【本帖目录】2楼：光速不变
3楼：相对性原理
4楼：洛伦兹变换
5~7楼：洛伦兹变换推导
8楼：速度变换 及其推导
9楼：角度变换 及其推导
10~11楼：尺缩效应 及其推导
12~13楼：钟慢效应 及其推导

光速不变：
完整表述为，真空中的连续传播的光束的传播速率（简称光速）在任意参照系中观察者看来，都有统一的数值。
解释：
连续传播，指光束的传播过程，在观测者观测来说，无论在时间上还是空间上，都必须是具有连续性的。
从数学上可看作是 光速（光程Δx对传播时间差Δt比值v=Δs/Δt在Δt无穷小条件下的极限v=dx/dt）存在的必要条件。
物理上来说，只有连续传播的光才可以测量传播速率，所以上述条件也是物理上光速有意义的必要条件。
速率，指速度的大小，不含方向要素，因此光速不变只是速度大小不变，不包含光速方向是否改变的要求。


当 一光源向空间各向均匀发光时，我们通常将该光源向各方向发射的无数束光中的 波前（波前 就是每束光前进的最前端）看作是组成一个同时开始由球心向各方向扩散的球面，扩散速率等于光波传播速率c，若光速不变成立，则表明该球面是永远维持正球形 （而非不规则球或者椭球），因组成该球面的无数个同时出发的 波前 向各自方向的扩散速率都相等。
首先我们知道，光束总是直线传播的。
那么在xyz参照系下，一束光的光程就是：
[(Δx)²+(Δy)²+(Δz)²]^(1/2)=cΔt 
即：(Δx)²+(Δy)²+(Δz)²=c²(Δt)² 
那么，x'y'z'参照系下这个式子应该是完全类似的： 
(Δx')²+(Δy')²+(Δz')²=c'²(Δt')² 
变形一下就是： 
(Δx)²+(Δy)²+(Δz)²-c²(Δt)²=0 和
(Δx')²+(Δy')²+(Δz')²-c'²(Δt')²=0 
也就是： 
(Δx)²+(Δy)²+(Δz)²-c²(Δt)²=(Δx')²+(Δy')²+(Δz')²-c'²(Δt')² 
这称为 光束的时空间隔方程。

考虑最简单的一维坐标变换情况： 
当两观测者之间速度差v（第二观测者K'在第一观测者K看来的速度）沿单一坐标向（比如x向），则应有(Δx)²-c²(Δt)²=0和(Δx')²-c'²(Δt')²=0（因为v在y,z方向分量为0） 
如果取第一观测者系统K发光时刻为第一观测者所在参照系0时刻，且取第二观测者系统发光时刻也为第二观测者K'所在参照系0时刻，则两参照系分别在发光时刻开始计时。那么，t1=0；t1'=0 
对应得到一维条件下的光束的时空间隔方程： 
(Δx)²-c²(Δt)²=(Δx')²-c'²(Δt')² 

由于相对论要求光速c在任意参照系都相等，即c'=c总成立，故上述方程在相对论中可写作：
(Δx)²-c²(Δt)²=(Δx')²-c²(Δt')²

物理规律数学形式跨参照系不变（简称相对性原理）
完整表述为，物理量的数学运算形式跨参照系不变。
解释：
物理量的数学形式，指物理量符合的物理规律的数学表达形式，包括量纲定义式不变，与相关物理量的运算关系不变。
例如，速度的量纲为[速度]=[空间长度]/[时间差]
则在任何参照系中，这个量纲定义必须是不变的，不可以有某一参照系中满足[速度]=[空间长度]² /[时间差]²这样的情况存在，也不可以有[速度]=[空间长度]/[质量]这样的情况存在。
或者可以说，假如苹果是一个物理量，那么它要满足的基本规则就是，在任何参照系它都是一只苹果，而不可能在某些参照系中是一只鸭梨，更不可以是苹果的平方。


相对性原理的数学等价形式：
以 坐标为例，我们都知道，坐标变换就是描述不同参照系中的同一种坐标的数学关系的规则，如果 坐标 这一物理量满足相对性原理，在任何参照系中依旧是 坐标，而非其它东西，那么就要求 坐标变换 的数学形式满足一定条件，而这个条件就是我们想要获得的 相对性原理的数学等价形式。

