114514的1919810次冪和1919810的114514次冪哪個大？請通過數學求解

作者：量化調酒師
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注意到

1919810ln⁡114514−1919810=∫011919810(15−x1+x+2448932768+24489x)dx>0,\begin{align*}{\color{green}{1919810}}\ln\color{red}{114514}- \color{green}{1919810}=\int_0^1 \color{green}{1919810}\left(\dfrac{15 - x}{1 + x} + \dfrac{24489}{32768 + 24489 x} \right)\text{d}x >0,\end{align*}

1919810−114514ln⁡1919810=∫01((1−x)(232429+1434826x)1+x+10154070894959905+88671x)dx>0.\begin{align*} \color{green}{1919810}-\color{red}{114514}\ln\color{green}{1919810}=\int_0^1\left(\dfrac{(1-x)(232429+1434826x)}{1+x}+\dfrac{10154070894}{959905+88671x} \right)\text{d}x>0.\end{align*}

於是

1919810ln⁡114514>1919810>114514ln⁡1919810\begin{align*}\color{green}{1919810}\ln{\color{red}{114514}} >\color{green}{1919810}> \color{red}{114514}\ln\color{green}{1919810}\end{align*}

即

1145141919810>1919810114514.\begin{align*} \color{red}{114514}^{\color{green}{1919810}}>\color{green}{1919810}^{\color{red}{114514}}.\end{align*}

證畢！

xfan：

從來沒打過這麼富裕的仗，還要什麼注意力

發佈於 2025-02-05 05:23

作者：醬紫君
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把一個 10 拆下來

⩼1145141919810=(11451410)1919810/10⩼1919810114514{114514}^{1919810}={(114514^{10})}^{1919810/10}⩼{1919810}^{114514}

只需證明

⩼⩼{11451410⩼19198101919810÷10⩼114514\begin{cases} 114514^{10} &⩼& 1919810\\ 1919810 ÷10 &⩼& 114514 \end{cases}

不過這個太難證了, 我暫時不知道怎麼證.

換個思路, 注意到 1919810 > 114514 > e.

若 x > e, 此時 ln x 增長速度遠遠小於 x, ln x / x 單調遞減

所以有 1>ln⁡114515114514>ln⁡19198101919810>0\displaystyle 1>\frac{\ln114515}{114514}>\frac{\ln1919810}{1919810}>0

取自然對數

有 e1>eln⁡114515114514>eln⁡19198101919810>e0\displaystyle e^1>e^\frac{\ln114515}{114514}>e^\frac{\ln1919810}{1919810}>e^0

即 e>1145141/114514>19198101/1919810>1\displaystyle e>{114514}^{1/114514}>{1919810}^{1/1919810}>1

最後兩邊同時取 114515 × 1919810 次方, 即證

e114515×1919810>1145141919810>1919810114514>1\displaystyle e^{114515 × 1919810}>{114514}^{1919810}>{1919810}^{114514}>1

綜上所述: 1145141919810>1919810114514{114514}^{1919810}>{1919810}^{114514}

或者直接注意到 4MB > 300KB

freeMaths：

由均值不等式

狼行天下：

這兩個數相差太大了：

由於 

故

739085：

114514^1919810

>100000^1800000

=10000000000^900000

>1919810^114514

無理函數君：

下面我們來證明這一點：

令 

由於當  時  ,所以  即 

單調遞減，所以有： 

即： 

所以： 

開開4444：

可以看這篇文章。

開開4444：指底互換，兩式比較——a^b與b^a的比較3 贊同 · 10 評論 文章

很好比較，這兩個數字之間差得太大了。

楊恂懌：

注意到

顯然有

易得

Q.E.D