对於数列（x0，x1，x2，…）来说，如果当n增大时，距离|x − xn|变得任意地小，那么这个数列就具有极限x。0.999… = 1的表述，可以用极限的概念来阐释和证明：

最后一个步骤—lim 1/10n = 0—通常由实数擁有阿基米德性質這一原理来證明。这个以极限为基础的对0.999…的看法，有时会用比较引人注意但不太精确的话语来表达。例如，在1846年的美国教科书《大学算术》（《The University Arithmetic》）中有这么一句：“0.999+，到无穷远处等於1，这是因为每加上一个9，都会使它的值更加接近於1”（.999 +, continued to infinity = 1, because every annexation of a 9 brings the value closer to 1）；在1895年的美国教科书《Arithmetic for Schools》（《学校算术》）中也有：“…如果有非常多的9，那么1和0.99999…的差就小得难以想像了”（“…when a large number of 9s is taken, the difference between 1 and .99999…becomes inconceivably small”）。[8]这种启发式的教学法，常常被学生们误解为0.999…本身就小於1。

以上的级数定义，是一个用小数展开式来定义实数的简单的方法。还有一种补充的方法，是相反的过程：对於一个给定的实数，定义一个相关的小数展开式。

如果知道一个实数x位於闭区间[0, 10]内（也就是说，这个实数大於或等於0，而小於或等於10），这时就可以想像把这个区间分成十个部分，只在终点处相重叠：[0, 1]、[1, 2]、[2, 3]，依此类推，直到[9, 10]。实数x一定是属於这十个区间的一个；如果它属於[2, 3]，这时就把数字“2”记录下来，并把这个区间再细分成十个子区间：[2, 2.1]、[2.1, 2.2]、…、[2.8, 2.9]、[2.9, 3]。把这个过程一直继续下去，这时便得到了一个无穷的区间套序列，由无穷个数字b0、b1、b2、b3、…来标示，并记

x = b0.b1b2b3…

在这种形式中，1 = 1.000…而且1 = 0.999…的事实，反映了1既位於[0, 1]，又位於[1, 2]，所以这时在寻找它的数字时，可以选择任意一个子区间。为了保证这种记法没有滥用“=”号，这时需要一种办法来为每一个小数重新构造一个唯一的实数。这可以用极限来实现，但是还有其它的方法。[9]

一个简单的选择，是区间套定理，它保证只要给出了一个长度趋近於零的闭区间套序列，那么这些区间套的交集就正好是一个实数。这样，b0.b1b2b3…便定义为包含在所有的区间[b0, b0 + 1]、[b0.b1, b0.b1 + 0.1]，依此类推的唯一的实数。而0.999…就是位於所有的区间[0, 1]、[0.9, 1]、[0.99, 1]、[0.99…9, 1]（对於任意有限个9）的唯一的实数。由於1是所有这些区间的公共元素，因此0.999… = 1。

区间套定理通常是建立在一个更加基本的实数特征之上的：最小上界的存在。为了直接利用这些事物，这时可以把b0.b1b2b3…定义为集合{b0，b0.b1，b0.b1b2，…}的最小上界。然后这时就可以证明，这种定义（或区间套的定义）与划分的过程是一致的，再一次证明了0.999… = 1。汤姆·阿波斯托尔得出结论：

“  一个实数可以有两种不同的小数表示法，仅仅是两个不同的实数集合可以有相同的最小上界的一个反映。
(The fact that a real number might have two different decimal representations is merely a reflection of the fact that two different sets of real numbers can have the same supremum.) 

有些方法用公理集合论明确把实数定义为一定的建立在有理数上的结构。自然数──0、1、2、3，依此类推──从零开始并继续增加，这样每一个自然数都有一个后继者。这时可以把自然数的概念延伸到负数，得出所有的整数，并可以进一步延伸到比例，得出所有的有理数。这些數系伴随着加法、减法、乘法和除法的算术。更加微妙地，它们还包括排序，这样一个数就可以与另一个进行比较，并发现是大於、小於，还是等於。

从有理数到实数的一步，是一个很大的延伸。至少有两种常见的方法来达到这一步，它们都在1872年出版：戴德金分割，以及柯西序列。直接用到这些结构的0.999… = 1的证明，现在已经无法在實分析的教科书中找到了；最近几个年代的趋势，是使用公理化的分析。即使提供了这样的一个结构，它也通常被用来证明实数的公理，从而为以上的证明提供证据。然而，有些作者表达了从一个结构开始才是逻辑上更恰当的想法，这样得出的证明就更加完备了。

在戴德金分割的方法中，每一个实数x定义为所有小於x的有理数所组成的无穷集合。[14]比如說，实数1就是所有小於1的有理数的集合。每一个正的小数展开式很容易决定了一个戴德金分割：小於某个展开阶段的有理数的集合。所以实数0.999…是有理数r的集合，使得r < 0，或r < 0.9，或r < 0.99，或r小於其它具有 形式的数。[16]0.999…的每一个元素都小於1，因此它是实数1的一个元素。反过来，1的一个元素是有理数 

