综述：经典力学又叫经典运动力学，是以牛顿定律为基础来研究相对运动及运动改变的原因的物理学分支。
其他相关力学分支参见2楼链接。


基本概念：
【时间】
古典时间观念：时间是用于描述 事件发生的先后顺序 和 物质变化的连续性 的标度
我们通常所说的时间一词指包括所有可能存在的时刻，是由所有可能存在的时刻组成的整体（数学上的一个集），这是时间这个词的主义
此外，时间一词通常可能还指代下述三个具体概念：


1----时刻（时序标）：
用于描述事件发生的先后顺序，忽略连续性成分，在有必要考虑其连续性成分时，通常被视为”瞬间“，在将时间视为一维单向轴概念时，时刻被视为时间轴上的一点
时刻的相对性：
计时器何时开始计时，计时器的走率快慢都会影响测量者对时刻的计数（测量）
例如：每个人的手表未必与国家标准计时钟表完全一致，但我们说即使如此，每个人用自己的钟表测量时刻，并将其作为参考数据代入相关物理问题，都不会影响问题最终结果的正确性，具体原因参见与时刻的相关物理定律


2----时间差：
任意两个时刻之间的差值，通常用时序上偏后的时刻减去时序上偏前的时刻得到这个概念，而不是反过来减
请注意，这个概念是个纯数学概念，并不具有实际的物理意义，因为它并不限定两个时刻必须是同一观察者测量的，也不限定两个时刻必须是在同一地点测量的，而当我们对运动力学稍有了解之后你会发现，这两个具体要求其实非常重要，它们将导引出下面一个重要概念：


3----时段：
时段是一种时间差，但它不是任意的时间差，它有如下严格的要求：
同一位观测者，在同一地点所测量得到的两个时刻相减所得到的时间差（当然是按照时间差的定义，用时序上靠后的时刻减去时序上靠前的时刻得到的差值），叫做时段
时段用于描述被观察者观测的物质状态变化过程的持续性，而不符合时段定义的那些任意的时间差都不能用于描述物质变化的连续性




上述三个概念为 时间 的歧义，加上时间的主义，时间一词共计四个含义，在物理学书籍中通常都称为时间，请注意根据语境自行区分

在中文物理书籍中，
时刻有时被称作瞬时，这两种叫法是同义的
时间差又是被叫做时长，这两种叫法也是同义的
时段通常没有另外的叫法，但很多时候会直接被称为时间差或者时长，在不会对问题思考造成严重错误的条件下，我们默认这种称呼是合适的，但从严格意义上来说这种叫法是错的，尤其在相对论问题中


时间的测量定义（也叫物理定义）：
要定义时间的几个概念，先要定义 钟 的概念：
假定可以找到某种可以自发重复发生的物理变化过程，该种过程满足条件：
1----每一次该种物理变化都能够找到明确的变化起点事件和变化终点事件
2----同一次该种物理变化的变化起点事件和变化终点事件之间有持续性
3----每一次该种物理变化的变化起点与其前一次该种物理变化的变化终点间没有持续性（或称之为在时序上重合）
4----不同次的该种物理变化所对应的连续性都相同
5----该物理变化是不可逆的
则可以认为我们找到的这种能自发重复发生的物理变化具有”周期性“或”均匀性“
满足这种要求的可自行重复发生的物理变化过程，即可被视为一个”钟表（简称钟）“过程
下面我们定义时间的三个具体概念：

时刻：
钟过程的每一次重复发生的起点事件就是上一次过程的结束事件，因此我们把每一次钟过程的起点事件用实数来标定为一个时刻，并用实数的大小关系来表示各次钟过程的起点之间的时序先后关系
通常我们认为时刻不具有持续性，因为它所对应的钟过程的起点事件是被视为没有持续性的，因此才可以在数学上对应于一个确定实数单值

时间差：
时序靠后的时刻值减去时序靠前的时刻值得到的数学差值
在很多情况下，所谓时序靠后指的是时刻对应的实数值较大，很多时候而并不是真的考虑具体时序关系，因为不同参照系的时刻之间不一定能很轻易确定时序先后，而同一观察者在不同地点测量的两个时刻之间未必描述同一个物理过程，但是物理学中仍然要求尽可能地在确定了时序先后顺序之后才去做差

时段：
同一观察者在同一地点测量的两个时刻，按照时间差定义相减得到的数学差值

【空间】
古典释义：容纳物质存在的范围称为空间


这个古典释义并不能够在物理中准确应用，因为我们目前尚不清楚某些物质属性确实是独立的物质属性，还是我们观测<高维空间结构在我们三维空间中的投影>时获得的观测效应
直白一些来说，我们不知道是否真的存在更高维的空间结构，所以空间这个词是否仅限于指代三维空间，还是一个有争议的问题
但在现代理论物理学中，物理学家倾向于认为高维空间结构存在，而很多物理属性实际上是我们观测<高维空间结构在我们三维空间中的投影>时获得的观测效应，因此在诸如弦论之类的物理学专著中，空间一词可以涵盖超过三维空间的领域


尽管空间这个概念并不是一个准确的概念，但并不影响我们用测量手段给出与之相关的一系列物理概念的准确定义：


【尺】
在讨论时间的时候，我们定义了时间测量工具”钟“的概念，在这里的”尺“显然是空间测量工具的概念（之一）
首先，尺也具有确定方向性
在数学上，连续曲线（一维）通常指光滑连续的曲线，我们可以对曲线规定出它的自然坐标系：
即给曲线上每一点指定一个实数值，并要求所有点的实数标度（坐标）应该是按照实数大小顺序递增排列，形成曲线上的自然坐标系，并以此给出曲线的坐标递增方向
尺上的方向概念类似曲线上方向的定义，尺也具有类似曲线的自然坐标系，所以尺上也有坐标


其次，尺也具有容纳的属性

容纳属性通常在理论意义上被称之为”连续性对坐标变量可求导“。这个解释起来稍微有点麻烦：
数学上的连续曲线，并不都指光滑连续曲线（一维），还有分形曲线（非一维曲线，例如某些看似噪波的具有无穷精细结构的曲线）的存在，分形曲线也属于连续曲线
但是光滑连续曲线的连续性（这里我们还没有给出长度的概念，所以还得说连续性，其实这里隐含了长度概念）在数学上是能够对坐标求导数的（准确说是长度能对坐标求导）
而分形曲线则不一定都能满足：其连续性（长度）能对任意一点坐标求导，甚至它们的长度定义也不那么简单
因此我们要求我们的尺必须是一维连续曲线型的，即”连续性对坐标变量可求导“的
其实当我们在后面介绍了长度定义之后，各位会更直观地明白：
要求尺能够满足”连续性对坐标变量可求导“，其实就是为了能在尺上定义长度
当我们的尺满足了”连续性对坐标变量可求导“这个要求，我们可以对尺取任意两段，即找至少个4坐标点a,b,c,d（我们假定三点坐标递增a<b<c<d），它们沿着尺的坐标增大方向可以形成两个坐标差b-a和d-c（大值的坐标减去小值的坐标）
当我们把b-a平移到d-c的位置去，我们的尺应该满足如下条件：
如果在数学上b-a=d-c
那么我们在尺上所做的平移应该导致原来的a点移动到c点，即a和c重合；且同时有另一结果：
原来的b点移动到d点，即b和d重合
简单来说就是数学上相等的差值对应尺上坐标之间的尺的部分的空间容积相等
我们要求对任意坐标a<b<c<d，在b-a=d-c时，我们的尺都一定满足平移b-a到d-c之后，a和c重合，且b和d重合
这样的一件一维测量工具，就叫 尺，它满足”标量平移不变性（就是我们上面要求的平移后一维容积相等）“