设两参照系空间坐标变换为（我们这里出于谨慎考虑，假定坐标变换可以有幂运算）：
x'=Kx^a(a为指数，K为比例常数)+Lx^b+...+Mx^1+...+Nx^0+...+Px^c 
注意：这个式子含有x的各次项（a,b,...,1,...,0,...c包含所有实数，实际上可以推广到复数，但为简化思考，不做推广。K,L,...,M,...,N,...P为各项系数，可以推广到复数，但这里我们仅设它们为实数）。 
现在，根据相对性原理（物理规律数学形式跨参照系不变）得到： 
x'=Kx^a+Lx^b+...+Mx^1+...+Nx^0+...+Px^c 右侧的量纲应该还是[空间长度]，而x^n在n≠1时都具有非[空间长度]的量纲，而是具有[空间长度]^n（n≠1）的量纲，显然他们都不符合要求，要 让它们符合要求，则需要它们（kx^n）的系数k具有[空间长度]^（1-n）的量纲，才能保证kx^n的量纲是k的量纲 [空间长度]^（1-n）与x^n的量纲 [空间长度]^n的乘积 [空间长度]。

而系数k的量纲 [空间长度]^（1-n）在n=0和n=1之外，都不是物理学中有测量意义的物理量。只有n=0和n=1时，系数k的量纲 [空间长度]^（1-n）分别为 [空间长度]^（1-0）=[空间长度]^1=[空间长度] 和[空间长度]^（1-1）=[空间长度]^0=[纯数量]，[空间长度]和[纯数量]是物理学中有测量意义的物理量纲。

没有测量意义的物理量纲，本质来说就是物理学观测不到其存在的，或者就可以认为在物理意义上是不存在的量纲，因此，考虑到物理意义，则只有n=1和0这两种情况下的系数才有意义，因此，真正符合物理要求的项只有1次项和0次项，也就是Mx^1和Nx^0。

则x'=Kx^a+Lx^b+...+Mx^1+...+Nx^0+...+Px^c=Mx^1+Nx^0=Mx+N
才是在物理意义上符合相对性原理的坐标变换。


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补充知识：
线性：一个方程或者函数的形式是ax+b=y，其中a，b为参数，x，y为变量或者未知数，则称之为线性的方程或者函数（因为这个形式是斜截式直线方程）。
显然，ax+b=y可以变成(y-b)/a=x=y/a+(-b/a)
如果我们设c=1/a，d=-b/a就能得出x=cy+d，
显然，一个线性函数的反函数还是一个线性的函数。
一般来说，我们说线性函数中只存在数乘（例如数a乘以x）和加法（例如+b），而没有幂运算，指数运算或者对数运算。
实际上，减法包含于加法（因为减去一个数等于加上这个数的相反数），除法包含于乘法（因为除以一个数等于乘以这个数的倒数）。
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则我们可以说，相对性原理的数学等价形式就是：
一个物理量A的跨参照系变换A'=f(A)应该是个线性关系式，即A'=MA+N其中M为纯数量，N和A和A'具有相同量纲。
满足相对性原理的坐标变换就是：
x'=Mx+N，M为纯数量，N具有x和x'的量纲。

洛伦兹变换（洛变换）
假定K参照系为第一观察者所在参照系，也叫“相对第一观测者静止的参照系”，简称“静止系”，K'系为第二相对观察者所在参照系，也叫“相对第一观察者运动系，相对第二观察者静止系”，简称“运动系”。 
x,y,z,t是被观测物体在“静止系”的三维空间坐标，时间，三维速度分量。 
X,Y,Z,T是被观测物体在“运动系”的三维空间坐标，时间，三维速度分量。 
v是“运动系”在“静止系”中的速度。 
最简化的洛伦兹变换的三维形式就是
X=γ(x-vt)，Y=y，Z=z，T=γ(t-xv/c²)
γ=1/[(1-v²/c²)^(1/2)]