另外一种构造实数的方法，间接地用到了有理数的排序。首先，有理数x和y之间的距离定义为绝对值|x − y|，其中绝对值|z|定义为z和−z的最大值，因此总是非负的。这样实数便被定义为关於这个距离的具有柯西序列性质的有理数序列。也就是说，每一个实数都是一个柯西收敛的数列（x0，x1，x2，…）。这是一个从自然数到有理数的映射，使得对於任何正有理数δ，总存在一个N，使得对於所有的m、n > N，都有|xm − xn| ≤ δ。（两项之间的距离变得比任何正的有理数都要小。）

如果（xn）和（yn）是两个柯西数列，那么如果数列（xn − yn）有极限0，这两个数列便定义为相等的。把小数b0.b1b2b3…拆开来，便得到了一个有理数序列，它是柯西序列；这个序列对应的实数被定义为这个小数的值。所以，在这种形式中，这时的任务就是要证明，有理数序列

有极限0。对於n = 0、1、2、…，考虑数列的第n项，这时需要证明

。

这个极限是众所周知的；[22]一个可能的证明，是在数列的极限的定义中，对于ε = a/b > 0，这时可以取N = b。所以，这又一次证明了0.999… = 1。

把实数定义为柯西序列，首先由爱德华·海涅和格奥尔格·康托尔独立发表，也是在1872年。[17]以上的小数展开式的方法，包括0.999… = 1的证明，则主要是得自格利菲斯（Griffiths）和希尔顿（Hilton）在1970年的作品《一本经典数学的综合教科书：一个当代的阐释》（A comprehensive textbook of classical mathematics: A contemporary interpretation）。这本书是特别为了以当代的眼光回顾一些熟悉的数学概念而作的。

0.999… = 1的证明，立刻可以进行两种推广。首先，对於每一个非零的有限小数（也就是说，从某一位开始全是零），都存在另外一个与其相等的数，从某一位开始全是9。例如，0.24999…等於0.25，就像这时考虑的特殊情况。这些数正好是十进分数，而且是稠密的。

其次，一个类似的定理可以应用到任何一个底数或进位制。例如，在二进制中，0.111…等於1；而在三进制中，0.222…等於1。實分析的教科书很有可能略过0.999…的特殊情况，而从一开始就介绍这两种推广的一种或两种。

1的其它表示法也出现在非整数进位制中。例如，在黄金进制中，两个标准的表示法就是1.000…和0.101010…，此外还有无穷多种含有相邻的1的表示法，如0.11，0.1011，0.101011等等。一般地，对於几乎所有的1和2之间的q，在q进制中都有无穷多种1的展开式。而另一方面，依然存在不可数个q（包括所有大於1的自然数），使得在q进制中只有一种1的展开式，除了显然的1.000…。这个结果首先由保罗·埃尔德什、Miklos Horváth和István Joó在大约1990年获得。1998年，Vilmos Komornik和Paola Loreti确定了具有这种性质的最小的进位制──Komornik-Loreti常数q = 1.787231650…。在这个进位制中，1 = 0.11010011001011010010110011010011…；其数字由图厄-摩斯数列给出，不是循环小数。

一个更加深远的推广，提到了最一般的进位制。在这些进位制中，一个数也有多种表示法，在某种意义上来说难度甚至更大。例如：

在平衡三进制系统中，1/2 = 0.111… = 1.111…。
在阶乘进位制系统中，1 = 1.000… = 0.1234…。

Marko Petkovšek证明了这种歧义是使用进位制的必然结果：对於任何一个把所有实数命名的系统，总有无穷多个实数有多种表示法，而这些实数所组成的集合又是稠密的。他把这个证明称为“一个基本点集拓扑学的指导性的练习”：它包含了把各位数的集合视为斯通空间，并注意到它们的实数表示法可以由连续函数给出。

0.999…的其中一个应用，出现在基本数论中。1802年，H·古得温出版了一份观察资料，描述了分母为一定的素数的分数的小数展开式中9的出现。例子包括：

1/7 = 0.142857142857…，而142 + 857 = 999。
1/73 = 0.0136986301369863…，而0136 + 9863 = 9999。

E·米迪在1836年证明了关於这类分数的一个一般的结果，现在称为米迪定理。当初出版时没有写得很清楚，这时也不知道他的证明是不是直接提到了0.999…，但至少有一个W·G·莱维特的现代证明是这样的。如果这时可以证明，一个具有形式0.b1b2b3…的小数是正整数，那么它就一定是0.999…，这也就是定理中9的来源。在这个方向上继续做研究，就可以得出诸如最大公因子、同余、费马素数、群元素的階，以及二次互反律等概念。

