【本帖目錄】2樓：光速不變
3樓：相對性原理
4樓：洛倫茲變換
5~7樓：洛倫茲變換推導
8樓：速度變換 及其推導
9樓：角度變換 及其推導
10~11樓：尺縮效應 及其推導
12~13樓：鐘慢效應 及其推導

光速不變：
完整表述為，真空中的連續傳播的光束的傳播速率（簡稱光速）在任意參照系中觀察者看來，都有統一的數值。
解釋：
連續傳播，指光束的傳播過程，在觀測者觀測來說，無論在時間上還是空間上，都必須是具有連續性的。
從數學上可看作是 光速（光程Δx對傳播時間差Δt比值v=Δs/Δt在Δt無窮小條件下的極限v=dx/dt）存在的必要條件。
物理上來說，只有連續傳播的光才可以測量傳播速率，所以上述條件也是物理上光速有意義的必要條件。
速率，指速度的大小，不含方向要素，因此光速不變只是速度大小不變，不包含光速方向是否改變的要求。


當 一光源向空間各向均勻發光時，我們通常將該光源向各方向發射的無數束光中的 波前（波前 就是每束光前進的最前端）看作是組成一個同時開始由球心向各方向擴散的球面，擴散速率等於光波傳播速率c，若光速不變成立，則表明該球面是永遠維持正球形 （而非不規則球或者橢球），因組成該球面的無數個同時出發的 波前 向各自方向的擴散速率都相等。
首先我們知道，光束總是直線傳播的。
那麼在xyz參照系下，一束光的光程就是：
[(Δx)²+(Δy)²+(Δz)²]^(1/2)=cΔt 
即：(Δx)²+(Δy)²+(Δz)²=c²(Δt)² 
那麼，x'y'z'參照系下這個式子應該是完全類似的： 
(Δx')²+(Δy')²+(Δz')²=c'²(Δt')² 
變形一下就是： 
(Δx)²+(Δy)²+(Δz)²-c²(Δt)²=0 和
(Δx')²+(Δy')²+(Δz')²-c'²(Δt')²=0 
也就是： 
(Δx)²+(Δy)²+(Δz)²-c²(Δt)²=(Δx')²+(Δy')²+(Δz')²-c'²(Δt')² 
這稱為 光束的時空間隔方程。

考慮最簡單的一維坐標變換情況： 
當兩觀測者之間速度差v（第二觀測者K'在第一觀測者K看來的速度）沿單一坐標向（比如x向），則應有(Δx)²-c²(Δt)²=0和(Δx')²-c'²(Δt')²=0（因為v在y,z方向分量為0） 
如果取第一觀測者系統K發光時刻為第一觀測者所在參照系0時刻，且取第二觀測者系統發光時刻也為第二觀測者K'所在參照系0時刻，則兩參照系分別在發光時刻開始計時。那麼，t1=0；t1'=0 
對應得到一維條件下的光束的時空間隔方程： 
(Δx)²-c²(Δt)²=(Δx')²-c'²(Δt')² 

由於相對論要求光速c在任意參照系都相等，即c'=c總成立，故上述方程在相對論中可寫作：
(Δx)²-c²(Δt)²=(Δx')²-c²(Δt')²

物理規律數學形式跨參照系不變（簡稱相對性原理）
完整表述為，物理量的數學運算形式跨參照系不變。
解釋：
物理量的數學形式，指物理量符合的物理規律的數學表達形式，包括量綱定義式不變，與相關物理量的運算關係不變。
例如，速度的量綱為[速度]=[空間長度]/[時間差]
則在任何參照系中，這個量綱定義必須是不變的，不可以有某一參照系中滿足[速度]=[空間長度]² /[時間差]²這樣的情況存在，也不可以有[速度]=[空間長度]/[質量]這樣的情況存在。
或者可以說，假如蘋果是一個物理量，那麼它要滿足的基本規則就是，在任何參照系它都是一隻蘋果，而不可能在某些參照系中是一隻鴨梨，更不可以是蘋果的平方。


