【本帖目录】2楼：同时的相对性
3楼：同地的相对性
4楼：洛伦兹变换的逆变换
5楼：不同参照系下测量物体长度
6~7楼：具有加速运动差异的两个观测者分别观测到的对方的加速度不相等

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同时的相对性：
在某一参照系K中看来，同时发生于不同地点的两个事件，在另一个相对K运动的参照系K'中看来，这两个事件不仅不是同地发生的，而且也不是同时发生的，发生时间有先后之分。

原因很简单：
如果在K系来看，发生在两个不同地点x1和x2处的两个事件1号事件（发生在x1）和2号事件（发生在x2）是同时发生的，则1号事件发生时刻t1和2号事件发生时刻t2是相等的，即t1=t2。
我们通过洛伦兹变换钟的时间坐标变换T=γ(t-vx/c^2)计算另一个参照系K'中1号事件发生时刻T1和2号事件发生时刻T2就可以得到：
T1=γ(t1-vx1/c^2)
T2=γ(t2-vx2/c^2)
由于t1=t2，所以我们可以都用t1代表，于是上面的式子变成：
T1=γ(t1-vx1/c^2)
T2=γ(t1-vx2/c^2)
可见，T1无法和T2相等，因为x1≠x2。
这就说明，在K系两个事件同时发生，但在K'系就因为两者发生地点不同，所以不是同时发生。

在一个参照系K中同一地点发生在不同时刻的两个事件，在另一相对K运动的参照系K'看来，既不是同时发生，又不是发生于同一个地点。

原因同样很简单：
如果在K系来看，发生在两个不同时刻t1和t2的两个事件1号事件（发生在t1）和2号事件（发生在t2）是同地发生的，则1号事件发生位置x1和2号事件发生位置x2是相等的，即x1=x2。
我们通过洛伦兹变换中的空间坐标变换X=γ(x-vt)计算另一个参照系K'中1号事件发生位置X1和2号事件发生位置X2就可以得到：
X1=γ(x1-vt1)
X2=γ(x2-vt2)
由于x1=x2，所以我们可以都用x1代表，于是上面的式子变成：
X1=γ(x1-vt1)
X2=γ(x1-vt2)
可见，X1无法和X2相等，因为t1≠t2。

这就说明，在K系两个事件同地发生，但在K'系就因为两者发生时刻不同，所以不是同地发生的。

假定K参照系为第一观察者所在参照系，也叫“相对第一观测者静止的参照系”，简称“静止系”，K'系为第二相对观察者所在参照系，也叫“相对第一观察者运动系，相对第二观察者静止系”，简称“运动系”。 
x,y,z,t,v(x)是被观测物体在“静止系”的三维空间坐标，时间，三维速度分量。 
X,Y,Z,T,V(X)是被观测物体在“运动系”的三维空间坐标，时间，三维速度分量。 
γ=1/[(1-u^2/c^2)^(1/2)] >1是“静止系”中“洛仑兹扩张因子”。
洛伦兹变换X=γ(x-ut)，Y=y，Z=z和T=γ(t-ux/c^2)
其逆变换为：
x=γ(X+uT)，y=Y，z=Z和t=γ(T+uX/c^2)


推导：
根据爱因斯坦速度变换V(X)=[v(x)-u]/([1-v(x)u/c^2)]，由于在xyz-t系看来，XYZ-T系在以速度u运动，而xyz-t 系自认为速度v(x)=0（相对自己静止），则xyz-t系在XYZ-T系中的速度V(X)就是V(X)=[v(x)-u]/([1-v(x)u /c^2)]=(0-u)/(1-0)=-u

那么，当我们把XYZ-T系看作静止系，则它到xyz-t系的洛伦兹变换就是：
γ'=1/[(1-(-u)^2/c^2)^(1/2)]=1/[(1-u^2/c^2)^(1/2)]=γ>1
x=γ'[X-(-u)T]，y=Y，z=Z和t=γ'[T-(-u)X/c^2]，整理得：
x=γ(X+uT)，y=Y，z=Z和t=γ(T+uX/c^2)

下图中，蓝色参照系为运动系XYZ-T，黑色为静止系xyz-t。

已知在黑色xyz-t系中“同时测量（在t0=0时刻）”得到的两个位置是x0和x1。
根据洛伦兹空间坐标变换X=γ(x-vt)，x0=0对应XYZ-T系的X0，x1对应XYZ-T系的X1，于是有：
X0=γ(x0-vt0)=γx0=0
X1=γ(x1-vt0)=γx1>x1
我们把在xyz-t系测量x0点的事件叫做事件A，把在xyz-t系测量x1点的事件叫做事件B，则两个事件发生的时刻分别为ta=tb=t0=0
根据洛伦兹时间坐标变换T=γ(t-vx/c^2)，在XYZ-T系看来，这两个事件对应的发生时间就是：
Ta=γ(t0-vx0/c^2)=0
Tb=γ(t0-vx1/c^2)=-γvx1/c^2
显然是满足“同时的相对性”规则，Ta≠Tb。说明在XYZ-T系，AB两个事件并不同时发生。

现在我们假定有人在XYZ-T系中同时测量了与X0X1线段相同的一段长度，也就是说，该参照系内在T0时刻同时发生了两个事件C（测量X0）和D（测量X1），它们的发生时刻分别为Tc=Td=T0

