无穷小

0.999… = 1的证明依赖於标准实数的阿基米德性質：不存在非零的无穷小。存在著數學上密切相關的有序代数结构是非阿基米德的，其中包括标准实数的各种各样的替代品。0.999…的意义与这时使用的结构有关。例如，在对偶数中，引进了一个新的无穷小单位ε，就像复数系统中的虚数单位i一样，但是ε² = 0。这样便得出了一个在自动微分中十分有用的结构。这时可以给予对偶数一个字典序，这样ε的倍数就非阿基米德原素。[47]但是，要注意到，作为实数的延伸，在对偶数中仍然有0.999… = 1。尽管ε在对偶数中存在，ε/2也存在，所以ε就不是“最小的正对偶数”。确实是这样，在实数中，并不存在这类的数。

另外一种构造标准实数的替代品的方法，是使用拓撲斯理论和替代的逻辑，而不是集合论和经典的逻辑（一种特殊情况）。例如，在光滑无穷小分析中，就存在没有倒数的无穷小。[48]

非标准分析因包含了一个有无穷小（及它們的反元素）完整陣列的系統而众所周知，它提供了一个不同的，也许是更加直观的，对微积分的处理。[49]A.H. Lightstone在1972年提供了一个非标准小数展开式的发展，其中每一个位於（0, 1）之内的扩展的实数，都有一个唯一的扩展的小数展开式：数列0.ddd…；…ddd…，由扩展的自然数作索引。在这种形式中，0.333…有两种自然的展开式，都不与1/3相差无穷小：

0.333…；…000…不存在，而
0.333…；…333…正好等於1/3。[50]

组合博弈论也提供了替代的实数，无穷的蓝-红Hackenbush就是一个相关的例子。1974年，埃爾溫·伯利坎普描述了一个Hackenbush字串与实数的二进制展开式之间的对应关系，由数据压缩的想法所促动。例如，Hackenbush字串LRRLRLRL…的值是0.0101012… = 1/3。然而，LRLLL…的值（对应着0.111…2）则与1相差无穷小。两个数的差是超实数1/ω，其中ω是第一个无穷序数；相关的博弈是LRRRR…或0.000…2。

打破减法的惯例

另外一种也可以使以上证明不成立的方法，就是1 − 0.999…根本就不存在，因为减法并不一定就是可能的。具有加法运算但没有减法运算的数学结构包括可交换半群、可交换幺半群，以及半环。里奇曼考虑了两种这类的系统，使得0.999…< 1。

首先，里奇曼把非负的“小数”定义为字面上的小数展开式。他定义了字典序和一种加法运算，注意到0.999… < 1仅仅因为在个位数0 < 1，但对於任何一个有限小数x，都有0.999… + x = 1 + x。所以“小数”的一个独特之处，是等式两边不能同减一个数；另外一个独特之处，就是没有“小数”对应着1⁄3。把乘法也定义了以后，“小数”便形成了一个正的、全序的、可交换的半环。[52]

在定义乘法的过程中，里奇曼还定义了另外一种系统，他称之为“分割D”，它是小数的戴德金分割的集合。通常用这种定义便可以得出实数，但对於小数d他既允许分割（−∞， d ），又允许“主分割”（−∞， d ]。这样做的结果，就是实数与“小数”“不舒服地住在一起”。这个系统中也有0.999… < 1。在分割D中不存在正的无穷小，但存在一种“负的无穷小”──0−，它没有小数展开式。里奇曼得出结论，0.999… = 1 + 0−，而方程“0.999… + x = 1”则没有解。

p进数

问到关於0.999…的时候，初学者常常相信应该有一个“最后的9”，也就是说，相信1 − 0.999…等於一个正数，可以写为“0.000…1”。不管那有没有意义，目标都是明确的：把1加在0.999…中的最后的9上，就会把所有的9变成0，并在个位数留下一个1。如果考虑到其它的原因，这种想法便不成立了，这是因为在0.999…中，并不存在“最后的9”。[54]对於包含最后的9的无穷多个9，这时必须从别的地方去寻找。

4进整数（黑点），包括数列（3，33，333，…）收敛於−1。10进数的类似等式，是…999 = −1。

p进数是在数论中引起兴趣的又一个數系。像实数那样，p进数可以从有理数通过柯西序列得到；但是，这种结构使用了另外一种度量，0与p之间的距离比0与1的距离还要近，而0与pn的距离又比0与p的距离近。对於素数p来说，p进数便形成了一个域，而对於其它的p，包括10来说，则形成了一个环。所以在p进数中可以进行算术，这种數系也不存在无穷小。

在10进数中，类似於小数展开式的事物位於小数点的左面。10进展开式…999确实有一个最后的9，而没有第一个9。这时可以把1加在个位数上，这样进位之后就只剩下0了：1 + …999 = …000 = 0，所以…999 = −1。[55]另外一种推导用到了等比级数。“…999”所指的无穷级数在实数中不收敛，但在10进数中收敛，所以这时可以使用大家熟悉的公式：

[56]

（与前面的级数比较。）第三种推导是一个七年级学生發明的，他对老师所讲的0.999… = 1的极限证明感到怀疑，但因而产生了灵感，把以上乘以10的证明应用在相反的方向上：如果x = …999，则10x = …990，因此10x = x − 9，所以x = −1。[55]

作为一个最后的延伸，由於0.999… = 1（在实数中），而…999 = −1（在10进数中），那么这时可以“盲目、大胆地摆弄符号”，[57]把两个等式相加起来，得出：…999.999… = 0。这个等式在10进展开式中和标准小数展开式中都是没有意义的，但假如这时研究出一种“双小数”的理论，其中小数点左面和右面都可以无限延伸，那么这个等式便是有意义和正确的。

相关问题

芝诺悖论，特别是奔跑者悖论，使人联想起了0.999…等於1的表面上的悖论。奔跑者悖论可以建立一个数学模型，然后就可以像0.999…那样，用等比级数的方法来解决。然而，这时不确定这种数学的论述是不是提到了芝诺所探索的形而上学的问题。
除以零出现在0.999…的一些讨论中，也引起了争论。大部分作者都愿意定义0.999…，但几乎都不去定义除以零，这是因为它在实数系统中不可能有意义。然而，在某些其它的系統中，除以零则是有定义的，例如复数分析，其中扩展的复平面，也就是黎曼球面，在无穷远处“有一个点”。在这裡，1/0便定义为无穷大；实际上，这个结果有深远的意义，可以应用在工程和物理学中的许多问题上。有些著名的数学家在两个系统发展起来之前就提出了这样的一个定义。
-0是另外一个记数的多余特征。在诸如实数的數系中，“0”表示加法单位元，既不是正数又不是负数，“−0”的解释是0的相反数，这便迫使了−0 = 0。然而，在某些科学的应用中，使用了独立的正零和负零，大多数常见的计算机记数系统就是这样的（例如储存在符号和大小或一补数的格式中的整数，或由IEEE二进制浮点数算术标准所指定的浮点数）。