三角恒等式[编辑]

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不同的三角函数之间有很多对任意的角度取值都成立的等式，称为三角恒等式。最著名的是毕达哥拉斯恒等式，它说明对于任何角，正弦的平方加上余弦的平方必定会是1[1]。这能从斜边为1的直角三角形应用毕氏定理来得出。利用符号形式表示的话，毕达哥拉斯恒等式为

因此可以推导出

另一个关键联系是和差公式，它能根据两个角度自身的正弦和余弦而给出它们的和与差的正弦和余弦[1]。它们可以利用几何的方法使用托勒密的论证方法来推导出来；还可以利用代数方法使用欧拉公式来检定[注 2]。

当两角相同，和角公式简化为更简单的等式，称为二倍角公式（或倍角公式）：

这些等式还可以用来推导积化和差恒等式[10]，以前曾经利用它把两数的积转换成两数的和而像对数那样使运算更快。（用制好的三角函数表）

还有半角公式：

微积分[编辑]

三角函数的积分和导数可参见导数表、积分表和三角函数积分表。以下是六种基本三角函数的导数和积分。

分析学定义[编辑]

级数定义[编辑]

在几何学中，三角函数的定义建立在几何直观上，只用几何和极限的性质就可以直接得知正弦和余弦的导数。在分析学中，三角函数是解析函数，数学家利用泰勒级数给出了不依赖几何直观的代数定义[11]：

可以证明以上的无穷级数对任意实数都是收敛的，所以很好地定义了正弦和余弦函数。

三角函数的级数定义经常用作严格处理三角函数和起点应用（比如，在傅立叶级数中），因为无穷级数的理论可以从实数系的基础发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。

其他三角函数的级数定义：[12]

这些定义也可以看作是每个三角函数作为实函数的泰勒级数。从复分析的一条定理得出，这实函数到复数有唯一的解析扩展。它们有同样的泰勒级数，复数的三角函数是使用上述级数来定义。

与指数函数和复数的关系[编辑]

可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分：

欧拉首先注意到这关系式，因此叫做欧拉公式[13]。从中可推出，对实数x，

进一步还可定义对复自变量z的三角函数：

（其中、、为双曲函数，其马劳克林级数与对应的三角函数很类似，只差在正负号）