最后要说的是，别忘了尺可能有形状，我们也没有定义一定必须是直尺（这个观点在相对论这类非欧几何时空理论中尤为重要），尺对应的曲线也可能会与自身相交（形成某种循环结构），原则上来说，上面对于尺的定义有一定通用性，当然在具体问题中可能还要有修正（我们在这里就不涉及修正的问题了），但我们要清楚的是，上述定义暗含了一个条件：
尺可以在平移过程中改变形状，以保证尺上的点与被测一维空间部分的端点重合
我们的尺能够在任意变形的情况下依旧满足”标量平移不变性“，这是尺的实质特征


【长度】
长度一词专指空间长度，而在时间概念中有时长的说法，长度是物理学上对于一维空间部分的容量的描述，而实际上它也暗含了空间连续性（这个是通过尺的数学可导性暗含的，我们不重复说了）
在我们上述定义的尺的概念之下，如果我们用平移这把尺，使被测量的一维空间部分的至少2个端点与尺上两点分别重合（注意我们的尺可以任意变形来适应被测一维空间部分的形状），那么尺上这两点的坐标（每点一个，共计两个坐标）就可以按照其坐标值，大值坐标减去小值坐标得到一个数学差值，这个差值一定不是负数，它称为长度


由于尺实际上是可以任意变形的，所以我们所说的长度当然包括直线和曲线长度

【角度】

通常我们这里指的是二维空间的角度，但很多时候它也会被扩展到三维空间中去使用，比如数学中的空间曲线夹角或者曲面夹角（实质上都是二维空间的角度）
定义这个概念之前，我们有必要谈一谈二维空间（我们不涉及更高维数，而且我们要提醒大家的是，我们下面的讨论最多能够适用到三维空间，四维空间或更高维空间，已经不能凭直观来想象）


一个二维空间，数学上的抽象定义是空间中每一个容量为0的结构（我们不直接说是点，因为可能导致其他问题，例如点的邻域的连续性问题，我们不想讨论那么多太复杂的与本部分主题无关的东西），可以用两个坐标来定位


例如图中曲面上任意一点可以用经向坐标（通过该点的抛物线上的自然坐标系中的坐标）和纬向坐标（通过该点的圆线上的自然坐标系中的坐标）这两个坐标来定位

但是我们很容易想到一个问题，经纬向的自然坐标系都是一维坐标系，它们要组成一个二维坐标系，必然要有一套组成规则
如果你想到了这个问题，那么就表明你触及到我们问题的核心了：
一个二维结构绝不是一系列一维结构的随意组合，二维结构之所以不再是一维结构，就是因为它上面存在了新的空间结构规则
所以我们讨论二维空间中的位置关系的时候，不仅要讨论长度（距离），通常还要讨论角度，因为角度是用来描述一维空间结构如何组成二维空间结构的规则用到的概念


物理学中的二维角度定义，与几何中二维角度定义一致，当两条曲线相交时，我们取它们交点附近的两条曲线的尽可能小部分（都要包括交点在内），将所取的两部分（每条曲线取一部分）近似看作直线，这样确定了一个非常微小的平面结构，在这个平面结构中去根据根据平直空间结构下定义的角度概念来定义两条直线之间的夹角


所以最终我们还是要定义平直空间中的两直线夹角


说到平直空间，很多人认为首先是一维平直空间的概念，即直线的概念，实际上我们并不能孤立定义一条直线，因为直这个概念本身由角度来定义，在我们没有定义角度前，扯直线的概念就等于是循环定义（角度由直线定义，直线又由角度定义，实际上两者都是架空的定义）
所以我们首先讨论的是面结构（未必是平面，因为你还没定义角度，平面的平也是靠角度定义的，但是曲面不需要依靠角度来定义，所以说曲面更具有一般性）
我们还要强调的是我们这里谈论的曲面都是光滑曲面，它不仅由光滑曲线构成，而且所有构成它的光滑曲线之间的组织方式也是光滑的（这不是数学语言，数学语言会涉及到各种可导性，还会考虑到那些分形曲线和分型面结构，那对我们来说太复杂，而且和本主题没多大关系，所以我们用一种不太专业但比较直观的说法来描述这个问题）
当我们随意取曲面上任意小的一个部分，这个小曲面内肯定包含了两条小的相交曲线，它们只有一个交点（如果不止一个，那说明我们取的小曲面还不够微小，还要更小，直到只剩下一个交点）
在这种条件下，我们要求所取的”小曲面“满足：
所有通过这两条小曲线的那个交点的小曲线之间都不再有另外的交点
通过这个共同交点的所有小曲线形成一个曲线族，我们将它们称为经向曲线族，我们可以将它们共同的交点定义为原点，其经向坐标为0，即所有小曲线上的一维自然坐标系都把这一点作为0坐标点重新规划坐标系，而且我们知道原点把每一条经向曲线分为两部分，一部分的坐标沿着曲线正向增大，一部分的坐标沿着曲线负向减小

把一个我们选好的小曲面部分放大后的样子，红线和蓝线为我们最先选取的那两条线，黑线是和它们通过同一交点的曲线族（的几个代表成员）



然后我们以那个交点为中心，画一个任意的圈（形状可以不规则，但仍然必须是光滑曲线，既然说它是圈，那就必须是条封闭曲线），并保证它绝对不通过那个交点：

类似地我们还可以画更多的圈，并且加一条要求：
所有的圈之间都没有交点

假定我们画了无数个圈，它们可以称之为同心圈族，也是一个曲线族，我们把它们称为纬向曲线族，然后我们给出一个新规定来调整纬向曲线族：
同一条纬向曲线圈与所有经向曲线有且只有一个交点，这一系列交点与经向曲线族的原点（也就是纬向曲线族的共同的中心）之间的长度都相等（请注意这里用到了前面说的曲线长度的概念）


这样我们重新做一些规定：
1-----同一条纬向曲线圈上所有的点的纬向坐标（红）都相等
2-----同一条经向曲线上所有的点的经向坐标（蓝）都相等
最后就是这个样子：

原点的经向坐标是任意的，但纬向坐标是0（确定的）
这个类似我们地球仪上的经纬网络，经纬网络就是用经纬两个曲线族来规划球面的二维坐标系，只不过坐标的数值设定和我们这里不同