相對性原理的數學等價形式：
以 坐標為例，我們都知道，坐標變換就是描述不同參照系中的同一種坐標的數學關係的規則，如果 坐標 這一物理量滿足相對性原理，在任何參照系中依舊是 坐標，而非其它東西，那麼就要求 坐標變換 的數學形式滿足一定條件，而這個條件就是我們想要獲得的 相對性原理的數學等價形式。

設兩參照系空間坐標變換為（我們這裡出於謹慎考慮，假定坐標變換可以有冪運算）：
x'=Kx^a(a為指數，K為比例常數)+Lx^b+...+Mx^1+...+Nx^0+...+Px^c 
注意：這個式子含有x的各次項（a,b,...,1,...,0,...c包含所有實數，實際上可以推廣到複數，但為簡化思考，不做推廣。K,L,...,M,...,N,...P為各項係數，可以推廣到複數，但這裡我們僅設它們為實數）。 
現在，根據相對性原理（物理規律數學形式跨參照系不變）得到： 
x'=Kx^a+Lx^b+...+Mx^1+...+Nx^0+...+Px^c 右側的量綱應該還是[空間長度]，而x^n在n≠1時都具有非[空間長度]的量綱，而是具有[空間長度]^n（n≠1）的量綱，顯然他們都不符合要求，要 讓它們符合要求，則需要它們（kx^n）的係數k具有[空間長度]^（1-n）的量綱，才能保證kx^n的量綱是k的量綱 [空間長度]^（1-n）與x^n的量綱 [空間長度]^n的乘積 [空間長度]。

而係數k的量綱 [空間長度]^（1-n）在n=0和n=1之外，都不是物理學中有測量意義的物理量。只有n=0和n=1時，係數k的量綱 [空間長度]^（1-n）分別為 [空間長度]^（1-0）=[空間長度]^1=[空間長度] 和[空間長度]^（1-1）=[空間長度]^0=[純數量]，[空間長度]和[純數量]是物理學中有測量意義的物理量綱。

沒有測量意義的物理量綱，本質來說就是物理學觀測不到其存在的，或者就可以認為在物理意義上是不存在的量綱，因此，考慮到物理意義，則只有n=1和0這兩種情況下的係數才有意義，因此，真正符合物理要求的項只有1次項和0次項，也就是Mx^1和Nx^0。

則x'=Kx^a+Lx^b+...+Mx^1+...+Nx^0+...+Px^c=Mx^1+Nx^0=Mx+N
才是在物理意義上符合相對性原理的坐標變換。


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補充知識：
線性：一個方程或者函數的形式是ax+b=y，其中a，b為參數，x，y為變數或者未知數，則稱之為線性的方程或者函數（因為這個形式是斜截式直線方程）。
顯然，ax+b=y可以變成(y-b)/a=x=y/a+(-b/a)
如果我們設c=1/a，d=-b/a就能得出x=cy+d，
顯然，一個線性函數的反函數還是一個線性的函數。
一般來說，我們說線性函數中只存在數乘（例如數a乘以x）和加法（例如+b），而沒有冪運算，指數運算或者對數運算。
實際上，減法包含於加法（因為減去一個數等於加上這個數的相反數），除法包含於乘法（因為除以一個數等於乘以這個數的倒數）。
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則我們可以說，相對性原理的數學等價形式就是：
一個物理量A的跨參照系變換A'=f(A)應該是個線性關係式，即A'=MA+N其中M為純數量，N和A和A'具有相同量綱。
滿足相對性原理的坐標變換就是：
x'=Mx+N，M為純數量，N具有x和x'的量綱。

洛倫茲變換（洛變換）
假定K參照係為第一觀察者所在參照系，也叫「相對第一觀測者靜止的參照系」，簡稱「靜止系」，K'係為第二相對觀察者所在參照系，也叫「相對第一觀察者運動系，相對第二觀察者靜止系」，簡稱「運動系」。 
x,y,z,t是被觀測物體在「靜止系」的三維空間坐標，時間，三維速度分量。 
X,Y,Z,T是被觀測物體在「運動系」的三維空間坐標，時間，三維速度分量。 
v是「運動系」在「靜止系」中的速度。 
最簡化的洛倫茲變換的三維形式就是
X=γ(x-vt)，Y=y，Z=z，T=γ(t-xv/c²)
γ=1/[(1-v²/c²)^(1/2)]

