無窮小

0.999… = 1的證明依賴於標準實數的阿基米德性質：不存在非零的無窮小。存在着數學上密切相關的有序代數結構是非阿基米德的，其中包括標準實數的各種各樣的替代品。0.999…的意義與這時使用的結構有關。例如，在對偶數中，引進了一個新的無窮小單位ε，就像複數系統中的虛數單位i一樣，但是ε² = 0。這樣便得出了一個在自動微分中十分有用的結構。這時可以給予對偶數一個字典序，這樣ε的倍數就非阿基米德原素。[47]但是，要注意到，作為實數的延伸，在對偶數中仍然有0.999… = 1。儘管ε在對偶數中存在，ε/2也存在，所以ε就不是「最小的正對偶數」。確實是這樣，在實數中，並不存在這類的數。

另外一種構造標準實數的替代品的方法，是使用拓撲斯理論和替代的邏輯，而不是集合論和經典的邏輯（一種特殊情況）。例如，在光滑無窮小分析中，就存在沒有倒數的無窮小。[48]

非標準分析因包含了一個有無窮小（及它們的反元素）完整陣列的系統而眾所周知，它提供了一個不同的，也許是更加直觀的，對微積分的處理。[49]A.H. Lightstone在1972年提供了一個非標準小數展開式的發展，其中每一個位於（0, 1）之內的擴展的實數，都有一個唯一的擴展的小數展開式：數列0.ddd…；…ddd…，由擴展的自然數作索引。在這種形式中，0.333…有兩種自然的展開式，都不與1/3相差無窮小：

0.333…；…000…不存在，而
0.333…；…333…正好等於1/3。[50]

組合博弈論也提供了替代的實數，無窮的藍-紅Hackenbush就是一個相關的例子。1974年，埃爾溫·伯利坎普描述了一個Hackenbush字串與實數的二進制展開式之間的對應關係，由數據壓縮的想法所促動。例如，Hackenbush字串LRRLRLRL…的值是0.0101012… = 1/3。然而，LRLLL…的值（對應着0.111…2）則與1相差無窮小。兩個數的差是超實數1/ω，其中ω是第一個無窮序數；相關的博弈是LRRRR…或0.000…2。

打破減法的慣例

另外一種也可以使以上證明不成立的方法，就是1 − 0.999…根本就不存在，因為減法並不一定就是可能的。具有加法運算但沒有減法運算的數學結構包括可交換半群、可交換么半群，以及半環。里奇曼考慮了兩種這類的系統，使得0.999…< 1。

首先，里奇曼把非負的「小數」定義為字面上的小數展開式。他定義了字典序和一種加法運算，注意到0.999… < 1僅僅因為在個位數0 < 1，但對於任何一個有限小數x，都有0.999… + x = 1 + x。所以「小數」的一個獨特之處，是等式兩邊不能同減一個數；另外一個獨特之處，就是沒有「小數」對應着1⁄3。把乘法也定義了以後，「小數」便形成了一個正的、全序的、可交換的半環。[52]

在定義乘法的過程中，里奇曼還定義了另外一種系統，他稱之為「分割D」，它是小數的戴德金分割的集合。通常用這種定義便可以得出實數，但對於小數d他既允許分割（−∞， d ），又允許「主分割」（−∞， d ]。這樣做的結果，就是實數與「小數」「不舒服地住在一起」。這個系統中也有0.999… < 1。在分割D中不存在正的無窮小，但存在一種「負的無窮小」──0−，它沒有小數展開式。里奇曼得出結論，0.999… = 1 + 0−，而方程「0.999… + x = 1」則沒有解。

p進數

問到關於0.999…的時候，初學者常常相信應該有一個「最後的9」，也就是說，相信1 − 0.999…等於一個正數，可以寫為「0.000…1」。不管那有沒有意義，目標都是明確的：把1加在0.999…中的最後的9上，就會把所有的9變成0，並在個位數留下一個1。如果考慮到其它的原因，這種想法便不成立了，這是因為在0.999…中，並不存在「最後的9」。[54]對於包含最後的9的無窮多個9，這時必須從別的地方去尋找。

4進整數（黑點），包括數列（3，33，333，…）收斂於−1。10進數的類似等式，是…999 = −1。

p進數是在數論中引起興趣的又一個數系。像實數那樣，p進數可以從有理數通過柯西序列得到；但是，這種結構使用了另外一種度量，0與p之間的距離比0與1的距離還要近，而0與pn的距離又比0與p的距離近。對於質數p來說，p進數便形成了一個域，而對於其它的p，包括10來說，則形成了一個環。所以在p進數中可以進行算術，這種數系也不存在無窮小。

在10進數中，類似於小數展開式的事物位於小數點的左面。10進展開式…999確實有一個最後的9，而沒有第一個9。這時可以把1加在個位數上，這樣進位之後就只剩下0了：1 + …999 = …000 = 0，所以…999 = −1。[55]另外一種推導用到了等比級數。「…999」所指的無窮級數在實數中不收斂，但在10進數中收斂，所以這時可以使用大家熟悉的公式：

[56]

（與前面的級數比較。）第三種推導是一個七年級學生發明的，他對老師所講的0.999… = 1的極限證明感到懷疑，但因而產生了靈感，把以上乘以10的證明應用在相反的方向上：如果x = …999，則10x = …990，因此10x = x − 9，所以x = −1。[55]

作為一個最後的延伸，由於0.999… = 1（在實數中），而…999 = −1（在10進數中），那麼這時可以「盲目、大膽地擺弄符號」，[57]把兩個等式相加起來，得出：…999.999… = 0。這個等式在10進展開式中和標準小數展開式中都是沒有意義的，但假如這時研究出一種「雙小數」的理論，其中小數點左面和右面都可以無限延伸，那麼這個等式便是有意義和正確的。

相關問題

芝諾悖論，特別是奔跑者悖論，使人聯想起了0.999…等於1的表面上的悖論。奔跑者悖論可以建立一個數學模型，然後就可以像0.999…那樣，用等比級數的方法來解決。然而，這時不確定這種數學的論述是不是提到了芝諾所探索的形而上學的問題。
除以零出現在0.999…的一些討論中，也引起了爭論。大部分作者都願意定義0.999…，但幾乎都不去定義除以零，這是因為它在實數系統中不可能有意義。然而，在某些其它的系統中，除以零則是有定義的，例如複數分析，其中擴展的複平面，也就是黎曼球面，在無窮遠處「有一個點」。在這裡，1/0便定義為無窮大；實際上，這個結果有深遠的意義，可以應用在工程和物理學中的許多問題上。有些著名的數學家在兩個系統發展起來之前就提出了這樣的一個定義。
-0是另外一個記數的多餘特徵。在諸如實數的數系中，「0」表示加法單位元，既不是正數又不是負數，「−0」的解釋是0的相反數，這便迫使了−0 = 0。然而，在某些科學的應用中，使用了獨立的正零和負零，大多數常見的計算機記數系統就是這樣的（例如儲存在符號和大小或一補數的格式中的整數，或由IEEE二進制浮點數算術標準所指定的浮點數）。