【注】别看我图中画的纬线圈全是椭圆，实际上可能是不规则的光滑封闭曲线形状，别忘了我们是在曲面上说事，我们的曲面可能各种凹凸不平，我画成椭圆只是为了画着省事

另外，原则上来说，当我们选取的小曲面足够小时，它已经近似为平面了，但是我们为了让大家时刻记得我们是在曲面上说事，所以我画的还是曲面（有些夸张）

现在我们要定义 类似平移 和 局域平面 的概念：
当我们在之前取的那个小曲面上建立了一个经纬坐标系之后，我们尝试在这个小曲面上移动这个经纬坐标系，即保持它的面结构（我们之前总结的两条规定）关系不变来移动整个经纬坐标系
移动后的小曲面上新旧坐标系位置我们用不同颜色标出（红新蓝旧）：

如果我们所作的移动能够保证任意同一条经向曲线（纬向曲线我们不在乎）在新旧坐标系位置上的两个”分身“没有任何交点（在我们的小区面区域内），我们称这个移动叫 类似平移（物理中的平移都是类似平移，而不是数学中严格定义的平移）
如果我们把旧坐标系移动到小曲面内任意的位置时，都能找到至少一种 类似平移 的移动方式使新旧坐标系中同一经向曲线的两个分身没有任何交点（但不表示所有新坐标系中的同一条曲线的诸多分身之间没有交点，因为有时候为了达到无交点的目的我们会对坐标系进行转动，当然我们现在没有定义角度，还不能用到转动这个概念，但是你心里可以大概有数，转动的情况可能存在），我们称这个小曲面是个局域平面


实际上在物理中，我们通常谈到的平面，都是局域平面，我们不需要去研究数学中严格定义的真正的平面，局域平面对物理中的空间问题来说已经足够用了


我们之所以要谈经纬坐标系和类似平移、局域平面这些概念，是因为我们的主题”角度“需要这些概念来支撑，现在万事俱备，我们进入正题：


假定现在有两条相交曲线（注意不是我们前面说的微小曲线，是真正的大曲线）：

它们有一个交点，我们想要知道交点附近的平面空间结构的情况，并以此来描述两条曲线之间的位置关系（实际上是定义夹角）
那么我们在交点处选择一个尽可能小的小曲面，我们可以无限缩小选取范围，使得选取的小曲面无限近似是一个局域平面（移动它内部一个任意的经纬坐标系到它内部任意位置，新旧坐标系中同一条经线都没有任何交点），并且我们以那个交点为原点建立一个经纬坐标系（要包括这两条曲线在小区面内的部分也作为经线）

我们定义：由原点某一侧红线为起始，其经向坐标为0，任找一条纬线圈，与该经线相交的点为起点（其经坐标当然是0），令纬线圈总长度为2π来标定纬线圈的一维纬向坐标系（经坐标系），按图中方向（逆时针）令经坐标递增

过这条纬线圈上任意一点都一定有且只有一条经线，该经线的经坐标就是纬线圈的自然坐标系中该交点的坐标
实际上纬线上有无数点对应于0~2π之间的所有实数坐标，因此就可以有无数条经线分别于每一点处于纬线相交
则我们可以得出，按照逆时针方向来看，经线的经坐标在递增，直到回到0经线为止（0经线即2π经线）


由此我们可以在经纬坐标系中找到最初蓝线对应的经坐标9π/16：

实际上，由于蓝线是曲线，而且当我们选取不同大小的纬线圈时，会与蓝线有不同交点，按同样规则来定义经纬坐标，小的纬线圈与蓝线交点对应的经坐标可能与大的纬线圈不同

数学上通常规定：当选取的纬线圈越来越小不断趋近于经纬坐标系原点时，按照上述方法给蓝线找到的一个经坐标，在数学上会有一个极限值，这个极限值叫做”红线到蓝线的转角“
它就是我们常说的两条曲线之间的夹角的概念（与数学上用直线定义的夹角概念等价，但我们介绍的这种定义方法可以回避掉直线、平面等概念，因为我们不想花篇幅定义这些无关的概念）
【注】经纬坐标系的定义过程其实类似于我们建立一个量角器你懂的

题外话：
我们为什么要说类似平移，而不直接说平移，因为我们在曲面内移动坐标系，意味着坐标系不能跑到曲面以外的三维空间去，换而言之，被移动的坐标系是会自动变形适应曲面的，只是保持坐标系的那两条规定不变，因此，这种移动可能不是真正的平移（保持坐标系各部分形状不变）
而满足局域平面要求的小曲面也未必就是真的平面，比如说我们可以把一张世界地图上的南极部分绘制在一个平面上，也可以绘制在球面上，都不影响地图的经纬坐标系结构，而我们很清楚这个地图显然允许我们随意移动经纬坐标系，保证经纬坐标系中同一条经线的新旧位置残影之间”平行“，这个结论我们可以轻易从平面上绘制的南极地图看出，它也同样在球面南极地图内成立
因此事实上我们单凭这种平移限定是无法绝对确定一张曲面是否是平面的


因此很多时候我们会怀疑，我们的三维世界是不是真正的平直三维空间，是否只是某种类似平直的三维空间，实际上只是更高维空间的一部分？
这个问题目前尚无答案，因为从整个宇宙的角度来看，我们周围的空间就相当于一个局域的平直空间，它只能反映它附近的空间特性，而不能反映广大空间的整体性质


所以我们说物理学中的平移都是指类似平移，而物理学中的平面都是指局域平面
类似地，直线也只是局域直线，三维立体也只是局域的平直立体空间


局域性是物理学中一个很深刻的主题，我们这里只是稍带提到它，说实话这只是冰山一角

待续

【物体长度】
提到物体的长度，我们回顾一下前述的空间长度（距离）的概念：
在空间长度（距离）概念中，我们定义的尺是会适应空间本身的弯曲形状而变形的，例如一维尺可以在测量一维空间容量时，随着一维空间（一维曲线）的形状弯曲，因为尺就在这个空间内
但是当我们用尺去测量空间内的其他物体的时候，这就不是测量空间本身的容量了，尺是不会适应被测量物体的形状而变形的，因为尺独立于被测物体之外


例如我们测量一条曲线段的长度，我们定义这条曲线段的长度是当我们把它拉直之后，用直尺去测量它两端坐标之间的坐标差得到的长度，尺不会改变自身去适应曲线段，而曲线段要做形变（哪怕只是理论上想象的形变，即用相关数学手段去获取它被拉直的效果，参见微积分学中的曲线长公式）


我们这里不会给出曲线长公式，我们只说说为什么一个弯曲的曲线比直线要长，顺便说说这个定理为什么并不绝对成立


我们还是要具体说物体长度的测量，即我们是怎样把一个弯曲物体拉直的
当我们默认测量者所在的空间为平直空间时，我们可以用勾股定理来很方便地说明曲线为何比直线长：

图中的红横线对应红圆的半径，蓝斜线对应蓝圆的半径，我们知道圆越大对应它的半径越长，所以蓝线必然比红线长
而之所以如此，是因为根据蓝线长度公式：
蓝线长度=√（红线长²+黑线长²）
虽然黑线并不在蓝线方向上，但黑色竖线对蓝线长度有正值贡献