我们进行下面的推导：

由于我们知道，作为相对论物理量的空间坐标x和类空间坐标ict都应该满足变换：这里设两个具有速度差异的参照系xt和XT，其中XT在xt看来具有速度v>0（即v方向与x轴正向相同）， xt在XT看来具有速度V，两者坐标变换 
X=mx+p和icT=ic(nt+q)即cT=cnt+cq 
而由于p为x的0次方项，也应该具有x量纲，是一段位移，不妨设定p=rct+s 
cq也同样是一段位移，q具有t的量纲，不妨设定cq=kx+l， 
得到X=mx+ rct+s，cT=cnt+ kx+l 
根据光速不变对应等价的方程 
(dx)²+(dy)²+(dz)²+c²(idt)²=(dx')²+(dy')²+(dz')²+c²(idt')²=0 
若取最简化情况x1=0，t1=0，x2=x，t2=t，则有： 
x²-c²t²= (mx+ rct+s) ²-( cnt+ kx+l) ²=0 
即x²-c²t²=m²x²+r²c²t²+s²+2mxrct+2mxs+2rcts-c²n²t²-k²x²-l²-2cntkx-2kxl-2cntl 
分析各同类项系数分别=0得到 
m²-k²=1 
r²- n²=-1 
ms-kl=0 
rs-nl=0 
s²- l²=0 
mr-nk=0 
现在讨论s，l符号异同问题： 
1)如果s=l=0，则有m≠或者=k，r≠或者=n 
2)如果s=l≠0，则有m =k，r =n 
3)如果-s=l，则有-m=k，-r=n 
2)显然违反m²-k²=1，r²- n²= -1，舍掉 
剩下情况得到两组方程： 
1)X=mx+rct，cT=cnt+kx 
3)X=mx-nct+s，cT=cnt-mx-s 
由于速度v=dx/dt 
则V=dX/dT 
对应两组： 
1)V=cd(mx+rct)/d(cnt+kx)可以有多值（注意：当m=k，r=n时候V=c，会导致所有xt系速度变换到XT系都成为唯一值c，这是不合理的。幸好m²-k²=1，r²- n²=-1决定了m≠k，r≠n） 
3)V=cd(mx-nct+s)/d(cnt-mx-s)= -c可见情况3)会导致所有xt系速度变换到XT系都成为唯一值-c，这是不合理的。 
因此只能s=l=0，m≠k，r≠n即X=mx+rct，cT=kx+cnt

分符号情况讨论： 
由于mr-nk=0，即mr=nk，则只能有： 
1)m>0,r>0,n>0,k>0 
2)m>0,r>0,n<0,k<0 
3)m<0,r>0,n<0,k>0 
4)m<0,r>0,n>0,k<0 
5)m>0,r<0,n<0,k>0 
6)m>0,r<0,n>0,k<0 
7)m<0,r<0,n<0,k<0 
8)m<0,r<0,n>0,k>0 
这8种情况 
6)m>0,r<0,n>0, k<0，根据m²-k²=1，r²- n²= -1得到 
m=(1+k²)^(1/2)，n=(1+r²)^(1/2) 
代入mr-nk=0 
r(1+k²)^(1/2)=k(1+r²)^(1/2) 
r/k=[(1+r²)/ (1+k²)]^(1/2)，由于m，k，r，n都不为0， 
k² (1+r²)/ [r² (1+k²)]=1得到k=±r，根据k<0，r<0 
得到k=r，则m=n 
于是X=mx+rct，cT=kx+cnt变成X=mx+ckt，cT=kx+cmt 
另外已知XT系在xt内具有速度v>0，则XT系原点O在xt内具有速度v，则O在xt系坐标为x0=vt，另外知道X0=0（在XT系自身看来，其坐标系原点总是坐标为0），于是有可以把x=x0=vt，X=X0=0代入X=mx+ckt得到： 
0=mvt+ckt即k=-mv/c（和m>0，k<0，v>0，c>0恰好符合）代入m=(1+k²)^(1/2)= (1+m²v²/c²)^(1/2)得到 
m=1/[(1-v²/c²)^(1/2)] 
于是有了我们的洛仑兹变换：m=γ=1/[(1-v²/c²)^(1/2)] 
X=γ(x-vt)，T=γ(t-xv/c²) 

