0.999…是书写于小数记数系统中的一个数，读作：“零点九，九循环”。一些最简单的0.999… = 1 的证明都依赖于这个系统方便的算术性质。大多数的小数算术──加法、减法、乘法、除法，以及大小的比较，使用与整数差不多的数位层次的操作。与整数一样，任何两个有限小数只要数位不同，那么数值也一定不同。相对的，任何一个形如0.99…9的数，但是9的数量有限，则这个数字是小于1的。
这类展开式的非唯一性不仅限于十进制系统，相同的现象也出现在其它的整数进位制中。数学家们也列举出了一些1在非整数进位制中的写法，这种现象也不是仅仅限于1的：对于每一个非零的有限小数，都存在另一种含有无穷多个9的写法，由于简便的原因，这时几乎肯定使用有限小数的写法，这样就更加使人们误以为没有其它写法了，实际上，一旦在完备实数系中允许使用无限小数，那么在所有的进位制中都有无穷多种替代的写法，例如，18.3287与18.3286999…、18.3287000…，以及许多其它的写法，都表示相同的数，这些各种各样的等式被用来更好地理解分数的小数展开式的规律，以及一个简单分形图形──康托尔集合的结构，它们也出现在一个对整个实数的无穷集合的经典研究之中。
在过去数十年里，许多数学教育的研究人员研究了大众及学生们对该等式的接受程度，许多学生在学习开始时怀疑甚至拒绝该等式，但许多学生被老师、教科书和如下章节的算术推论说服并接受两者是相等的。尽管如此，许多人们仍常感到怀疑，及提出进一步的辩解，这经常是由于存在不少对数学实数的错误观念等背后因素（参见以下教育中遇到的怀疑一章节），例如认为每一个实数都有唯一的一个小数展开式，以及认为无限小（无穷小）不等于0，并且将0.999…视为一个不定值，即该值只是一直微微扩张变大，因此与1的差永远是无限小而不是0，因此“永远都差一点”。可以构造出符合这些直观的数系，但这个观念只能用于初等数学或多数更高等数学中的标准实数系统之外进行，的确，某些设计含有“恰恰小于1”的数，不过，这些数一般与0.999…无关（因为与之相关的理论上和实践上都皆无实质用途），但在数学分析中引起了相当大的关注。
误解0.999…中的省略号的意义，是误解0.999…= 1的其中一个原因。这里省略号的用法与日常语言中0.99…9的用法是不同的，0.99…9中的省略号意味着的有限的部分被省略掉了。但是，当用来表示一个循环小数的时候，"…"则意味着无限的部分被省略掉了，这只能用极限的数学概念来阐释。作为使用传统数学的结果，指派给记数表示式“0.999…”的值定义为一个实数，该实数为收敛数列（0.9，0.99，0.999，0.9999，0.99999，…）的极限。“0.999…”是一个数列的极限，从而，对于0.999…= 1这个等式就很直观了。
与整数和有限小数的情况不一样，其实记数法也可以用多种方式表示单一个数值。例如，如果使用分数，
。但是，一个数最多只能用两种无限小数的方法来表示。如果有两种方法，那么其中一种一定是从某一位开始全是循环重复的9，而另外一种则是从某一位开始就全是循环重复的0。
0.999… = 1 有许多证明，它们各有不同的严谨性，一个严谨的证明可以简单地说明：考虑到两个实数其实是同一个的，当且仅当它们的差等于零。大部分人都同意；0.999…与 1 的差，就算存在也是非常的小(实际上根本不存在，即差等于0)。考虑到以上的收敛数列，这时可以证明这个差的大小一定是小于任何一个正数的，也可以证明（详细内容参见阿基米德性质），唯一具有这个性质的实数是0。由于差是0，可知 1 和 0.999…是同一数，用相同的理由，也可以解释为什么“0.333…=1/3”；以及该等式乘上3倍后可得出“0.999… = 1”。
一个立体化的0.999…文本。
、
或是
，是一个具有特殊意义的无限循环小数，由小数点后无限的 9 序列组成。在数学的完备实数系中，“0.999…”所表示的数与“1”相同。换句话说，“0.999...”不是“几乎完全”或“非常、非常接近但不完全”等于1；相反，“0.999...”和“1”正好代表相同的数字。
的简单整数，长除法后变成了一个循环小数0.333…，其中有无穷多个数字3。利用这个小数，很快就能得到一个 0.999… = 1 的证明。用 3 乘以 0.333… 中的每一个 3，便得到 9，所以 3 × 0.333… 等于 0.999…。由于 
等于1，所以 0.999… = 1。
同乘以9。
，且
。所以0.999…= 1。
。
0.(9)=1的解释
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