三角函数（英语：trigonometric functions[注 1]）是数学很常见的一类关于角度的函数。三角函数将直角三角形的内角和它的两边的比值相关联，亦可以用单位圆的各种有关线段的长的等价来定义。三角函数在研究三角形和圆形等几何形状的性质时有着重要的作用，亦是研究振动、波、天体运动和各种周期性现象的基础数学工具[1]。在数学分析上，三角函数亦定义为无穷级数或特定微分方程式的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

常见的三角函数有正弦函数（）、余弦函数（）和正切函数（或或）[1]；在航海学、测绘学和工程学等其他学科中还会用到例如余切函数（或）、正割函数（）、余割函数（）、正矢函数和半正矢函数等其它三角函数。不同的三角函数之间的关系可以几何直观或计算得出，称为三角恒等式。

三角函数一般用于计算三角形中的未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学和物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数[2]。常见的双曲函数也称双曲正弦函数、双曲余弦函数等。

三角函数的早期研究可以追溯到古代。例如古埃及数学家在鉴别尼罗河泛滥后的土地边界、保持金字塔每边斜度相同，都使用了三角术，只是他们可能还没有对这种方式定名而已。古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯。他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份（即圆周的弧度为360度，与现代的弧度制不同）。对于指定弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这记法和现代的正弦函数等价。喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表。然而古希腊的三角学基本是球面三角学。这与古希腊人研究的主体是天文学有关。梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理。古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰，托勒密在《数学汇编》（Syntaxis Mathematica）中计算了36度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式和半角公式的方法。托勒密还给出了所有0到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值[3]:133-140[4]:151-152。

希腊文化传播到古印度后，印度人继续研究了三角术。公元5世纪末的数学家阿耶波多提出用弧对应的弦长的一半来对应半弧的正弦，后来古印度数学家亦用了这做法，和现代的正弦定义一致[4]:189。阿耶波多的计算中也使用了余弦和正割。他在计算弦长时使用了不同的单位，重新计算了0到90度中间隔三又四分之三度（3.75°）的三角函数值表[4]:193。然而古印度的数学与当时的中国一样，停留在计算方面，缺乏系统的定义和演绎的证明。阿拉伯人也采用了古印度人的正弦定义，但他们的三角学是直接继承于古希腊。阿拉伯天文学家引入了正切和余切、正割和余割的概念，并计算了间隔10分（10′）的正弦和正切数值表[3]:214-215。到了公元14世纪，阿拉伯人将三角计算重新以算术方式代数化（古希腊人采用的是建立在几何上的推导方式）的努力为后来三角学从天文学中独立出来，成为了有更广泛应用的学科奠定了基础。[3]:225

进入15世纪后，阿拉伯数学文化开始传入欧洲。随着欧洲商业兴盛起来，航行、历法测定和地理测绘中出现了对三角学的需求。在翻译阿拉伯数学著作的同时，欧洲数学家开始制作更详细精确的三角函数值表。哥白尼的学生乔治·约阿希姆·瑞提克斯制作了间隔10秒（10″）的正弦表，有9位精确值。瑞提克斯还改变了正弦的定义，原来称弧对应的弦长是正弦，瑞提克斯则将角度对应的弦长称为正弦。16世纪后，数学家开始将古希腊有关球面三角的结果和定理转化为平面三角定理。弗朗索瓦·韦达给出了托勒密的不少结果对应的平面三角形式。他还尝试计算了多倍角正弦的表达方式。[3]:275-278

18世纪开始引进解析几何等分析学工具，数学家开始用分析学研究三角函数。牛顿在1669年的《分析学》一书中给出了正弦和余弦函数的无穷级数表示。Collins将牛顿的结果告诉詹姆斯·格列高里，后者进一步给出了正切等三角函数的无穷级数。莱布尼兹在1673年左右也独立得到这结果[5]:162-163。欧拉的《无穷小量分析引论》（Introductio in Analysin Infinitorum，1748年）对建立三角函数的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有使用接近现代的简写sin.、cos.、tang.、cot.、sec.和csc.（cosec.）。

1631年徐光启与邓玉函、汤若望合撰《大测》首次将三角函数引入中国并确立了正弦、余弦等译名。

几何定义[编辑]

以直角三角形来定义[编辑]

以直角坐标系来定义[编辑]

假设是平面直角坐标系中的一点，是横轴正向逆时针旋转到方向所形成的一个角，是到原点的距离，则的六种三角函数定义为[7]：

这样可以定义任何角度的三角函数（除非当定义式无意义时）。大于360°或小于-360°的角度可认为是转了（逆时针／顺时针）不止一圈。而多转或少转了整数圈不会影响三角函数的取值[8]。如果按弧度制方式记录角度，将弧长作为三角函数的输入值（360°等于），那么三角函数就是取值为全体实数R，最小正周期（基本周期）为的周期函数，如

正弦、余弦、正割或余割的基本周期是弧度或360°；正切或余切的基本周期是弧度或180°。

单位圆定义[编辑]

三角函数亦可以根据直角坐标系中半径为1，以圆心为原点的单位圆来定义[1]。指定一角，假设为起始点，如果则将以逆时针方向转动，如果

基本性质[编辑]

从几何定义中能推导出很多三角函数的性质。例如正弦函数、正切函数、余切函数和余割函数是奇函数，余弦函数和正割函数是偶函数[9]。正弦和余弦函数的图像形状一样（见右图），可以看作是沿着坐标横轴平移得到的两组函数。正弦和余弦函数关于轴对称。正切函数和余切函数、正割函数和余割函数也分别如此。