三角恆等式[編輯]

主條目：三角恆等式

不同的三角函數之間有很多對任意的角度取值都成立的等式，稱為三角恆等式。最著名的是畢達哥拉斯恆等式，它說明對於任何角，正弦的平方加上餘弦的平方必定會是1[1]。這能從斜邊為1的直角三角形應用畢氏定理來得出。利用符號形式表示的話，畢達哥拉斯恆等式為

因此可以推導出

另一個關鍵聯繫是和差公式，它能根據兩個角度自身的正弦和餘弦而給出它們的和與差的正弦和餘弦[1]。它們可以利用幾何的方法使用托勒密的論證方法來推導出來；還可以利用代數方法使用歐拉公式來檢定[註 2]。

當兩角相同，和角公式簡化為更簡單的等式，稱為二倍角公式（或倍角公式）：

這些等式還可以用來推導積化和差恆等式[10]，以前曾經利用它把兩數的積轉換成兩數的和而像對數那樣使運算更快。（用制好的三角函數表）

還有半角公式：

微積分[編輯]

三角函數的積分和導數可參見導數表、積分表和三角函數積分表。以下是六種基本三角函數的導數和積分。

分析學定義[編輯]

級數定義[編輯]

在幾何學中，三角函數的定義建立在幾何直觀上，只用幾何和極限的性質就可以直接得知正弦和餘弦的導數。在分析學中，三角函數是解析函數，數學家利用泰勒級數給出了不依賴幾何直觀的代數定義[11]：

可以證明以上的無窮級數對任意實數都是收斂的，所以很好地定義了正弦和餘弦函數。

三角函數的級數定義經常用作嚴格處理三角函數和起點應用（比如，在傅立葉級數中），因為無窮級數的理論可以從實數系的基礎發展而來，不需要任何幾何方面的考慮。這樣，這些函數的可微性和連續性便可以單獨從級數定義來確立。

其他三角函數的級數定義：[12]

這些定義也可以看作是每個三角函數作為實函數的泰勒級數。從複分析的一條定理得出，這實函數到複數有唯一的解析擴展。它們有同樣的泰勒級數，複數的三角函數是使用上述級數來定義。

與指數函數和複數的關系[編輯]

可以從上述的級數定義證明正弦和餘弦函數分別是複指數函數在它的自變數為純虛數時候的虛數和實數部分：

歐拉首先注意到這關係式，因此叫做歐拉公式[13]。從中可推出，對實數x，

進一步還可定義對複自變數z的三角函數：

（其中、、為雙曲函數，其馬勞克林級數與對應的三角函數很類似，只差在正負號）