對於數列（x0，x1，x2，…）來說，如果當n增大時，距離|x − xn|變得任意地小，那麼這個數列就具有極限x。0.999… = 1的表述，可以用極限的概念來闡釋和證明：

最後一個步驟—lim 1/10n = 0—通常由實數擁有阿基米德性質這一原理來證明。這個以極限為基礎的對0.999…的看法，有時會用比較引人注意但不太精確的話語來表達。例如，在1846年的美國教科書《大學算術》（《The University Arithmetic》）中有這麼一句：「0.999+，到無窮遠處等於1，這是因為每加上一個9，都會使它的值更加接近於1」（.999 +, continued to infinity = 1, because every annexation of a 9 brings the value closer to 1）；在1895年的美國教科書《Arithmetic for Schools》（《學校算術》）中也有：「…如果有非常多的9，那麼1和0.99999…的差就小得難以想像了」（「…when a large number of 9s is taken, the difference between 1 and .99999…becomes inconceivably small」）。[8]這種啟發式的教學法，常常被學生們誤解為0.999…本身就小於1。

以上的級數定義，是一個用小數展開式來定義實數的簡單的方法。還有一種補充的方法，是相反的過程：對於一個給定的實數，定義一個相關的小數展開式。

如果知道一個實數x位於閉區間[0, 10]內（也就是說，這個實數大於或等於0，而小於或等於10），這時就可以想像把這個區間分成十個部分，只在終點處相重疊：[0, 1]、[1, 2]、[2, 3]，依此類推，直到[9, 10]。實數x一定是屬於這十個區間的一個；如果它屬於[2, 3]，這時就把數字「2」記錄下來，並把這個區間再細分成十個子區間：[2, 2.1]、[2.1, 2.2]、…、[2.8, 2.9]、[2.9, 3]。把這個過程一直繼續下去，這時便得到了一個無窮的區間套序列，由無窮個數字b0、b1、b2、b3、…來標示，並記

x = b0.b1b2b3…

在這種形式中，1 = 1.000…而且1 = 0.999…的事實，反映了1既位於[0, 1]，又位於[1, 2]，所以這時在尋找它的數字時，可以選擇任意一個子區間。為了保證這種記法沒有濫用「=」號，這時需要一種辦法來為每一個小數重新構造一個唯一的實數。這可以用極限來實現，但是還有其它的方法。[9]

一個簡單的選擇，是區間套定理，它保證只要給出了一個長度趨近於零的閉區間套序列，那麼這些區間套的交集就正好是一個實數。這樣，b0.b1b2b3…便定義為包含在所有的區間[b0, b0 + 1]、[b0.b1, b0.b1 + 0.1]，依此類推的唯一的實數。而0.999…就是位於所有的區間[0, 1]、[0.9, 1]、[0.99, 1]、[0.99…9, 1]（對於任意有限個9）的唯一的實數。由於1是所有這些區間的公共元素，因此0.999… = 1。

區間套定理通常是建立在一個更加基本的實數特徵之上的：最小上界的存在。為了直接利用這些事物，這時可以把b0.b1b2b3…定義為集合{b0，b0.b1，b0.b1b2，…}的最小上界。然後這時就可以證明，這種定義（或區間套的定義）與劃分的過程是一致的，再一次證明了0.999… = 1。湯姆·阿波斯托爾得出結論：

「  一個實數可以有兩種不同的小數表示法，僅僅是兩個不同的實數集合可以有相同的最小上界的一個反映。
(The fact that a real number might have two different decimal representations is merely a reflection of the fact that two different sets of real numbers can have the same supremum.) 

有些方法用公理集合論明確把實數定義為一定的建立在有理數上的結構。自然數──0、1、2、3，依此類推──從零開始並繼續增加，這樣每一個自然數都有一個後繼者。這時可以把自然數的概念延伸到負數，得出所有的整數，並可以進一步延伸到比例，得出所有的有理數。這些數系伴隨著加法、減法、乘法和除法的算術。更加微妙地，它們還包括排序，這樣一個數就可以與另一個進行比較，並發現是大於、小於，還是等於。

從有理數到實數的一步，是一個很大的延伸。至少有兩種常見的方法來達到這一步，它們都在1872年出版：戴德金分割，以及柯西序列。直接用到這些結構的0.999… = 1的證明，現在已經無法在實分析的教科書中找到了；最近幾個年代的趨勢，是使用公理化的分析。即使提供了這樣的一個結構，它也通常被用來證明實數的公理，從而為以上的證明提供證據。然而，有些作者表達了從一個結構開始才是邏輯上更恰當的想法，這樣得出的證明就更加完備了。

在戴德金分割的方法中，每一個實數x定義為所有小於x的有理數所組成的無窮集合。[14]比如說，實數1就是所有小於1的有理數的集合。每一個正的小數展開式很容易決定了一個戴德金分割：小於某個展開階段的有理數的集合。所以實數0.999…是有理數r的集合，使得r < 0，或r < 0.9，或r < 0.99，或r小於其它具有 形式的數。[16]0.999…的每一個元素都小於1，因此它是實數1的一個元素。反過來，1的一個元素是有理數 