通过洛伦兹变换的逆变换x=γ(X+uT)和t=γ(T+uX/c^2)，可以计算出事件C（发生在Tc=T0=0时刻，位置Xc=X0=0）和事件D（发生在Td=T0=0时刻，位置Xd=X1=0）在xyz-t系中的数据：
xc=γ(Xc+uTc)=0
xd=γ(Xd+uTd)=γX1>X1

前面我们计算过X1=γ(x1-vt0)=γx1>x1
xd=γX1=γ²x1>X1>x1

这就说明了一个重要问题：在xyz-t系中同时测量的一段长度x1-x0=x1 不等于 与“这段长度通过洛伦兹变换 变换到XYZ-T系的长度X1-X0”等长的Xd-Xc长度通过洛伦兹逆变换 变换回xyz-t系的长度xd-xc。

在牛顿理论中，通常我们认为，xyz-t系中一段长度x1-x0变换到XYZ-T系得到长度X1-X0，如果把长度X1-X0变换回xyz-t系，无论是否同时测量两端，都应该重新得到长度x1-x0。
但相对论中显然存在“是否同时测量两端”造成的显著差异。
如 上图，相对论中，在XYZ-T系中同样一段长度X1-X0，如果它是在xyz-T系中同时测量两端的，那么它在xyz-t系种对应长度就是x1-x0；如 果X1-X0是在XYZ-T系中同时测量两端的，那么它就对应xyz-t系中的长度xd-x0；在不同参照系中同时测量两端，将对应完全不同的结果。

通过上面的分析我们发现，在一个参照系中同时测量两端的长度，变换到另一个参照系后得到的长度都是比原来长的，是原来长度的γ>1倍。

解释：这是相对论中的一个极其重要的结论，甚至可以说最重要也不为过。它直接指出了双生子佯谬的答案。我们现在就来证明它，我们使用反证法：

我们假设最简单的加速运动状况：匀加速直线运动，也就是说，加速度不随时间改变。
我们希望证明下面这个命题是错的：
“在 相对于静止系作匀加速运动的运动系 中看来，静止系也在作匀加速运动”。

正常的具体计算涉及微积分，考虑到部分读者可能看不懂，所以我在这里所进行的列式计算，只使用初等数学，仍然有困难的读者只看定性讨论即可。 

设观察者A看来，观察者B在作匀加速直线运动（加速度a是个常量），则A认为B的速度符合方程u=at（为简化问题，设初速度为0）。 

那么，按照这个速度u=at，通过洛仑兹变换计算一下B系中A的速度就是（已知条件A在自己参照系速度v(x)=0，A看B参照系速度u=at）： 
V(X)=[v(x)-u]/([1-v(x)u/c^2)] 
=[0-at]/([1-0*at/c^2)] 
=-at 

看看A系中u=at的含义：为简化问题，我们假设B在A系初位置x0=0，运动开始时间为t0=0，此时A，B位置重合。 
加速运动到t时刻末位置： 
x=0.5at² 
运动距离： 
x-x0=0.5at²-0=0.5at² 
运动时间： 
t-t0=t 
看看在B系的情况，假定B系中A,B重合位置也对应X0=0,T0=0，则对应的 
X=γ(x-at²)（其中γ=1/√(1-a²t²/c²) ） 

则加速运动总位移： 
X-X0=X-0=X 
总时间应该是： 
T-T0=T-0=T 
=γ(t-atx/c²)（其中γ=1/√(1-a²t²/c²) ）

如果在B系看来，A系也在匀加速运动，则按照匀加速直线运动的位移公式有： 
X=0.5AT² 
A=2X/T² 
=2γ(x-at²)/γ²(t-atx/c²)² 
=2(x-at²)/γ(t-atx/c²)² 

代入x=0.5at²得到 
A=-at²/γ(t-a²t³/c²)² 
=-[at²√(1-a²t²/c²)]/(t-a²t³/c²)² 

看来我们无论如何不能消去t 
这说明，动系中的静系的加速度A不是一个只和常数a和c相关的量，而是一个随着时间t在改变的量。这直接违反了我们假设“在B系看来，A系也在匀加速运动”的前提，说明我们的前提不成立。 

那么合理的解释只有一个，在B系看来，A系在作变加速运动（加速度随时间改变）。 

这就告诉我们一个很关键的结论： 
具有加速运动差异的两个观测者分别观测到的对方的加速度不相等。


正 是由于这个结论的存在，一对生理进程完全相同的孪生兄弟，一个乘坐火箭离开地球再返回，一个一直留在地球上，虽然在火箭看来，地球上的那个兄弟相对于火箭 也有一个加速远离之后返回的过程，而且“看起来”这个过程与地球上的兄弟看到火箭离开又返回的过程异曲同工，但是由于两个过程的各个阶段的加速度都是不同 的，所以两个兄弟重新在地球见面时，一定有一个兄弟经历了“更剧烈”的加速过程（实际上就是火箭里的那位，这里我们不作具体解释），因此他实际上平均运动 速度比地面上的兄弟要快，按照动钟变慢的结论我们就可以知道，火箭上的兄弟就像是动钟，他的衰老变化过程减慢，他返回地面时，看起来比地面上的兄弟衰老得 程度要轻一些，所以地球上的那位看起来比他老。

完毕