我們進行下面的推導：

由於我們知道，作為相對論物理量的空間坐標x和類空間坐標ict都應該滿足變換：這裡設兩個具有速度差異的參照系xt和XT，其中XT在xt看來具有速度v>0（即v方向與x軸正向相同）， xt在XT看來具有速度V，兩者坐標變換 
X=mx+p和icT=ic(nt+q)即cT=cnt+cq 
而由於p為x的0次方項，也應該具有x量綱，是一段位移，不妨設定p=rct+s 
cq也同樣是一段位移，q具有t的量綱，不妨設定cq=kx+l， 
得到X=mx+ rct+s，cT=cnt+ kx+l 
根據光速不變對應等價的方程 
(dx)²+(dy)²+(dz)²+c²(idt)²=(dx')²+(dy')²+(dz')²+c²(idt')²=0 
若取最簡化情況x1=0，t1=0，x2=x，t2=t，則有： 
x²-c²t²= (mx+ rct+s) ²-( cnt+ kx+l) ²=0 
即x²-c²t²=m²x²+r²c²t²+s²+2mxrct+2mxs+2rcts-c²n²t²-k²x²-l²-2cntkx-2kxl-2cntl 
分析各同類項係數分別=0得到 
m²-k²=1 
r²- n²=-1 
ms-kl=0 
rs-nl=0 
s²- l²=0 
mr-nk=0 
現在討論s，l符號異同問題： 
1)如果s=l=0，則有m≠或者=k，r≠或者=n 
2)如果s=l≠0，則有m =k，r =n 
3)如果-s=l，則有-m=k，-r=n 
2)顯然違反m²-k²=1，r²- n²= -1，舍掉 
剩下情況得到兩組方程： 
1)X=mx+rct，cT=cnt+kx 
3)X=mx-nct+s，cT=cnt-mx-s 
由於速度v=dx/dt 
則V=dX/dT 
對應兩組： 
1)V=cd(mx+rct)/d(cnt+kx)可以有多值（注意：當m=k，r=n時候V=c，會導致所有xt系速度變換到XT系都成為唯一值c，這是不合理的。幸好m²-k²=1，r²- n²=-1決定了m≠k，r≠n） 
3)V=cd(mx-nct+s)/d(cnt-mx-s)= -c可見情況3)會導致所有xt系速度變換到XT系都成為唯一值-c，這是不合理的。 
因此只能s=l=0，m≠k，r≠n即X=mx+rct，cT=kx+cnt

分符號情況討論： 
由於mr-nk=0，即mr=nk，則只能有： 
1)m>0,r>0,n>0,k>0 
2)m>0,r>0,n<0,k<0 
3)m<0,r>0,n<0,k>0 
4)m<0,r>0,n>0,k<0 
5)m>0,r<0,n<0,k>0 
6)m>0,r<0,n>0,k<0 
7)m<0,r<0,n<0,k<0 
8)m<0,r<0,n>0,k>0 
這8種情況 
6)m>0,r<0,n>0, k<0，根據m²-k²=1，r²- n²= -1得到 
m=(1+k²)^(1/2)，n=(1+r²)^(1/2) 
代入mr-nk=0 
r(1+k²)^(1/2)=k(1+r²)^(1/2) 
r/k=[(1+r²)/ (1+k²)]^(1/2)，由於m，k，r，n都不為0， 
k² (1+r²)/ [r² (1+k²)]=1得到k=±r，根據k<0，r<0 
得到k=r，則m=n 
於是X=mx+rct，cT=kx+cnt變成X=mx+ckt，cT=kx+cmt 
另外已知XT系在xt內具有速度v>0，則XT系原點O在xt內具有速度v，則O在xt系坐標為x0=vt，另外知道X0=0（在XT系自身看來，其坐標系原點總是坐標為0），於是有可以把x=x0=vt，X=X0=0代入X=mx+ckt得到： 
0=mvt+ckt即k=-mv/c（和m>0，k<0，v>0，c>0恰好符合）代入m=(1+k²)^(1/2)= (1+m²v²/c²)^(1/2)得到 
m=1/[(1-v²/c²)^(1/2)] 
於是有了我們的洛侖茲變換：m=γ=1/[(1-v²/c²)^(1/2)] 
X=γ(x-vt)，T=γ(t-xv/c²) 