而我们随便看一条曲线，它可以近似为折线：

绿线和粉线的长度都是一样的，但蓝线都比对应的红线多了灰线的贡献（类似前面勾股定理的例子），所以蓝线都比红线长，因此折线总长比横直线要长，我们看到曲线的长度和折线很接近，因此可以很容易看出曲线要比横直线长


在数学分支---解析几何中，只要将曲线分割成做够多的足够小的部分，就可以把这些小部分近似成小折线（或者说是曲线各点处的一个微小的切线段），用曲线函数分别计算它们的斜率（即小折线位置处曲线函数对横坐标的导数，对应于小斜线横纵长度分量之间的比值），就能用勾股定理计算每一小段的长度，然后把所有微小的斜线长度相加得到整条曲线的长度，这是一个积分（积分就是对无数个微小单元的值求和，它相当于一个求和运算，只不过它的加数是无穷多个，所以它是个数学极限）


我们上面一段话其实已经给出了曲线长公式的推导思路，不过我们不想就这个话题说更多，有兴趣的朋友可以自己去查资料






当一个物理问题摆在我们面前时，我们如何去判断它要研究的是空间长度（距离）还是物体长度呢？
正如我们前面说的，当测量者本身处于被测物限定之下，例如我们被空间所容纳，我们的尺也被空间所限制，这时我们的尺如果以空间本身的两点间部分作为测量对象，那就是测量距离，尺要随着空间本身的弯曲形态变形
如果被测物体并不能影响观察者和他所用的尺，那么这时测量的就是物体的长度，尺还是随着空间本身的弯曲形态变形，而并不随着被测物体的弯曲形状变形
在经典力学中，这个区分并不重要，因为经典力学认定空间是平直的
在相对论中则认为空间会发生弯曲（有时间分量上的贡献），因此做上述概念区分尤其显得重要

【位矢（位置矢量）】
物理学中研究时间时通常忽略时间的方向，把时间视为一个标量（只有大小），因为我们默认时间的方向是单一不可逆的（这个目前为止还没有发现反例）
物理学中的 位置 这一概念，则通常是个矢量（有大小又有方向的量），因为物理问题中空间方向至少为两个（一维情况下），方向这个因素不能省略
举一个最直观的例子：
已知有一条走廊，维德的房门在走廊正中间，维德现在站在走廊中，他的位置就可以用一个矢量表示，即从维德的房门指向维德的一个矢量（方向），大小是房门到维德的长度（距离）
如果我们考虑更复杂的情况，例如地球上的一个卫星监测站正在监控绕地轴飞行的某一处于赤道平面上的卫星，那么卫星的位置就是：

从监测站指向卫星的一个矢量，大小是此时监测站到卫星的距离，很方便吧


位矢的概念的最大优点并不只是用起来方便
我们看下图：对于相同的一个位矢来说，无论我们以它的起点为原点规定何种坐标系统，这个位矢本身永远是不变的，因此在物理中只要用位矢来确定位置，就可以在研究问题时完全不考虑坐标系环境，这会大大简化问题的处理

因此，在物理学（尤其是理论物理）中，只要谈到 位置 这个概念，通常说的就是位矢（位置矢量）
另外，矢量具有一个特点，它满足平移不变性，即对这个矢量进行任意平移操作，矢量的大小和方向都不变（也就是矢量不变）
因此在研究物理问题时，可以通过平移矢量很方便地比较两个矢量之间的大小关系和方向关系，位矢同样可以用这种手段进行比较

【轨迹方程（轨道方程）】
试想把一个运动物体在每一时刻的位置点都画在同一张图中，一定可以形成一条运动曲线，物理学上把这条曲线叫做运动物体的轨迹
当我们以观察者为中心建立了一个坐标系，那么运动物体的这条“轨迹”中的每一点都可以在这个坐标系内定位（用位矢 或者 用坐标）
如果我们把轨迹中的每一点P的位置r与它对应的时刻t（请注意，物理书中有时会写作“时间”，但你应该清楚“时间”在这里专指时刻，而非其他时间概念）相对应，形成一个函数：
r(t)
这个函数叫做位置函数，表示点P的位置r随着时刻t的变化而变化
当这个函数满足某种数学条件P时，可以写成方程形式：
r(t)=P
这里条件P可以是常数或者函数（请注意：r(t)=P形式通常叫做 解形式，不是所有轨迹方程都一定要写成解形式，相反地，绝大多数条件下轨迹方程都写成非显式形式，即其中根本不含有位置r这个变量，而是含有诸如坐标x,y,z等变量的形式）
那么这个方程r(t)=P叫做物体的轨迹方程（轨道方程）


当我们用位置矢量r↑表示位置r时，该方程就变成r↑(t)=P，称为位矢轨迹方程
当我们用坐标(x,y,z)等（还可以有其他类型坐标系下的坐标，例如球坐标或者柱坐标）表示位置r时，该方程就变成r(x,y,z)=P


例如一个匀速圆周运动的具体例子：

红色为轨迹方程（满足条件是位置矢量的大小恒等于圆周半径R），它是解形式的轨迹方程


蓝色为轨迹方程的参数方程形式，即分别表示出了直角坐标系下横纵坐标的方程并联立成方程组，时间t为参数
粉色为消掉参数以后的轨迹方程
蓝色和粉色这两种非显式（不明显含有位置r）的形式才是最常见的轨迹方程形式

待续

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时间也有方向？

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原则上来说是有的

通常在运动力学中默认为事件发生的时序方向

或可在热力学中认为是热力学系统自然熵增的方向

这两种对时间方向的规定尚无理论联系，目前只是默认这两种规定得到的时间箭头方向是统一的（但无理论论证）

【运动（微分）方程】
运动力学中有各种动力学物理量（例如位置、时刻、动量、能量、速度、力、力矩、作用量等），在某些问题中，它们可能会满足某种数学条件，从而可以写成方程的形式，所有这些可以用来最终求解运动学物理量的方程，统称为运动方程


最著名的运动方程有：
牛顿定律F=ma
质能方程△E=△mc²


我们前面提到的轨迹方程也是一种运动方程，因为它主要描述的是坐标或位矢随时间变化的函数所满足的数学条件，原则上可以解出坐标或位矢，而坐标和位矢都是动力学物理量



运动方程中含有微分或导数形式的运算时，运动方程被称为运动微分方程
运动方程一词很多时候被作为运动微分方程一词的简称，一般情况下对两者不做概念区分


运动微分方程举例（其他力学分支中的）：
拉格朗日方程和哈密顿方程（详见分析力学部分）
电动力学中的麦克斯韦方程组（详见电动力学部分）
量子力学中的薛定谔方程（详见量子力学部分）

【坐标系】
坐标系并不是代表实在物体的概念，而是一种纯粹作为概念的概念
坐标系的本质是一个空间位置测量系统（简称定位系统），因此，任何一个坐标系必须由长度和角度测量手段共同制定，同时它本身一定附带了它所度量的空间的维结构特征


