397,10324,...}

此外還給出了python代碼。

查 oeis.org ，無

}

2021-2-13舊解：

設114514^n中間包含著1919810，同時不妨設在我們所找到的某個1919810之後有m位數字。或者說，設114514^n的末尾m位數字之前出現1919810.

(注意，一、可以出現多次1919810。二、求解使得114514^n中間出現任意指定數字串的n，均會有無數個解。三、求解使得中間出現不連續的指定個數的1919810，待研究)

依所設，即求：Int((114514^x)/10^m) mod 10^7 =1919810

或114514^x=a*10^(7+m)+1919810*10^m+b，0<b<10^m

調用在線網站 www.wolframalpha.com, 作了以下輸入，嘗試解出答案，未如願。好久沒正式用mathematica了，待研究。。。

Solve[{(114514^x)=a*10^(7+m)]+1919810*10^m+b,b>0,b<10^m},{x,m,a,b},Intergers]

Solve[Mod[IntegerPart[(114514^x)/10^m],10^7]==1919810,{x,m},Intergers]

www.wolframalpha.com

{備忘：

若求114514^n結尾為1919810，則n不存在，理由如下：

若n為非負整數，則114514^n mod 10 =4^n≠

1919810 mod 10 =0

故 114514^n mod 10= 1919810無非負整數解

故 114514^n mod 10^7= 1919810無非負整數解

}

作者：喝茶部
連結：https://www.zhihu.com/question/444236234/answer/1992346330
來源：知乎
著作權歸作者所有。商業轉載請聯繫作者獲得授權，非商業轉載請註明出處。

問題：114514的多少次方，中間包含著1919810呢？

問題可以改寫成：

設：a,b∈Na,b \in \mathbb{N}  ，y,z∈Zy,z \in \mathbb{Z}，x∈Rx \in \mathbb{R}

114514x=1919810∗10y+a∗10z+b114514^x = 1919810*10^y + a*10^z+ b

z≥7+yz\ge7+y

b<10yb<10^y

然後直接解 xx 就行了，其他未知數符合上述範圍，隨便帶什麼數進去：

x=log114514(1919810∗10y+a∗10z+b)x = log_{114514}{(1919810*10^y+a*10^z+b)}

x=log(1919810∗10y+a∗10z+b)log114514x = \frac{log{(1919810*10^y+a*10^z+b)}}{log{114514}}