康托尔集合中1/4、2/3，和1的位置。

回到實分析的主题上，三进制中的类似等式0.222… = 1在刻划康托尔集合──一个最简单的碎形的特征中，扮演了一个十分重要的角色：

一个单位区间中的点位於康托尔集合内，当且仅当它在三进制中可以只用数字0和2来表示。

小数中的第n位反映了在第n个阶段时点的位置。例如，点²⁄3可以如常地表示为0.2或0.2000…，这是因为它位於第一个删除部分的右面，以及以后所有的删除部分的左面。点1⁄3则不表示为0.1，而表示为0.0222…，这是因为它位於第一个删除部分的左面，以及以后所有的删除部分的右面。重复的9还出现在另外一个康托尔的研究成果中。在应用他在1891年发表的对角线论证法来证明单位区间的不可数性时，必须要考虑到这种因素。这种证明需要根据小数展开式来断言两个实数是不同的，所以这时需要避免诸如0.2和0.1999…之类的数对。一个简单的方法把所有的实数表示为无限小数；相反的方法便排除了重复的9的可能性。一个可能更加接近於康托尔原先的证明的变体，实际上使用了二进制，把三进制展开式转换为二进制展开式，这时也可以证明康托尔集合的不可数性。

教育中遇到的怀疑

許多学习数学的学生往往懷疑、難以接受0.999… = 1的等式，其原因有很多，从根本不相同的外观，到对数列极限概念的深度疑虑，乃至对無限（無窮）的本性的异议，以及不少對數學錯誤的觀念等背後的因素，從而造成了这种混淆；

学生根据以往学习数的大小比较时使用“高位比较，相同再比次高位”的方式，个位 

在大众文化中

随着互联网的崛起，关於0.999…的讨论已经冲出了教室，并走向了新闻组和信息版，包括那些名义上几乎与数学无关的信息版。在新闻组sci.math中，辩论0.999…是一项“受欢迎的运动”，也是常见问答集之一。[43]常见问答集涵盖了1⁄3、乘以10、还有极限的证明，也间接地提到了柯西序列。

一个2003年版的报纸专栏《真实讯息》通过1⁄3和极限讨论了0.999…，并谈到了误解：

“  我们当中的低级灵长类动物仍然在抗拒，说：0.999…其实不是表示一个数，而是表示一个过程。我们必须把那个过程停止下来，来寻找那个数，这样0.999… = 1的等式便土崩瓦解了。真是一派胡言。
（The lower primate in us still resists, saying: .999~ doesn't really represent a number, then, but a process. To find a number we have to halt the process, at which point the .999~ = 1 thing falls apart. Nonsense.）[44]  ”  

（页面存档备份，存于互联网档案馆）

《真实讯息》在自己的信息版引用了另外一个不明的信息版中的讨论，那个信息版“大部分是关於电子游戏的”。0.999…的问题在暴雪娱乐的Battle.net论坛的头七年也是一个非常受欢迎的话题，以致於该公司在2004年的愚人节不得不发布了一则“新闻”，声明0.999…就是1：

“  我们对永远停止对这件事的讨论感到十分激动。我们亲眼目睹了对0.999…是否等於1的痛心和关心，并对以下的证明最终为我们的顾客解决了问题感到十分自豪。
（We are very excited to close the book on this subject once and for all. We've witnessed the heartache and concern over whether .999~ does or does not equal 1, and we're proud that the following proof finally and conclusively addresses the issue for our customers.）[45]  ”  

然后便提供了两个证明，一个是极限的证明，另一个是乘以10的证明。

比較直觀的解釋，可以把一塊圓餅平均切3分來證明。

其它數系

虽然实数形成了一个非常有用的數系，把“0.999…”解释为一个实数的决定毕竟还是一个约定，蒂莫西·高尔斯在《Mathematics: A Very Short Introduction》（《数学：一个非常简短的介绍》）中提到，0.999… = 1的等式也是一个约定：

“  然而，这个约定决不是随意取的，因为如果不采用这种數系，我们就被迫得要么发明一些新奇的东西，要么抛弃大家熟悉的算术规则。（However, it is by no means an arbitrary convention, because not adopting it forces one either to invent strange new objects or to abandon some of the familiar rules of arithmetic.）[46]  ”  

这时可以用不同的规则或新的事物来定义其它數系；在數系中，以上的证明便需要重新解释。这时就有可能发现，在某一个给定的數系中，0.999…和1并不一定就是相等的。然而，许多數系都是实数系的延伸，而不是独立的替代物，所以0.999… = 1仍然成立。就算是在这數系中，这时依然值得去检查其它的數系，不仅仅为了知道0.999…是怎样表现的（如果“0.999…”既有意义又不含糊），也为了知道相关现象的表现。如果这种现象与实数系统中的现象不一致的话，那么至少一个建立在这个系统中的假设便一定不成立了。