最基本的坐标系是坐标轴，这是一种一维坐标系，我们在没有确认该坐标系为直线坐标系前，通常把它视为一个自然坐标系：

任何一个坐标系都有原点（坐标为0的点）
任何一个坐标系都有方向（沿着指定的正方向，坐标数值递增，反之递减）
坐标系用刻度来度量自身，这表明坐标系直接适应自身的空间结构
坐标系按某种规则参考这些刻度去度量其他被测对象获得 坐标 作为度量结果（具体度量规则取决于坐标系的坐标制定规则）


常见坐标系：
1----数轴
如上图，物理中通常并不默认数轴必须为直线，但应该是光滑曲线（含直线）
其上的两段相等的长度可以通过平移来重合，即满足长度平移的不变性（类似前面我们说过的尺，因此实际上数轴就是一条尺）
存在于数轴空间（一维）的任意点，均以数轴上与该点重合的点的刻度（实数）为坐标


2----极坐标系
左图为真正的极坐标系：
经线从原点向外为正向，其上纬坐标递增，纬线圈逆时针为正，其上经坐标从0到2π递增，0与2π重合
右图为简记图，以r代表纬坐标，以θ代表经坐标
这样的极坐标系同时以一个长度和一个角度共同来为坐标系二维空间内一点定位，其方法是：
（纬坐标，经坐标）
例如图中黑点位置记为(r,θ)=(5,5π/4)

3----平面直角坐标系
左图为真正的平面直角坐标系：
纬线沿水平方向向右为正向，经坐标x递增
经线沿竖直方向向上为正向，纬坐标y递增
右图为简记图
这样的坐标系同时以两个长度共同为坐标系二维空间内一点定位，其方法是：
（经坐标，纬坐标）
例如图中黑点位置记为(x,y)=(-4,-3)

你也许会问，这样的坐标系似乎和角度测量无关？
事实是显然有关，任意一条经线和任意一条纬线之间是互相垂直的，这个角度必须由某种角度测量手段来制定
事实上，二维空间与一维空间的本质区别就是增加了角度这种空间结构元素，任何二维空间都不可能脱离这一元素来构成自己的空间结构

【坐标变换】
二维空间内同一点，在极坐标系和直角坐标系下的位置分别写作(r,θ)和(x,y)
它们虽然定位方法不同，但毕竟是描写同一点的位置的
如果我已知了极坐标系下的某一点的坐标，我想要知道它在直角坐标系下的坐标，怎么办呢？

这就要用到坐标变换


所谓坐标变换，就是两个不同坐标系的坐标之间的通用数学规律，通过这个规律能够在由当前类型的已知坐标值计算出另一类型的未知坐标值
例如：

上图中，已知该点极坐标系位置(r,θ)可以通过联立的两个公式计算得到该点直角位置(x,y)
这两个公式就叫做从极坐标系到直角坐标系的坐标变换
若已知该点的直角坐标系位置(x,y)，可用下图公式计算出同一点在极坐标系内位置(r,θ)
下图两个公式称为从直角坐标到极坐标的坐标变换
它是上图坐标变换的 逆变换

上面的例子是不同类型坐标系之间的坐标变换，在运动力学中，更为常见的是在同种坐标系（原点位置或坐标轴方向规定不同）之间进行坐标变换，我们后面或涉及到相关概念

【位差】
同一观察者测量不同时刻下的两个任意位置矢量后，用时序靠后的那个位置矢量减去时序靠前的那个位置矢量得到的矢量差叫做位差
这个概念相当的不严格，因此在一些需要严格考察概念的动力学理论（如相对论）中，是需要用到这个概念的，以便来严格区分具体情况，但在经典力学中用处不大，经典力学中对很多概念不需要做严格区分


【位移】
同一观察者测量同一物体在不同时刻的两个位置矢量后，用时序靠后的那个位置矢量减去时序靠前的那个位置矢量得到的矢量差叫做位移，按此定义，位移当然也属于一种位差，但它是一种特殊严格的位差
请注意，用来计算位移的两个位置矢量必须对应于同一物体，位差则不需要这么严格的界定
注意：初级的物理教科书常说距离就是位移的大小，这个是不严谨的，距离通常取决于路径的选择，有曲线累加成分，而位移的大小通常可能为直线型的（例如在欧式空间）或者其他型的（非欧几何空间，某些情况下位移大小只是个差值，也许根本对应不上路径）


【泛平均速度】
任意位差与任意时间差之比加上一个方向规定后得到的物理量称为泛平均速度
在大多数的动力学理论中，只要提到速度，通常其实都是指泛平均速度（但通常直接称之为平均速度而不使用全称泛平均速度），但在一些严格区分概念的动力学理论（如相对论）中，泛平均速度是与真正的平均速度不同的概念，请注意识别
很多理论中，位差与时间差之比通常被保留为标量，所以要另加一个方向规定使之成为矢量


【连续运动】
在平滑连续的空间结构和连续平滑的时间结构中运动的同一物体的运动过程中取一段时间上连续取值的运动过程，该运动过程称为连续运动
在该运动所持续的时间范围内，物体在任意时刻都对应了一个位置矢量，且位置矢量对时刻可以求任意多阶导数


【平均速度】
在某一物体的连续运动过程中，取两个时刻t1和t2，t2的时序比t1靠后，我们要求t和t1是同一观察者在同一地点测量的两个不同时刻，因此它们之差△t=t1-t是个时段
如果t1时刻该物体的位置矢量是r1↑，t2时刻该物体的位置矢量是r2↑
则△r↑=r2↑-r1↑是个位移
那么比值
ū↑=△r↑/△t
=(r1↑-r↑)/(t1-t)称为t1到t2时段内的平均速度


【瞬时速度】
只有在平滑连续的空间结构和连续平滑的时间结构中作连续运动的同一物体，才存在瞬时速度的概念
在指定时刻t时，物体处于某一位置，对应位置矢量为r↑，则我们可以尝试在t之后寻找一个非常接近t的时刻t1，该物体在t1时刻的位置为r1↑，我们要求t和t1是同一观察者在同一地点测量的两个不同时刻，因此它们之差△t=t1-t是个时段，△r↑=r1↑-r↑是个位移
我们可计算得到一个平均速度：
ū↑=△r↑/△t
=(r1↑-r↑)/(t1-t)
由于时空都是光滑连续的，因此ū在△t无限缩小趋近于零的条件下，可以存在一个极限值：
u↑=lim[△t→0]ū↑
=lim[△t→0]△r↑/△t
=lim[△t→0](r1↑-r↑)/(t1-t)
=dr↑/dt
即位置矢量r↑对时刻t的导数dr↑/dt，比如我们最后计算出来这个导数的数值是矢量u↑，则我们把这个极限值（导数值）u↑称为物体在t时刻的瞬时速度
u↑的大小u叫做物体在t时刻的瞬时速率

瞬时速度是一个比较严格的概念，而且并不具有物理上的直观性，从其定义的复杂可见一斑，但是这个概念非常之重要，运动学理论中通常把这个概念视为重中之重，但它可以精简表述为：
瞬时速度是从指定时刻t开始的连续运动过程的平均速度ū↑ 在其持续时段△t无限缩短趋于0的条件下取得的一个极限值u↑=dr↑/dt


