0.999…是書寫於小數記數系統中的一個数，读作：“零点九，九循环”。一些最简单的0.999… = 1 的证明都依赖於这个系统方便的算术性质。大多數的小數算术──加法、减法、乘法、除法，以及大小的比较，使用与整数差不多的數位層次的操作。与整数一样，任何两个有限小数只要数位不同，那么数值也一定不同。相对的，任何一个形如0.99…9的数，但是9的数量有限，则这个数字是小于1的。
这类展开式的非唯一性不仅限於十进制系统，相同的现象也出现在其它的整数进位制中。数学家们也列举出了一些1在非整数进位制中的写法，这种现象也不是仅仅限於1的：对於每一个非零的有限小数，都存在另一种含有无穷多个9的写法，由於简便的原因，这时几乎肯定使用有限小數的写法，这样就更加使人们误以为没有其它写法了，实际上，一旦在完备实数系中允许使用无限小数，那么在所有的进位制中都有无穷多种替代的写法，例如，18.3287与18.3286999…、18.3287000…，以及许多其它的写法，都表示相同的数，这些各种各样的等式被用来更好地理解分數的小数展开式的规律，以及一个简单分形图形──康托尔集合的结构，它们也出现在一个对整个实数的无穷集合的经典研究之中。
在过去數十年裡，許多数学教育的研究人员研究了大眾及学生们对该等式的接受程度，许多学生在學習开始時怀疑甚至拒絕该等式，但許多学生被老師、教科书和如下章節的算術推論說服並接受两者是相等的。儘管如此，許多人們仍常感到懷疑，及提出进一步的辯解，這經常是由於存在不少對數學实数的錯誤觀念等背後因素（參見以下教育中遇到的懷疑一章節），例如認為每一个实数都有唯一的一个小数展开式，以及認為無限小（无穷小）不等於0，並且將0.999…视为一个不定值，即該值只是一直微微擴張變大，因此与1的差永遠是無限小而不是0，因此「永遠都差一點」。可以构造出符合這些直觀的數系，但這個觀念只能用於初等数学或多數更高等數學中的标准实数系统之外进行，的確，某些設計含有「恰恰小於1」的数，不過，这些数一般与0.999…无关（因为与之相关的理论上和实践上都皆無實質用途），但在数学分析中引起了相当大的關注。
误解0.999…中的省略号的意义，是误解0.999…= 1的其中一个原因。这里省略号的用法与日常语言中0.99…9的用法是不同的，0.99…9中的省略号意味着的有限的部分被省略掉了。但是，当用来表示一个循环小数的时候，"…"则意味着无限的部分被省略掉了，这只能用极限的数学概念来阐释。作為使用傳統數學的結果，指派給記數表示式“0.999…”的值定義為一個實數，該實數為收敛数列（0.9，0.99，0.999，0.9999，0.99999，…）的极限。「0.999…」是一个数列的极限，从而，对於0.999…= 1这个等式就很直观了。
与整数和有限小数的情况不一样，其實記數法也可以用多種方式表示單一個數值。例如，如果使用分數，
。但是，一个数最多只能用两种无限小数的方法来表示。如果有两种方法，那么其中一种一定是从某一位开始全是循環重複的9，而另外一种则是从某一位开始就全是循環重複的0。
0.999… = 1 有许多证明，它们各有不同的嚴謹性，一个嚴謹的证明可以简单地说明：考虑到两个实数其實是同一個的，当且仅当它们的差等於零。大部分人都同意；0.999…与 1 的差，就算存在也是非常的小(實際上根本不存在，即差等於0)。考虑到以上的收敛数列，这时可以证明这个差的大小一定是小於任何一个正数的，也可以证明（详细内容参见阿基米德性質），唯一具有这个性质的实数是0。由於差是0，可知 1 和 0.999…是同一數，用相同的理由，也可以解释为什么「0.333…=1/3」；以及該等式乘上3倍後可得出「0.999… = 1」。
一个立体化的0.999…文本。
、
或是
，是一个具有特殊意义的无限循环小数，由小数点后无限的 9 序列组成。在数学的完备实数系中，「0.999…」所表示的数与「1」相同。换句话说，“0.999...”不是“几乎完全”或“非常、非常接近但不完全”等于1；相反，“0.999...”和“1”正好代表相同的数字。
的简单整数，長除法後变成了一个循环小数0.333…，其中有无穷多个数字3。利用这个小数，很快就能得到一个 0.999… = 1 的证明。用 3 乘以 0.333… 中的每一个 3，便得到 9，所以 3 × 0.333… 等於 0.999…。由於 
等於1，所以 0.999… = 1。
同乘以9。
，且
。所以0.999…= 1。
。
0.(9)=1的解釋
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