另外一種構造實數的方法，間接地用到了有理數的排序。首先，有理數x和y之間的距離定義為絕對值|x − y|，其中絕對值|z|定義為z和−z的最大值，因此總是非負的。這樣實數便被定義為關於這個距離的具有柯西序列性質的有理數序列。也就是說，每一個實數都是一個柯西收斂的數列（x0，x1，x2，…）。這是一個從自然數到有理數的映射，使得對於任何正有理數δ，總存在一個N，使得對於所有的m、n > N，都有|xm − xn| ≤ δ。（兩項之間的距離變得比任何正的有理數都要小。）

如果（xn）和（yn）是兩個柯西數列，那麼如果數列（xn − yn）有極限0，這兩個數列便定義為相等的。把小數b0.b1b2b3…拆開來，便得到了一個有理數序列，它是柯西序列；這個序列對應的實數被定義為這個小數的值。所以，在這種形式中，這時的任務就是要證明，有理數序列

有極限0。對於n = 0、1、2、…，考慮數列的第n項，這時需要證明

。

這個極限是眾所周知的；[22]一個可能的證明，是在數列的極限的定義中，對於ε = a/b > 0，這時可以取N = b。所以，這又一次證明了0.999… = 1。

把實數定義為柯西序列，首先由愛德華·海涅和格奧爾格·康托爾獨立發表，也是在1872年。[17]以上的小數展開式的方法，包括0.999… = 1的證明，則主要是得自格利菲斯（Griffiths）和希爾頓（Hilton）在1970年的作品《一本經典數學的綜合教科書：一個當代的闡釋》（A comprehensive textbook of classical mathematics: A contemporary interpretation）。這本書是特別為了以當代的眼光回顧一些熟悉的數學概念而作的。

0.999… = 1的證明，立刻可以進行兩種推廣。首先，對於每一個非零的有限小數（也就是說，從某一位開始全是零），都存在另外一個與其相等的數，從某一位開始全是9。例如，0.24999…等於0.25，就像這時考慮的特殊情況。這些數正好是十進分數，而且是稠密的。

其次，一個類似的定理可以應用到任何一個底數或進位制。例如，在二進制中，0.111…等於1；而在三進制中，0.222…等於1。實分析的教科書很有可能略過0.999…的特殊情況，而從一開始就介紹這兩種推廣的一種或兩種。

1的其它表示法也出現在非整數進位制中。例如，在黃金進制中，兩個標準的表示法就是1.000…和0.101010…，此外還有無窮多種含有相鄰的1的表示法，如0.11，0.1011，0.101011等等。一般地，對於幾乎所有的1和2之間的q，在q進制中都有無窮多種1的展開式。而另一方面，依然存在不可數個q（包括所有大於1的自然數），使得在q進制中只有一種1的展開式，除了顯然的1.000…。這個結果首先由保羅·埃爾德什、Miklos Horváth和István Joó在大約1990年獲得。1998年，Vilmos Komornik和Paola Loreti確定了具有這種性質的最小的進位制──Komornik-Loreti常數q = 1.787231650…。在這個進位制中，1 = 0.11010011001011010010110011010011…；其數字由圖厄-摩斯數列給出，不是循環小數。

一個更加深遠的推廣，提到了最一般的進位制。在這些進位制中，一個數也有多種表示法，在某種意義上來說難度甚至更大。例如：

在平衡三進制系統中，1/2 = 0.111… = 1.111…。
在階乘進位制系統中，1 = 1.000… = 0.1234…。

Marko Petkovšek證明了這種歧義是使用進位制的必然結果：對於任何一個把所有實數命名的系統，總有無窮多個實數有多種表示法，而這些實數所組成的集合又是稠密的。他把這個證明稱為「一個基本點集拓撲學的指導性的練習」：它包含了把各位數的集合視為斯通空間，並注意到它們的實數表示法可以由連續函數給出。

0.999…的其中一個應用，出現在基本數論中。1802年，H·古得溫出版了一份觀察資料，描述了分母為一定的素數的分數的小數展開式中9的出現。例子包括：

1/7 = 0.142857142857…，而142 + 857 = 999。
1/73 = 0.0136986301369863…，而0136 + 9863 = 9999。

E·米迪在1836年證明了關於這類分數的一個一般的結果，現在稱為米迪定理。當初出版時沒有寫得很清楚，這時也不知道他的證明是不是直接提到了0.999…，但至少有一個W·G·萊維特的現代證明是這樣的。如果這時可以證明，一個具有形式0.b1b2b3…的小數是正整數，那麼它就一定是0.999…，這也就是定理中9的來源。在這個方向上繼續做研究，就可以得出諸如最大公因子、同餘、費馬素數、群元素的階，以及二次互反律等概念。