【匀速运动】
在平滑连续的空间结构和连续平滑的时间结构中运动的同一物体的运动过程中取一段连续运动过程，如果这个连续运动过程满足条件：
该运动过程中物体在任意时刻的瞬时速度u↑的大小u都相等
则称这段运动过程为匀速运动
匀速运动很可能也是变速运动（各时刻瞬时速度大小不变，但方向改变）


【直线运动】
在平滑连续的空间结构和连续平滑的时间结构中运动的同一物体的运动过程中取一段连续运动过程，如果这个连续运动过程满足条件：
该运动过程中物体在任意时刻的瞬时速度u↑的方向都相同
则称这段运动过程为直线运动
但它可能是变速运动（各时刻瞬时速度大小不同）


【匀速直线运动】
如果一个匀速运动满足：
该运动过程中物体在任意时刻的瞬时速度u↑的大小和方向都相等（即矢量相等）
则称这段运动过程为匀速直线运动
匀速直线运动既属于匀速运动也属于直线运动


【变速运动】
非匀速直线运动的连续运动过程统称变速运动
变速运动可能是直线运动（方向不变但瞬时速度大小改变）或曲线运动（方向改变）

待续

【加速度】
此概念最初用于描述速度变化的快慢，但随着人们对物理学研究的深入，速度概念被精细化，“速度改变的快慢”这一说法已经完全不精确，因此加速度一词逐渐细分为下面几个具体概念：
1----平均加速度
2----瞬时加速度
在绝大多数物理学书籍中，通常会对这两个概念都使用 加速度 这个简称，但请根据上下文进行具体识别，加速度 这个词目前已经没有独立的物理学概念与之对应，它只是几个具体概念的简称而已
请注意，相对加速度、牵连加速度（运输加速度）这些与参照系相关的概念，所有中文物理学书籍都会严格给出全称，因此不含在本概念之内





【刚体】
运动物体上任何2点之间的相对位置都不随运动发生改变，则这种运动物体被称为刚体
由定义可知刚体是不随运动发生形变的物体，而在相对论中运动物体会发生形变，因此相对论中无刚体

刚体的运动分为平动和转动两种




【平动】
物体上任何两点间的连线，在运动前的残像（直线段）与运动后的残像（直线段）平行且长度相等，那么这个物体所作的运动叫做平动

例如上图直杆的运动，随然轨迹是曲线，但杆在任何位置时的姿态都是相互平行，且杆长不变，这根直杆所作的就是平动






【转动】
物体上任意三点间的三条连线在物体运动过程中始终保持各自长度不变，但各自在运动前后的残像（直线段）不都平行，则物体所做运动为转动

如图三角形运动物体的运动过程：红三角形为物体初始姿态，蓝三角形为物体过渡姿态，绿三角形为物体末姿态
三角形物体红色两点间连线在物体运动前后保持平行且长度不变，但蓝点与两个红点的连线虽然保持各自长度始终不变，但同一连线在各个姿态下并不与自己的残像平行
这个三角形物体所作的运动是一种转动






【定轴转动】
如果转动刚体上存在某两点在刚体转动全过程中始终保持各自的位置不变，则这两点所确定的直线叫做转动刚体的一个固定转轴
拥有固定转轴的刚体所做的转动叫做定轴转动
例如上图中两个红点的位置始终不变，则三角形做的转动是个定轴转动，两红点所确定的直线称为固定转轴

【参照系（参考系）】
参照系也叫参考系，是所有动力学中的一个重要概念
这个概念的核心有以下几点：
1-----参照系是个集成了时间测量标准和空间测量标准在一起的 由测量标准形成的系统，每个参照系都附带时间和空间两套测量标准，每一套测量标准给出了一套坐标系，分别是时间坐标系和空间坐标系
2-----观测者即制定参照系测量标准并利用这套标准测量和描述物理现象的人或者物体，因此参照系的测量标准的核心制定者和使用者是 观测者
参照系的定位基准就是这个观察者，在运动学中，参照系被视为是随着这个观察者同步运动（含平动或转动）的
3-----参照系通常对应了“观察者眼中的世界”，因此如果一个事物在某个参照系中存在（相当于在某个观察者所看到的世界里存在），那么它也在另一个参照系（另一观察者所看到的世界）中存在
很多人都是因为把参照系视为真实世界而在理解上出现错误，导致分析问题出现很多“谬论”，所以我们强调说把参照系及其内部对象视为一种“显示器影像”更好，只有观看这“显示器影像”的观察者本身是实在的
4-----时间坐标系（实际上是个一维轴）和空间坐标系加上观察者本身（其中空间坐标系固定在观察者本身上，随观察者运动），就组成了一个完整的参照系，参照系以空间坐标系的空间属性来容纳被观测物体的“影像”，并且随着选取不同的时间坐标系刻度，对应了被观测物体在空间坐标系内“影像”的改变，以此来描述被观测物体的运动过程
5-----参照系的空间坐标系（的空间结构）可以不是刚体，但在经典力学中，通常将它视为刚体，即使观察者运动时，固连在观察者身上的坐标系也不发生形变

如图所示，若真实的红球为被观测物体，则红球在观察者眼中的影像（如上图中所示）被在空间坐标系容纳，并在t0、t1、t2三个不同时刻（时间坐标轴上不同的刻度）下的空间坐标系内分别处于三个不同的位置
通过空间坐标系的定位功能与时间轴的计时功能，这个由空间坐标系和时间坐标轴组成的参照系，能够以不同时刻对应不同影像位置的方式描述一个被观测物体（红球）沿着红曲线的运动


坐标系的原点O点即为观察者

【胡克引导定律】

用一弹簧连接两个铁块置于光滑冰面上，弹簧之伸缩能使两个铁块产生加速度
我们做如下实验：
在冰面的立墙处卡住（固定住）铁块甲，并用弹簧将铁块甲乙连接起来，此时铁块乙在冰面上处于自由状态
我们将弹簧压缩到一个确定长度L1后，松开弹簧，来看铁块乙因弹簧伸张获得的加速度a1

然后我们将被卡住的铁块甲换成铁块丙，来做同样的实验，发现只要弹簧被压缩到指定长度L1，铁块乙因弹簧伸张获得的加速度a1始终相同

我们继续将被卡住的铁块换成其他各种铁块，重复上述实验，仍发现：

只要弹簧被压缩到指定长度L1，铁块乙因弹簧伸张获得的加速度a1始终相同，此结果与被卡住的铁块完全无关

然后我们做下面的实验：将上述实验中弹簧被压缩到的长度改为L2，发现弹簧伸张时使得铁块乙获得的加速度变为a2，且当我们更换被卡住的铁块时，对此结果毫无影响

我们尝试修改弹簧被压缩到的长度为L3、L4、L5。。。等等，重复上述实验，发现每个弹簧长度都对应使铁块乙获得一个加速度a3、a4、a5。。。等等，每个加速度大小只和弹簧被压缩后长度有关，与被卡住的铁块无关
比较所有数据L1、L2、L3、L4、L5。。。和a1、a2、a3、a4、a5。。。发现一个规律：