下面我们看看其他情况为什么被舍掉：

1) (舍掉)m>0,r>0,n>0,k>0，m=(1+k²)^(1/2)，n= (1+r²)^(1/2) 
代入mr-nk=0，1={[(1+r²)/ (1+k²)]^(1/2)}k/r得k=±r根据r>0,k>0得到 
r=k，则n=m 
于是X=mx+rct，cT=kx+cnt变成X=mx+ckt，cT=kx+cmt 
把x=x0=vt，X=X0=0代入X=mx+ckt得到 
k=-mv/c，这显然是不可能的，因为违反v>0，c>0，m>0，k>0，因此本情况舍掉 
2) (舍掉)m>0,r>0,n<0,k<0，m=(1+k²)^(1/2)，n= -(1+r²)^(1/2) 
代入mr-nk=0，-1={[(1+r²)/ (1+k²)]^(1/2)}k/r得k=±r根据r>0,k<0得到 
r=-k，则n=-m 
于是X=mx+rct，cT=kx+cnt变成X=mx-ckt，cT=kx-cmt 
把x=x0=vt，X=X0=0代入X=mx-ckt得到 
k=mv/c，这显然是不可能的，因为违反v>0，c>0，m>0，k<0，因此本情况舍掉 
3) m<0,r>0,n<0,k>0，m=-(1+k²)^(1/2)，n= -(1+r²)^(1/2) 
代入mr-nk=0，1={[(1+r²)/ (1+k²)]^(1/2)}k/r得k=±r根据r>0,k>0得到 
r=k，则n=m 
于是X=mx+rct，cT=kx+cnt变成X=mx+ckt，cT=kx+cmt 
把x=x0=vt，X=X0=0代入X=mx+ckt得到 
k= -mv/c（符合v>0,c>0,m<0,k>0）代入m=-(1+k²)^(1/2)= -(1+m²v²/c²)^(1/2) 
则m²=1+m²v²/c²，m²=1/(1- v²/c²) 
m=-1/[(1-v²/c²)^(1/2)]= -γ 
代入X=mx+ckt，cT=kx+cmt得到 
X= -γ(x-vt)，T= -γ(t-xv/c²) 
4) m<0,r>0,n>0,k<0，m=-(1+k²)^(1/2)，n= (1+r²)^(1/2) 
代入mr-nk=0，-1={[(1+r²)/ (1+k²)]^(1/2)}k/r得k=±r根据r>0,k<0得到 
r=-k，则n=-m 
于是X=mx+rct，cT=kx+cnt变成X=mx-ckt，cT=kx-cmt 
把x=x0=vt，X=X0=0代入X=mx-ckt得到 
k=mv/c（符合 v>0，c>0，m<0，k<0）代入m=-(1+k²)^(1/2)= -(1+m²v²/c²)^(1/2) 
m=-1/[(1-v²/c²)^(1/2)]= -γ 
代入X=mx-ckt，cT=kx-cmt得到 
X= -γ(x-vt)，T= -γ(t-xv/c²)与3）相同

5) (舍掉)m>0,r<0,n<0,k>0，m=(1+k²)^(1/2)，n= -(1+r²)^(1/2) 
代入mr-nk=0，-1={[(1+r²)/ (1+k²)]^(1/2)}k/r得k=±r根据r<0,k>0得到 
r=-k，则n=-m 
于是X=mx+rct，cT=kx+cnt变成X=mx-ckt，cT=kx-cmt 
把x=x0=vt，X=X0=0代入X=mx-ckt得到 
k=mv/c（违反 v>0，c>0，m>0，k>0，因此本情况舍掉） 
7) (舍掉) m<0,r<0,n<0,k<0，m=-(1+k²)^(1/2)，n= -(1+r²)^(1/2) 
代入mr-nk=0，1={[(1+r²)/ (1+k²)]^(1/2)}k/r得k=±r根据r<0,k<0得到 
r=k，则n=m 
于是X=mx+rct，cT=kx+cnt变成X=mx+ckt，cT=kx+cmt 
把x=x0=vt，X=X0=0代入X=mx+ckt得到 
k= -mv/c（违反 v>0，c>0，m<0，k<0，因此本情况舍掉） 
8) m<0,r<0,n>0,k>0，m=-(1+k²)^(1/2)，n= (1+r²)^(1/2) 
代入mr-nk=0，-1={[(1+r²)/ (1+k²)]^(1/2)}k/r得k=±r根据r<0,k>0得到 
r=-k，则n=-m 
于是X=mx+rct，cT=kx+cnt变成X=mx-ckt，cT=kx-cmt 
把x=x0=vt，X=X0=0代入X=mx-ckt得到 
k=mv/c（违反 v>0，c>0，m<0，k>0，因此本情况舍掉） 

