0.999…是書寫於小數記數系統中的一個數，讀作：「零點九，九循環」。一些最簡單的0.999… = 1 的證明都依賴於這個系統方便的算術性質。大多數的小數算術──加法、減法、乘法、除法，以及大小的比較，使用與整數差不多的數位層次的操作。與整數一樣，任何兩個有限小數隻要數位不同，那麼數值也一定不同。相對的，任何一個形如0.99…9的數，但是9的數量有限，則這個數字是小於1的。
這類展開式的非唯一性不僅限於十進制系統，相同的現象也出現在其它的整數進位制中。數學家們也列舉出了一些1在非整數進位制中的寫法，這種現象也不是僅僅限於1的：對於每一個非零的有限小數，都存在另一種含有無窮多個9的寫法，由於簡便的原因，這時幾乎肯定使用有限小數的寫法，這樣就更加使人們誤以為沒有其它寫法了，實際上，一旦在完備實數系中允許使用無限小數，那麼在所有的進位制中都有無窮多種替代的寫法，例如，18.3287與18.3286999…、18.3287000…，以及許多其它的寫法，都表示相同的數，這些各種各樣的等式被用來更好地理解分數的小數展開式的規律，以及一個簡單分形圖形──康托爾集合的結構，它們也出現在一個對整個實數的無窮集合的經典研究之中。
在過去數十年裡，許多數學教育的研究人員研究了大眾及學生們對該等式的接受程度，許多學生在學習開始時懷疑甚至拒絕該等式，但許多學生被老師、教科書和如下章節的算術推論說服並接受兩者是相等的。儘管如此，許多人們仍常感到懷疑，及提出進一步的辯解，這經常是由於存在不少對數學實數的錯誤觀念等背後因素（參見以下教育中遇到的懷疑一章節），例如認為每一個實數都有唯一的一個小數展開式，以及認為無限小（無窮小）不等於0，並且將0.999…視為一個不定值，即該值只是一直微微擴張變大，因此與1的差永遠是無限小而不是0，因此「永遠都差一點」。可以構造出符合這些直觀的數系，但這個觀念只能用於初等數學或多數更高等數學中的標準實數系統之外進行，的確，某些設計含有「恰恰小於1」的數，不過，這些數一般與0.999…無關（因為與之相關的理論上和實踐上都皆無實質用途），但在數學分析中引起了相當大的關注。
誤解0.999…中的省略號的意義，是誤解0.999…= 1的其中一個原因。這裡省略號的用法與日常語言中0.99…9的用法是不同的，0.99…9中的省略號意味着的有限的部分被省略掉了。但是，當用來表示一個循環小數的時候，"…"則意味着無限的部分被省略掉了，這只能用極限的數學概念來闡釋。作為使用傳統數學的結果，指派給記數表示式「0.999…」的值定義為一個實數，該實數為收斂數列（0.9，0.99，0.999，0.9999，0.99999，…）的極限。「0.999…」是一個數列的極限，從而，對於0.999…= 1這個等式就很直觀了。
與整數和有限小數的情況不一樣，其實記數法也可以用多種方式表示單一個數值。例如，如果使用分數，
。但是，一個數最多只能用兩種無限小數的方法來表示。如果有兩種方法，那麼其中一種一定是從某一位開始全是循環重複的9，而另外一種則是從某一位開始就全是循環重複的0。
0.999… = 1 有許多證明，它們各有不同的嚴謹性，一個嚴謹的證明可以簡單地說明：考慮到兩個實數其實是同一個的，當且僅當它們的差等於零。大部分人都同意；0.999…與 1 的差，就算存在也是非常的小(實際上根本不存在，即差等於0)。考慮到以上的收斂數列，這時可以證明這個差的大小一定是小於任何一個正數的，也可以證明（詳細內容參見阿基米德性質），唯一具有這個性質的實數是0。由於差是0，可知 1 和 0.999…是同一數，用相同的理由，也可以解釋為什麼「0.333…=1/3」；以及該等式乘上3倍後可得出「0.999… = 1」。
一個立體化的0.999…文本。
、
或是
，是一個具有特殊意義的無限循環小數，由小數點後無限的 9 序列組成。在數學的完備實數系中，「0.999…」所表示的數與「1」相同。換句話說，「0.999...」不是「幾乎完全」或「非常、非常接近但不完全」等於1；相反，「0.999...」和「1」正好代表相同的數字。
的簡單整數，長除法後變成了一個循環小數0.333…，其中有無窮多個數字3。利用這個小數，很快就能得到一個 0.999… = 1 的證明。用 3 乘以 0.333… 中的每一個 3，便得到 9，所以 3 × 0.333… 等於 0.999…。由於 
等於1，所以 0.999… = 1。
同乘以9。
，且
。所以0.999…= 1。
。
0.(9)=1的解釋
.