如果弹簧自由伸展时原长L0，那么：

a1∝L-L1

a2∝L-L2

a3∝L-L3

a4∝L-L4

a5∝L-L5

。。。
∝为正比例符号

上述式子右侧均为弹簧被压缩后缩短的长度，我们将它记为x，则铁块乙因弹簧获得的加速度a满足：

a=Nx

其中N是一个比例常数

现在我们已知道，同一铁块在前述弹簧实验中因弹簧伸张所获得的加速度满足a=Nx关系

但不同弹簧伸张时对同一铁块产生的加速度a满足何等规律？

我们对同一个铁块更换不同弹簧后重复上述实验发现，如果给弹簧编号1,2,3。。。等，就能得到一组新公式：

a=N1x

a=N2x

a=N3x

。。。。

我们发现每个弹簧都对应了自己的一个公式，每个弹簧在自己的公式里都对应一个比例系数N，N叫做弹簧的劲度系数（请注意这里我们没有考虑不同铁块质量的影响，如果你了解力的定义式F=ma以及胡克定律的一般形式F=-kx你就会发现我们这里引导定律的N比胡克定律一般形式的k少了-m系数）

【注】这里我们介绍的是【胡克定律】的引导形式，它无需质量、力这些概念的基础。看过后文大家会发现，此引导形式定律反而可以用来定义【惯性质量】这个关键概念

【惯性质量】

在胡克引导定律中我们了解到，同一弹簧拥有确定的劲度系数N，那么这根弹簧对不同铁块产生的加速度满足何种规律？

我们已知实验弹簧的劲度系数N，现在找来一系列不同的铁块，给它们标号1,2,3。。。。

现在我们用这根弹簧对每个铁块做上述实验（将每个铁块都作为冰面上的自由铁块使用）

然后对每个铁块我们都得到一个公式：

a1=N1x

a2=N2x

a3=N3x

。。。。

对同一根弹簧来说，不同的铁块对应了不同的劲度系数N

如果我们设最初那块铁块乙为标准铁块，标号为1，那么a1=N1x这个公式就是我们原来的a=Nx

我们发现a越大，N越大

于是我们意识到有些铁块可以天然地从相同伸张条件的弹簧那里得到更大的加速度，有些铁块获得的加速度却要小些

 我们可以在数学上直观得出：

a1=a1N1/N1=a2N1/N2=a3N1/N3=。。。。=anN1/Nn

我们把铁块获得加速度的能力的强弱用一个新的物理量Z来表示，称之为可加速性，定义为：

标准铁块1从标准弹簧那里获得加速度a1的能力为 可加速性Z=1

其他铁块（标号n）从标准弹簧那里获得加速度的能力为 可加速性Zn=an/a1=Nn/N1

有定义可知，任意铁块（或其他物体）的可加速性皆可通过把该物体作为自由铁块，并使用标准弹簧进行前述实验来通过公式Zn=Nn/N1测得（由于加速度a对于不同弹簧压缩量x可变，不宜方便使用，所以取不随x改变的系数N来确定Z）

物理学家考虑到与【引力质量】这个概念建立联系时，Z这个物理量的倒数m=1/Z更为方便，所以物理学上通常把 可加速性Z的倒数m=1/Z称为惯性，或称为惯性质量

由此我们知道：

m=N1/Nn

即标准铁块从标准弹簧那里获得加速的劲度系数N1与非标准物体从标准弹簧那里获得加速的劲度系数Nn之比

【经典力的定义】前面我们得到公式：

a1=a1N1/N1=a2N1/N2=a3N1/N3=。。。。=anN1/Nn

可以用质量m重新写作：

a1=a1m1=a2m2=a3m3=。。。。=an mn

在物理学中，很多时候我们不希望m这个量的量纲因为数学计算而丢失，为避免丢失，就要给它一个非纯数的量纲，这样在数学计算中，惯性质量m的量纲将不会被隐没于纯数量系数中

如果惯性质量有了自己的量纲，那么上面得到的式子中，标准铁块的

a1=a1m1将会不合理，因为右侧多了一个【质量】量纲，所以这种写法将被禁用

当惯性质量m拥有自己的量纲后，加速度a和惯性质量m相乘为ma的形式所代表的物理量就不再是加速度a本身，它将有一个新的含义，就是 力

经典力学中定义【力】的概念如下：

F=ma

能使一个质量为m的物体获得加速度a的物理量，叫做力F

或可表述为：

能给一个质量为m的物体提供加速度a的物理量，叫做力F

考虑到加速度为矢量（有大小和方向），而惯性质量通常默认为标量，因此二者乘积得到的【力】也是矢量，方向与其产生的加速度a相同

【注】本标题强调是经典力的定义，因为在相对论中，此定义不成立

【力的三要素】

力为矢量，有大小和方向两大要素，此外力不是任意位置存在的矢量，如果我们在空间中一点处能检测到力（即物体处于空间中该点处时能获得相应加速度），那么这一空间点称为【力的作用点】，力的作用点是力的第三大要素

【真实力】

一个物体A（例如弹簧）对另一质量为m的物体B提供加速度a↑，则A称为力F↑=ma↑的【施力者】

B称为力F↑=ma↑的【受力者】

在某个参照系内能找到施力者的力都称为【真实力】，否则：

若某个力找不到施力者，它被称为【赝力】

【惯性运动定律（牛顿第一定律、惯性参照系定义）】

在某些参照系内的观察者，观察某些物体时，如果能发现这些物体不受外力时一定会做匀速直线运动，那么这个观察者所在的参照系被称为【惯性参照系】（简称【惯性系】）

惯性系中，不受外力的物体一定做匀速直线运动，这就叫做【惯性运动定律】

简而言之，惯性运动定律严格成立的参照系都叫惯性系，不严格成立的参照系都叫【非惯性系】

此定律最早由艾萨克·牛顿总结出来，成为冠以他大名的第一定律

读者可能会发现此处内容与中学教科书不同

历史上，牛顿第一运动定律曾经被认为是在任何参照系内动成立的，因为中学教科书不考虑非惯性系的复杂情况，所以通常默认“物体不受外力时一定匀速直线运动”总是对的，但实际上这说法在非惯性系内不总是成立

所以，现代比较严谨的说法是牛顿惯性运动定律只在惯性系内严格成立

【合力作用定律（牛顿第二定律）】

施加于一个物体的所有外力的总和F合，等于该物体质量m与该物体所获加速度a的乘积：

F合=ma

【注1】在【非惯性系】中，需要人为引入并不真实存在的【赝力】来应用这个定律，在非惯性系中被引入的【赝力】并没有施力者，只是对物体产生了加速度，所以我们用这个加速度a和被【赝力】加速的物体的质量m相乘得到一个【赝力】F=ma，由于它是在非惯性系中被引入，所以被称为【惯性力】

