1
00:00:04,000 --> 00:00:06,000
二维空间
2
00:00:14,540 --> 00:00:16,500
我的名字叫做喜帕恰斯
3
00:00:17,540 --> 00:00:20,500
我生活在耶稣诞生之前的第二个世纪,
4
00:00:20,660 --> 00:00:25,620
我可以毫不谦虚地说,
5
00:00:26,060 --> 00:00:31,900
我是地理与天文学之父。
6
00:00:32,540 --> 00:00:35,820
我写了至少有14本书，
7
00:00:36,060 --> 00:00:40,420
但不幸的是,它们几乎都已遗失。
8
00:00:40,640 --> 00:00:43,460
我编写了星星的第一本目录,
9
00:00:43,540 --> 00:00:46,380
开创了数学三角学，
10
00:00:46,540 --> 00:00:49,500
甚至发明了星盘。
11
00:00:50,540 --> 00:00:53,500
幸运的是，我杰出的后继者托勒密,
12
00:00:53,620 --> 00:00:56,500
在三个世纪以后,
13
00:00:56,620 --> 00:00:59,500
继续了我的工作。
14
00:00:59,620 --> 00:01:02,500
如今,史学家们都无法确定,
15
00:01:02,620 --> 00:01:07,500
究竟哪些是我的贡献,哪些是他的。
16
00:01:08,539 --> 00:01:13,500
他的原稿<天文学大成>是第一本天文学论文
17
00:01:13,620 --> 00:01:17,500
他的"地理学"一书包含了，
18
00:01:17,620 --> 00:01:22,580
当时第一张世界地图。
19
00:01:23,540 --> 00:01:28,500
地理与几何学都涉及对地球的研究
20
00:01:30,660 --> 00:01:36,820
地理学用来描绘地球，
21
00:01:38,060 --> 00:01:41,700
几何学则涉及到对它的测量。
22
00:01:42,540 --> 00:01:47,500
地球是近似球状的
23
00:01:47,620 --> 00:01:52,500
此时我们忽略它在两极是略微扁平的，
24
00:01:52,620 --> 00:01:57,500
而假设它是一个完美球体。
25
00:01:57,620 --> 00:02:00,820
你知道,在一个球面上,
26
00:02:01,260 --> 00:02:03,820
所有点都与它的中心点等距。
27
00:02:04,100 --> 00:02:06,100
正如这个箭头,
28
00:02:06,220 --> 00:02:08,579
从球心射向球面的一个动点,
29
00:02:08,699 --> 00:02:12,579
它的长度总是不变的。
30
00:02:20,100 --> 00:02:25,100
现在选择一条轴线:一条过球心的直线
31
00:02:27,020 --> 00:02:31,140
若沿着一个过这条轴线的平面
32
00:02:31,340 --> 00:02:36,100
切开球体， 切面将是一个大圆周
33
00:02:36,260 --> 00:02:41,260
并将球体切分为两个半球。
34
00:03:09,940 --> 00:03:16,740
若我们沿着轴线如西瓜瓣似的切割球面，
35
00:03:16,860 --> 00:03:20,820
得到的就是经线的轮廓。
36
00:03:20,860 --> 00:03:24,740
它们是一些半圆周，
37
00:03:24,860 --> 00:03:29,220
其两端位于地球的北极和南极。
38
00:03:39,540 --> 00:03:41,500
相反地，
39
00:03:41,620 --> 00:03:44,300
若对着轴线平切球面，
40
00:03:44,580 --> 00:03:48,500
我们将得到许多圆周,称之为纬线。
41
00:03:59,580 --> 00:04:03,500
于是,球面被两簇网状曲线覆盖：
42
00:04:03,740 --> 00:04:08,700
即经线和纬线。
43
00:04:11,580 --> 00:04:13,580
位于正中间纬线，
44
00:04:13,740 --> 00:04:16,580
是众所周知的赤道,
45
00:04:16,620 --> 00:04:20,580
由于某些历史原因, 一条特殊的经线
46
00:04:20,700 --> 00:04:22,580
被选为子午线
47
00:04:22,780 --> 00:04:25,820
它经过英国格林威治天文台。
48
00:04:31,700 --> 00:04:34,660
若要指出地球表面某一点的位置，
49
00:04:34,740 --> 00:04:37,660
我们可以从赤道
50
00:04:37,860 --> 00:04:40,820
与子午线相交的这点开始，
51
00:04:40,980 --> 00:04:44,660
沿着赤道走一段距离
52
00:04:44,940 --> 00:04:51,820
用一个红色角度来标记,称为经度；
53
00:05:04,980 --> 00:05:10,580
然后,沿着经线向上走
54
00:05:11,540 --> 00:05:15,660
用一个绿色角度来标记,称为纬度；
55
00:05:26,020 --> 00:05:29,980
最后到达我们的目的地。
56
00:05:33,100 --> 00:05:41,100
地球上的每一点都可以这两个角度
57
00:05:41,260 --> 00:05:43,980
即经度和纬度来确定。
58
00:05:45,700 --> 00:05:47,740
因为我们需要用两个数字
59
00:05:47,940 --> 00:05:50,460
来指定地球表面上的一个位置
60
00:05:50,620 --> 00:05:56,180
我们说球面是二维的。
61
00:05:56,660 --> 00:06:01,500
数学家们通常称它为S2。
62
00:06:09,140 --> 00:06:13,580
现在，我们允许小飞机离开地球
63
00:06:13,660 --> 00:06:17,100
飞入太空。
64
00:06:17,260 --> 00:06:20,100
为了指出它的位置
65
00:06:20,180 --> 00:06:23,100
我们将需要三个数字
66
00:06:23,180 --> 00:06:27,620
经度，纬度和...
