當x,y至少有1個為0時,不等式右邊=0,左邊≥0 
不等式成立 
當x,y均不為0時, 
xy(x+y)^2/2 
=xy(x^2+2xy+y^2)/2 
=(x^3y+2x^2y^2+xy^3)/2 
≤(x^3y+x^4+y^4+xy^3)/2 
現在只要證明x^3y+xy^3≤x^4+y^4就可以了. 
x^3y+xy^3-x^4-y^4 
=x^3(y-x)-y^3(y-x) 
=-(y^3-x^3)(y-x) 
=-(y-x)^2(y^2+xy+x^2) 
由於(y-x)^2≥0 
y^2+xy+x^2=(x+y/2)^2+3y^2/4≥0 
因此x^3y+xy^3-x^4-y^4≤0 
x^3y+xy^3≤x^4+y^4 

(x^3y+x^4+y^4+xy^3)/2≤x^4+y^4 

不等式成立. 

綜上,有x^4+y^4≥1/2 xy(x+y)^2