【注2】在狭义相对论中，牛顿第二定律不成立

【反力定律（牛顿第三定律）】

一个有施力者的真实力F=ma（这里m为受力者惯性质量，a为受力者所获得的加速度），其施力者必然也受到一个反力（有些书上用全称【反作用力】）-F

由于F为矢量，因此-F表示与F大小相等，方向相反的力

显然，反力-F的受力者是F的施力者，反力-F的施力者是F的受力者

【注1】所谓的【赝力】没有反力！因为它没有施力者。

【注2】中学教科书常说互为反力的一对力同时出现或改变，但在相对论中鉴于【同时相对性】的存在，反力F并非与-F同时出现或改变

题外话：

上文中所给出的【力】的概念，以及与【力】有关的运动定律中，力的形式都是F=ma

在理论物理中，力还有一种定义形式是F↑=dP↑/dt

由此还可引出牛顿三定律的微分和积分形式，但严格来说这些都是后人修正过的牛顿定律，所以，本帖后文将直接在守恒律或守恒量的内容里去介绍修正后的牛顿定律

【角位置】
在一个平面（或微小平面区域）上，如果我们规定了角度的度量规则（如前文【角度】条目内的介绍），则可以通过此规则来度量某一通过此平面（或微小平面区域）的直线的角度
对平面与直线而言，前面【角度】条目的规定即可用
但对于曲面和其上的曲线而言，【角度】条目中将角度取值范围定为0~2π则不合适
【角度】条目中我们规定了一套角度坐标系统（量角器），用来度量角度，若令被测直线在某时刻位置的像通过【角度】条目中我们规定的量角器的原点（经纬坐标都是0的那点），则可以发现该直线与量角器某一经线重合，则该经线的角度坐标就是这条直线的角位置


【注】角位置通常被视为标量，量角器原点不变的条件下测量的两个角位置之差为角度差，也是标量
但需要注意的是，角位置是赝标量（本帖不介绍）








【右手螺旋定则】
给定一个角度量系统（即物体在坐标系内的位置坐标含有角度描述方式的那种坐标系，也说明此坐标系给定了角度度量规则），则该度量系统中的角度度量方向（角度值增大的方向，或称角度度量正方向）已经指定，则可按照下述【右手螺旋定则】将角度增大趋势方向（一曲线所规定的方向）转化为一个直线方向：


具体规则是：四指蜷曲趋势与曲线相同，指尖趋向与曲线上规定的角度度量正方向一致，立起大拇指使之指向垂直于曲线所在平面，则大拇指指向就是曲线上规定的角度度量方向转化为直线方向后的结果
利用这个【右手螺旋定则】，可以将转动趋势的描述变成对应的直线方向，对于用矢量运算处理转动问题好处极多
此定则与矢量运算中的【右手定则（弗莱明右手定则）】相似但本质不同，请注意区分，【右手定则】用于确定两个相乘矢量的积矢量方向（属于数学运算规定），【右手螺旋定则】用于将旋转趋势转化为直线方向来描述（属于物理描述方式规定）






【角位移】
在一直线在某平面内绕定点转动过程中，只要指定合适的角度测量规则，直线在每一时刻有一角度值，时序靠后的角度值减去时序靠前的角度值所得的角度差为一有正负号的标量，物理学中规定角度差为正值时，直线所作转动的转动趋势是沿着坐标系角度度量正向进行的，此时可以用【右手螺旋定则】将直线转动趋势转化为一个直线方向：
四指蜷曲趋势与转动趋势相同，立起大拇指使之指向垂直于任一蜷曲手指抽象出的曲线所定平面，则大拇指指向就是所求直线方向

现在规定一个“矢量”：其大小等于角度差的绝对值，方向为上面用【右手螺旋定则】所确定的直线方向
这样的一个新的“矢量”叫做角位移“矢量”，简称角位移
【注】角位移为一个【赝矢量】，也是个瞬时量








【旋转反射变换】
将一个量K关于某个对称轴旋转后，再用一面垂直于转轴的镜子对该量K作镜像，这种操作称为旋转反射变换
矢量经过旋转反射变换后，方向不变，而【赝矢量】经此变换后方向改变

实例：


环形电流矢量（蓝）是个真正的矢量，它的镜像总是遵守镜像规则
磁感应强度矢量（红）是个【赝矢量】，它的镜像总是不按常理出牌，非要反着来






【角速度】
角速度矢量ω↑是角位移矢量θ↑对时间t的一阶导数：
ω↑=dθ↑/dt
所以，按照矢量对标量除法的运算法则，角速度方向和角位移方向相同
【注】由于角度常用弧度制【纯数量量纲】，于是角速度的量纲就成了[1/T]，时间量纲的倒数
角速度矢量也是一个赝矢量，因为它的方向也是利用【右手螺旋定则】从转动趋势得来：

【质点】

在某些条件下，为简化问题而将有质量的物体的体积与形状忽略（条件就是物体的空间度量和空间结构特征不会对问题结果产生影响，或影响可以忽略），视为一个有质量属性的点实体，称为质点。
质点与空间点的本质区别在于空间点不具有实体性，而质点有实体性（实体性可能指许多含义，常见的有【可作为正在运动的参照物使用】等，具体有哪些含义视具体问题而定）。








【回转半径/转动半径】
三维空间中的一个质点的转动都是有转轴（黑）的，转动质点形成一条转动轨迹（未必是闭合曲线）
任何一个时刻下，转动轨迹上的这一时刻下质点位置处有一条切线（蓝），过质点能作一条到转轴的垂线段（红），即为垂足点与质点的连线
以这条红线的长度为大小，以从垂足指向质点为方向，构成一个矢量R↑，该矢量叫做质点在当前时刻的转动半径矢量（或径向矢量），简称回转半径（或转动半径）










【力矩】
转动物体的回转半径r↑与所受外力F↑的作叉乘得到的一个二重矢量（有向面积，赝矢量）就是力矩矢量M↑：
即M↑=r↑×F↑
下图为跷跷板终端的力矩示意图：










【质点系统/质点系】
由若干个（可以为任意非负整数个）质点所组成的一个整体，来作为运动学研究对象，叫做质点系统，简称质点系
质点系通常可能有附带若干隐含规定：
1-----质点间是否存在相互作用力，有何种相互作用力规则
2-----质点间的位置关系是否可变，有何种变化规则
3-----质点间能否识别转动差异，以何种方式识别转动
4-----质点是否受到约束，受到何种约束
5-----质点是否可被其他质点穿透
6-----质点间是否形成连续结构，形成何种连续结构
。。。
诸如此类，具体问题中所隐含的规定可能各不相同，这些隐含规定通常不会出现于问题题干中，而需要研究者进行探索发现来确认






【离散质点系】
其内所含任意质点之间都不形成任何连续结构，这样的质点系叫做离散质点系
通常在中学以及大学物理问题中，只要提到【质点系】，指的都是离散质点系，其内每个质点互相都是分立的






【连续质点系】
质点系中任何质点都有相邻质点与之形成特定连续结构，则此质点系称为连续质点系
连续质点系中允许存在明确离散边界（包括内部挖空区域的边界），也可以不含有任何离散边界，但给出问题所研究范围的界面，而界面上的质点与其相邻质点依旧是形成连续结构的，这都视具体问题而定