康托爾集合中1/4、2/3，和1的位置。

回到實分析的主題上，三進制中的類似等式0.222… = 1在刻劃康托爾集合──一個最簡單的碎形的特徵中，扮演了一個十分重要的角色：

一個單位區間中的點位於康托爾集合內，若且唯若它在三進制中可以只用數字0和2來表示。

小數中的第n位反映了在第n個階段時點的位置。例如，點²⁄3可以如常地表示為0.2或0.2000…，這是因為它位於第一個刪除部分的右面，以及以後所有的刪除部分的左面。點1⁄3則不表示為0.1，而表示為0.0222…，這是因為它位於第一個刪除部分的左面，以及以後所有的刪除部分的右面。重複的9還出現在另外一個康托爾的研究成果中。在應用他在1891年發表的對角線論證法來證明單位區間的不可數性時，必須要考慮到這種因素。這種證明需要根據小數展開式來斷言兩個實數是不同的，所以這時需要避免諸如0.2和0.1999…之類的數對。一個簡單的方法把所有的實數表示為無限小數；相反的方法便排除了重複的9的可能性。一個可能更加接近於康托爾原先的證明的變體，實際上使用了二進制，把三進制展開式轉換為二進制展開式，這時也可以證明康托爾集合的不可數性。

教育中遇到的懷疑

許多學習數學的學生往往懷疑、難以接受0.999… = 1的等式，其原因有很多，從根本不相同的外觀，到對數列極限概念的深度疑慮，乃至對無限（無窮）的本性的異議，以及不少對數學錯誤的觀念等背後的因素，從而造成了這種混淆；

學生根據以往學習數的大小比較時使用「高位比較，相同再比次高位」的方式，個位 

在大眾文化中

隨著網際網路的崛起，關於0.999…的討論已經衝出了教室，並走向了新聞群組和信息版，包括那些名義上幾乎與數學無關的信息版。在新聞群組sci.math中，辯論0.999…是一項「受歡迎的運動」，也是常見問答集之一。[43]常見問答集涵蓋了1⁄3、乘以10、還有極限的證明，也間接地提到了柯西序列。

一個2003年版的報紙專欄《真實訊息》通過1⁄3和極限討論了0.999…，並談到了誤解：

「  我們當中的低級靈長類動物仍然在抗拒，說：0.999…其實不是表示一個數，而是表示一個過程。我們必須把那個過程停止下來，來尋找那個數，這樣0.999… = 1的等式便土崩瓦解了。真是一派胡言。
（The lower primate in us still resists, saying: .999~ doesn't really represent a number, then, but a process. To find a number we have to halt the process, at which point the .999~ = 1 thing falls apart. Nonsense.）[44]  」  

（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

《真實訊息》在自己的信息版引用了另外一個不明的信息版中的討論，那個信息版「大部分是關於電子遊戲的」。0.999…的問題在暴雪娛樂的Battle.net論壇的頭七年也是一個非常受歡迎的話題，以致於該公司在2004年的愚人節不得不發布了一則「新聞」，聲明0.999…就是1：

「  我們對永遠停止對這件事的討論感到十分激動。我們親眼目睹了對0.999…是否等於1的痛心和關心，並對以下的證明最終為我們的顧客解決了問題感到十分自豪。
（We are very excited to close the book on this subject once and for all. We've witnessed the heartache and concern over whether .999~ does or does not equal 1, and we're proud that the following proof finally and conclusively addresses the issue for our customers.）[45]  」  

然後便提供了兩個證明，一個是極限的證明，另一個是乘以10的證明。

比較直觀的解釋，可以把一塊圓餅平均切3分來證明。

其它數系

雖然實數形成了一個非常有用的數系，把「0.999…」解釋為一個實數的決定畢竟還是一個約定，蒂莫西·高爾斯在《Mathematics: A Very Short Introduction》（《數學：一個非常簡短的介紹》）中提到，0.999… = 1的等式也是一個約定：

「  然而，這個約定決不是隨意取的，因為如果不採用這種數系，我們就被迫得要麼發明一些新奇的東西，要麼拋棄大家熟悉的算術規則。（However, it is by no means an arbitrary convention, because not adopting it forces one either to invent strange new objects or to abandon some of the familiar rules of arithmetic.）[46]  」  

這時可以用不同的規則或新的事物來定義其它數系；在數系中，以上的證明便需要重新解釋。這時就有可能發現，在某一個給定的數系中，0.999…和1並不一定就是相等的。然而，許多數系都是實數系的延伸，而不是獨立的替代物，所以0.999… = 1仍然成立。就算是在這數系中，這時依然值得去檢查其它的數系，不僅僅為了知道0.999…是怎樣表現的（如果「0.999…」既有意義又不含糊），也為了知道相關現象的表現。如果這種現象與實數系統中的現象不一致的話，那麼至少一個建立在這個系統中的假設便一定不成立了。