于是我们得到两组洛仑兹变换： 
X=γ(x-vt)，T=γ(t-xv/c²) 
和X= -γ(x-vt)，T= -γ(t-xv/c²) 

后一组显然在跨坐标系变换时候将坐标的正负反号，是违反“任意参照系中的物理规律数学形式相同”的相对论前提假设的（因为我们前提是让两个参照系坐标系方向规定相同）！ 
因此，最后只有X=γ(x-vt)，T=γ(t-xv/c²)是唯一符合狭义相对论两个前提假设的坐标变换。

上面我们得到的是一维的洛伦兹坐标变换，为了让这个坐标变换在三维条件下满足
(Δx)²+(Δy)²+(Δz)²-c²(Δt)²=(ΔX)²+ (ΔY)²+(ΔZ)²-c²(ΔT)²的条件（此条件为光速不变的等价数学关形式），还需要添加y，z条件，由于上面的一维变换的推出条件就是动静参照 系间的速度差在y和z方向上没有分量，所以当光束与坐标轴非平行传播时，y和z方向的光程分量在任意参照系中都是相同的，也就是
Y=y和Z=z
因此，最简化的洛伦兹变换的三维形式就是
X=γ(x-vt)，Y=y，Z=z，T=γ(t-xv/c²)

爱因斯坦速度变换
假定K参照系为第一观察者所在参照系，也叫“相对第一观测者静止的参照系”，简称“静止系”，K'系为第二相对观察者所在参照系，也叫“相对第一观察者运动系，相对第二观察者静止系”，简称“运动系”。 
x,y,z,t是被观测物体在“静止系”的三维空间坐标，时间，三维速度分量。 
X,Y,Z,T是被观测物体在“运动系”的三维空间坐标，时间，三维速度分量。 
γ=1/[(1-v^2/c^2)^(1/2)] >1是“静止系”中“洛仑兹扩张因子”。
v是“运动系”在“静止系”中的速度。 
洛仑兹坐标变换： 
X=γ(x-vt) 
Y=y 
Z=z 
T=γ(t-vx/c^2)
爱因斯坦速度变换： 
V(X)=[v(x)-u]/([1-v(x)u/c^2)] 
V(Y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2)) 
V(Z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))

初等数学推导：
在静止系设v(x)=(x2-x1)/(t2-t1) 
v(y)=(y2-y1)/(t2-t1) 
v(z)=(z2-z1)/(t2-t1) 
得到： 
t2-t1=(x2-x1)/v(x) 
x2-x1=v(x)(t2-t1) 
y2-y1=v(y)(t2-t1) 
z2-z1=v(z)(t2-t1) 

在运动系： 
我们不知道经过坐标变换后，各个坐标轴方向的速度分量会不会互相影响，所以统一设为 
V=(R2-R1)/(T2-T1) 
其中R2-R1=(X2-X1)i+(Y2-Y1)j+(Z2-Z1)k 
则 
V=(R2-R1)/(T2-T1) 
=[(X2-X1)i+(Y2-Y1)j+(Z2-Z1)k]/(T2-T1) 
={γ[(x2-x1)-u(t2-t1)]i+(y2-y1)j+(z2-z1)k}/{γ[(t2-t1)-u(x2-x1)/c^2]} 