下面我們看看其他情況為什麼被舍掉：

1) (舍掉)m>0,r>0,n>0,k>0，m=(1+k²)^(1/2)，n= (1+r²)^(1/2) 
代入mr-nk=0，1={[(1+r²)/ (1+k²)]^(1/2)}k/r得k=±r根據r>0,k>0得到 
r=k，則n=m 
於是X=mx+rct，cT=kx+cnt變成X=mx+ckt，cT=kx+cmt 
把x=x0=vt，X=X0=0代入X=mx+ckt得到 
k=-mv/c，這顯然是不可能的，因為違反v>0，c>0，m>0，k>0，因此本情況舍掉 
2) (舍掉)m>0,r>0,n<0,k<0，m=(1+k²)^(1/2)，n= -(1+r²)^(1/2) 
代入mr-nk=0，-1={[(1+r²)/ (1+k²)]^(1/2)}k/r得k=±r根據r>0,k<0得到 
r=-k，則n=-m 
於是X=mx+rct，cT=kx+cnt變成X=mx-ckt，cT=kx-cmt 
把x=x0=vt，X=X0=0代入X=mx-ckt得到 
k=mv/c，這顯然是不可能的，因為違反v>0，c>0，m>0，k<0，因此本情況舍掉 
3) m<0,r>0,n<0,k>0，m=-(1+k²)^(1/2)，n= -(1+r²)^(1/2) 
代入mr-nk=0，1={[(1+r²)/ (1+k²)]^(1/2)}k/r得k=±r根據r>0,k>0得到 
r=k，則n=m 
於是X=mx+rct，cT=kx+cnt變成X=mx+ckt，cT=kx+cmt 
把x=x0=vt，X=X0=0代入X=mx+ckt得到 
k= -mv/c（符合v>0,c>0,m<0,k>0）代入m=-(1+k²)^(1/2)= -(1+m²v²/c²)^(1/2) 
則m²=1+m²v²/c²，m²=1/(1- v²/c²) 
m=-1/[(1-v²/c²)^(1/2)]= -γ 
代入X=mx+ckt，cT=kx+cmt得到 
X= -γ(x-vt)，T= -γ(t-xv/c²) 
4) m<0,r>0,n>0,k<0，m=-(1+k²)^(1/2)，n= (1+r²)^(1/2) 
代入mr-nk=0，-1={[(1+r²)/ (1+k²)]^(1/2)}k/r得k=±r根據r>0,k<0得到 
r=-k，則n=-m 
於是X=mx+rct，cT=kx+cnt變成X=mx-ckt，cT=kx-cmt 
把x=x0=vt，X=X0=0代入X=mx-ckt得到 
k=mv/c（符合 v>0，c>0，m<0，k<0）代入m=-(1+k²)^(1/2)= -(1+m²v²/c²)^(1/2) 
m=-1/[(1-v²/c²)^(1/2)]= -γ 
代入X=mx-ckt，cT=kx-cmt得到 
X= -γ(x-vt)，T= -γ(t-xv/c²)與3）相同

5) (舍掉)m>0,r<0,n<0,k>0，m=(1+k²)^(1/2)，n= -(1+r²)^(1/2) 
代入mr-nk=0，-1={[(1+r²)/ (1+k²)]^(1/2)}k/r得k=±r根據r<0,k>0得到 
r=-k，則n=-m 
於是X=mx+rct，cT=kx+cnt變成X=mx-ckt，cT=kx-cmt 
把x=x0=vt，X=X0=0代入X=mx-ckt得到 
k=mv/c（違反 v>0，c>0，m>0，k>0，因此本情況舍掉） 
7) (舍掉) m<0,r<0,n<0,k<0，m=-(1+k²)^(1/2)，n= -(1+r²)^(1/2) 
代入mr-nk=0，1={[(1+r²)/ (1+k²)]^(1/2)}k/r得k=±r根據r<0,k<0得到 
r=k，則n=m 
於是X=mx+rct，cT=kx+cnt變成X=mx+ckt，cT=kx+cmt 
把x=x0=vt，X=X0=0代入X=mx+ckt得到 
k= -mv/c（違反 v>0，c>0，m<0，k<0，因此本情況舍掉） 
8) m<0,r<0,n>0,k>0，m=-(1+k²)^(1/2)，n= (1+r²)^(1/2) 
代入mr-nk=0，-1={[(1+r²)/ (1+k²)]^(1/2)}k/r得k=±r根據r<0,k>0得到 
r=-k，則n=-m 
於是X=mx+rct，cT=kx+cnt變成X=mx-ckt，cT=kx-cmt 
把x=x0=vt，X=X0=0代入X=mx-ckt得到 
k=mv/c（違反 v>0，c>0，m<0，k>0，因此本情況舍掉） 

