設曲線弧L的兩端分別為A、B，L上有一動點P(x, y)，且弧AP的長度為s。以P為端點取一段弧長為△s的弧，弧的另一端為 Q，那麼弧AQ的長度就為s+△s，Q的坐標為(x+△x,y+△y)，也就是說Q的坐標相對於P的增量為(△x,  △y)。這裡s為自變數，由於其本身就是線性增長的，因此沒有高階無窮小部分，它的微分等於其增量的精確值（微分等於改變數的精確值減去高階無窮小部分），因此，ds=△s。如果△s→（趨於）0的話，那麼點Q就會無限地靠近P。

x, y都是自變數s的函數，即x=x(s), y=y(s)。因此，x, y都是因變數，屬於非線性增長，其增量的高階無窮小部分不一定為0，此時dx≈△x，dy≈△y。只有x, y都是自變數的情況下，Q的坐標才為(x+dx, y+dy)，但是這樣的話ds就不等於△s了，因為此時s成了x, y的二元函數。
若L的線密度為ρ (x, y) = xy的話，那麼弧段PQ的質量的微分就為dm=xyds。dm是該弧段的精確質量△m去掉了高階無窮小後的線性部分，它是△m的近似值（注意：m是整個弧段的質量）。要求出△m的準確值，就必須對dm進行積分：

如果讓P點和A點重合，Q點和B點重合，也就是s=0，ds=L的弧長時，△m=m，這樣我們就可以求出整個曲線弧的質量：

在物理書上可查到轉動慣量的計算公式為：

其中r為弧段端點到轉軸的距離，dm為弧段的質量。
若轉軸為y軸，那麼P點到轉軸的距離r就等於x，因此，整個曲線弧的轉動慣量為

其中的被積表達式表示弧段PQ的轉動慣量的近似值：

因為我們只取了P到y軸的距離r，沒有考慮Q（當然還包括其他點）到y軸的距離相對於r的增量。也就是說，我們把弧段PQ想像成了與y軸平行的直線段了，這樣得到的結果必然是近似值。不過，我們卻可以通過積分運算得到精確值。

如果這段弧是x軸上的一段直線，那麼直接用定積分計算就可以了，不需要用到曲線積分。

這個例子說明了，ds根本就不是弧長增量△s→ 0的記號，而是表示△s去掉了高階無窮小後的線性部分。

xyds等於dm而不等於m的原因也是一樣，因為我們只考慮了P點的線密度，沒有考慮其他點的線密度增量，直接拿P點的線密度與弧長的準確值△s相乘了，所以得到的是近似值，而非精確值。要得到精確值仍需要積分。