显然分母γ[(t2-t1)-u(x2-x1)/c^2]不会影响V在各个坐标轴方向的分量，所以，按照个分量分别计算： 
V(X)=γ[(x2-x1)-u(t2-t1)]/{γ[(t2-t1)-u(x2-x1)/c^2]} 
=[v(x)(t2-t1)-u(t2-t1)]/{(t2-t1)-uv(x)(t2-t1)/c^2} 
=[v(x)-u]/([1-v(x)u/c^2)] 

V(Y)=(y2-y1)/{γ[(t2-t1)-u(x2-x1)/c^2]} 
=v(y)(t2-t1)/{γ[(t2-t1)-uv(x)(t2-t1)/c^2]} 
=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2)) 

V(Z)=(z2-z1)/{γ[(t2-t1)-u(x2-x1)/c^2]} 
=v(z)(t2-t1)/{γ[(t2-t1)-uv(x)(t2-t1)/c^2]} 
=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))
推导完毕

光线角度变换
已知静止系一束任意角度K传播的光，设其初始从坐标原点处光源发出，则随着时间它所走过的光程为L=ct，t时刻光到达的位置点的坐标是(x,y)
根据三角函数定义，则sinK=y/ct，cosK=x/ct
那么：y=ct·sinK，x=ct·cosK--------------（1）

另外已知洛伦兹变换：x'=γ(x-vt)，t'=γ(t-vx/c²)，y'=y-------------（2）
得到逆变换：x=γ(x'+vt')，t=γ(t'+vx'/c²)，y=y'-------------（3）
代入（1）得到方程组：
y'=cγ(t'+vx'/c²)sinK 和 γ(x'+vt')=cγ(t'+vx'/c²)cosK--------------（4）
解得：
y'=ct'[sinK/(1-vcosK/c)]/γ，请注意在运动系中也有y'=ct'sinK'----------（5a）
x'=ct'[(cosK-v/c)/(1-vcosK/c)]，请注意在运动系中也有x'=ct'cosK'----------（5b）
得到sinK'=[sinK/(1-vcosK/c)]/γ和cosK'=(cosK-v/c)/(1-vcosK/c)--------（6）

（6）就是所谓的光束传播角度变换。

尺缩效应（洛伦兹收缩）：
尺缩的实际效果就是，一个物体对于观察者静止时，观察者测量它的长度，比它对于这个观察者运动之后，观察者测量它的新长度要长，也就是说，物体运动越快，比静止时的长度越缩短。

推导：
设静止系xyz-t系中有一把尺以速度u运动。

我们知道，对于尺自身的参照系XYZ-T来说，无论尺对于xyz-t是否运动，尺在自己参照系内同时测量尺的两端AB得到的长度L永远是不变的，因为尺上各点都对尺静止，没有发生过任何变化。
由于这把尺在xyz-t系中具有速度u，根据前文我们通过爱因斯坦速度变换得到的结论是，xyz-t系在尺的参照系中的速度V(x)=-u，从而得到洛伦兹变换的逆变换：
x=γ(X+uT)，y=Y，z=Z和t=γ(T+uX/c^2)
我们假定尺的参照系XYZ-T中某时刻T时，该系观测者同时测量了这把尺的两端，得到坐标为Xa和Xb，则通过洛伦兹变换的逆变换计算得到这两次测量对应的xyz-t系数据：
xa=γ(Xa+uT)
xb=γ(Xb+uT)
ta=γ(T+uXa/c^2)
tb=γ(T+uXb/c^2)

若u=0（此时γ=1/[(1-u^2/c^2)^(1/2)]=1），也就是尺对于xyz-t系静止，则有
xa=γ(Xa+uT)=γXa=Xa
xb=γ(Xb+uT)=γXb=Xb
ta=γ(T+uXa/c^2)=γT
tb=γ(T+uXb/c^2)=γT
此时tb-ta=0，即尺长xb-xa=Xb-Xa=L是在xyz-t系同时测量两端得到的，是有效的测量（非同时测量物体两端，无法得到有意义的物体长度，因为当你测运动物体时，测完一端再去测另一端的位置，另一端早就离开原位了）。