於是我們得到兩組洛侖茲變換： 
X=γ(x-vt)，T=γ(t-xv/c²) 
和X= -γ(x-vt)，T= -γ(t-xv/c²) 

後一組顯然在跨坐標系變換時候將坐標的正負反號，是違反「任意參照系中的物理規律數學形式相同」的相對論前提假設的（因為我們前提是讓兩個參照系坐標系方向規定相同）！ 
因此，最後只有X=γ(x-vt)，T=γ(t-xv/c²)是唯一符合狹義相對論兩個前提假設的坐標變換。

上面我們得到的是一維的洛倫茲坐標變換，為了讓這個坐標變換在三維條件下滿足
(Δx)²+(Δy)²+(Δz)²-c²(Δt)²=(ΔX)²+ (ΔY)²+(ΔZ)²-c²(ΔT)²的條件（此條件為光速不變的等價數學關形式），還需要添加y，z條件，由於上面的一維變換的推出條件就是動靜參照 系間的速度差在y和z方向上沒有分量，所以當光束與坐標軸非平行傳播時，y和z方向的光程分量在任意參照系中都是相同的，也就是
Y=y和Z=z
因此，最簡化的洛倫茲變換的三維形式就是
X=γ(x-vt)，Y=y，Z=z，T=γ(t-xv/c²)

愛因斯坦速度變換
假定K參照係為第一觀察者所在參照系，也叫「相對第一觀測者靜止的參照系」，簡稱「靜止系」，K'係為第二相對觀察者所在參照系，也叫「相對第一觀察者運動系，相對第二觀察者靜止系」，簡稱「運動系」。 
x,y,z,t是被觀測物體在「靜止系」的三維空間坐標，時間，三維速度分量。 
X,Y,Z,T是被觀測物體在「運動系」的三維空間坐標，時間，三維速度分量。 
γ=1/[(1-v^2/c^2)^(1/2)] >1是「靜止系」中「洛侖茲擴張因子」。
v是「運動系」在「靜止系」中的速度。 
洛侖茲坐標變換： 
X=γ(x-vt) 
Y=y 
Z=z 
T=γ(t-vx/c^2)
愛因斯坦速度變換： 
V(X)=[v(x)-u]/([1-v(x)u/c^2)] 
V(Y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2)) 
V(Z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))

初等數學推導：
在靜止系設v(x)=(x2-x1)/(t2-t1) 
v(y)=(y2-y1)/(t2-t1) 
v(z)=(z2-z1)/(t2-t1) 
得到： 
t2-t1=(x2-x1)/v(x) 
x2-x1=v(x)(t2-t1) 
y2-y1=v(y)(t2-t1) 
z2-z1=v(z)(t2-t1) 

在運動系： 
我們不知道經過坐標變換後，各個坐標軸方向的速度分量會不會互相影響，所以統一設為 
V=(R2-R1)/(T2-T1) 
其中R2-R1=(X2-X1)i+(Y2-Y1)j+(Z2-Z1)k 
則 
V=(R2-R1)/(T2-T1) 
=[(X2-X1)i+(Y2-Y1)j+(Z2-Z1)k]/(T2-T1) 
={γ[(x2-x1)-u(t2-t1)]i+(y2-y1)j+(z2-z1)k}/{γ[(t2-t1)-u(x2-x1)/c^2]} 

顯然分母γ[(t2-t1)-u(x2-x1)/c^2]不會影響V在各個坐標軸方向的分量，所以，按照個分量分別計算： 
V(X)=γ[(x2-x1)-u(t2-t1)]/{γ[(t2-t1)-u(x2-x1)/c^2]} 
=[v(x)(t2-t1)-u(t2-t1)]/{(t2-t1)-uv(x)(t2-t1)/c^2} 
=[v(x)-u]/([1-v(x)u/c^2)] 

V(Y)=(y2-y1)/{γ[(t2-t1)-u(x2-x1)/c^2]} 
=v(y)(t2-t1)/{γ[(t2-t1)-uv(x)(t2-t1)/c^2]} 
=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2)) 

V(Z)=(z2-z1)/{γ[(t2-t1)-u(x2-x1)/c^2]} 
=v(z)(t2-t1)/{γ[(t2-t1)-uv(x)(t2-t1)/c^2]} 
=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))
推導完畢

光線角度變換
已知靜止系一束任意角度K傳播的光，設其初始從坐標原點處光源發出，則隨著時間它所走過的光程為L=ct，t時刻光到達的位置點的坐標是(x,y)
根據三角函數定義，則sinK=y/ct，cosK=x/ct
那麼：y=ct·sinK，x=ct·cosK--------------（1）

另外已知洛倫茲變換：x'=γ(x-vt)，t'=γ(t-vx/c²)，y'=y-------------（2）
得到逆變換：x=γ(x'+vt')，t=γ(t'+vx'/c²)，y=y'-------------（3）
代入（1）得到方程組：
y'=cγ(t'+vx'/c²)sinK 和 γ(x'+vt')=cγ(t'+vx'/c²)cosK--------------（4）
解得：
y'=ct'[sinK/(1-vcosK/c)]/γ，請注意在運動系中也有y'=ct'sinK'----------（5a）
x'=ct'[(cosK-v/c)/(1-vcosK/c)]，請注意在運動系中也有x'=ct'cosK'----------（5b）
得到sinK'=[sinK/(1-vcosK/c)]/γ和cosK'=(cosK-v/c)/(1-vcosK/c)--------（6）

（6）就是所謂的光束傳播角度變換。

尺縮效應（洛倫茲收縮）：
尺縮的實際效果就是，一個物體對於觀察者靜止時，觀察者測量它的長度，比它對於這個觀察者運動之後，觀察者測量它的新長度要長，也就是說，物體運動越快，比靜止時的長度越縮短。

推導：
設靜止系xyz-t系中有一把尺以速度u運動。

我們知道，對於尺自身的參照系XYZ-T來說，無論尺對於xyz-t是否運動，尺在自己參照系內同時測量尺的兩端AB得到的長度L永遠是不變的，因為尺上各點都對尺靜止，沒有發生過任何變化。
由於這把尺在xyz-t系中具有速度u，根據前文我們通過愛因斯坦速度變換得到的結論是，xyz-t系在尺的參照系中的速度V(x)=-u，從而得到洛倫茲變換的逆變換：
x=γ(X+uT)，y=Y，z=Z和t=γ(T+uX/c^2)
我們假定尺的參照系XYZ-T中某時刻T時，該系觀測者同時測量了這把尺的兩端，得到坐標為Xa和Xb，則通過洛倫茲變換的逆變換計算得到這兩次測量對應的xyz-t係數據：
xa=γ(Xa+uT)
xb=γ(Xb+uT)
ta=γ(T+uXa/c^2)
tb=γ(T+uXb/c^2)

若u=0（此時γ=1/[(1-u^2/c^2)^(1/2)]=1），也就是尺對於xyz-t系靜止，則有
xa=γ(Xa+uT)=γXa=Xa
xb=γ(Xb+uT)=γXb=Xb
ta=γ(T+uXa/c^2)=γT
tb=γ(T+uXb/c^2)=γT
此時tb-ta=0，即尺長xb-xa=Xb-Xa=L是在xyz-t系同時測量兩端得到的，是有效的測量（非同時測量物體兩端，無法得到有意義的物體長度，因為當你測運動物體時，測完一端再去測另一端的位置，另一端早就離開原位了）。