67
00:06:27,700 --> 00:06:31,700
在地球上方的高度。
68
00:06:32,340 --> 00:06:34,380
由于需要三个数字
69
00:06:34,420 --> 00:06:35,700
来确定在外层空间的位置，
70
00:06:35,940 --> 00:06:39,900
我们说空间是三维的。
71
00:06:51,820 --> 00:06:54,660
挂在墙上的画中，
72
00:06:54,820 --> 00:06:58,980
有一幅托勒密的画像——地图绘制术之父。
73
00:07:04,700 --> 00:07:07,660
地图是怎样绘制的呢？
74
00:07:17,020 --> 00:07:20,060
一种方法是将地球投射到一个平面上。
75
00:07:22,700 --> 00:07:26,900
选择一座城市，例如“Dakar”，
76
00:07:26,940 --> 00:07:31,900
再画出连结北极和这座城市的直线。
77
00:07:34,100 --> 00:07:38,580
这条直线穿过桌面上的另一点
78
00:07:38,860 --> 00:07:42,140
称为这座城市的投影。
79
00:07:42,620 --> 00:07:47,380
球面上的任何一点都可以被投射到桌面上。
80
00:07:47,620 --> 00:07:50,540
我们的城市离北极越近
81
00:07:50,700 --> 00:07:52,580
它在桌面上的投影就越远，
82
00:07:53,660 --> 00:07:56,580
甚至可以超出桌面!
83
00:07:58,540 --> 00:08:02,460
因此我们说北极没有投影。
84
00:08:03,540 --> 00:08:08,460
或者说,它的投影在无穷远处。
85
00:08:10,540 --> 00:08:13,180
整个地球,除北极以外,
86
00:08:13,260 --> 00:08:19,140
都可以在桌面上被表示出来。
87
00:08:21,220 --> 00:08:28,180
这张地图被称为 -- 球极投影。
88
00:09:09,700 --> 00:09:13,660
当然,这个投影并不保持原来的尺寸
89
00:09:13,780 --> 00:09:17,660
例如,与北美洲相比,
90
00:09:17,780 --> 00:09:21,660
南美洲就显得非常微小。
91
00:09:38,700 --> 00:09:42,580
为了更好地理解这个投影,
92
00:09:42,660 --> 00:09:46,580
我们将地球像球一样地滚动,
93
00:09:46,700 --> 00:09:49,300
并且总是从最高点向桌面投射。
94
00:09:49,660 --> 00:09:52,660
大陆的投影在平面上舞动着,
95
00:09:52,780 --> 00:09:56,340
先逐渐变大,接着变小。
96
00:10:01,220 --> 00:10:04,460
但如果我们凑近一点儿看,
97
00:10:04,660 --> 00:10:08,140
它们的形状并没有改变
98
00:10:08,340 --> 00:10:11,180
只是长度有所变化。
99
00:10:11,620 --> 00:10:16,580
因此,我们说球极投影是保形的。
100
00:10:16,660 --> 00:10:19,540
经线和纬线的投影又是什么呢?
101
00:10:19,620 --> 00:10:25,580
当我们从北极开始投射,
102
00:10:25,780 --> 00:10:29,620
经线成为从南极发出的射线
103
00:10:29,780 --> 00:10:34,660
纬线则成为一些同心圆。
104
00:10:43,060 --> 00:10:47,980
当地球滚动时,可看到经线和纬线
105
00:10:48,100 --> 00:10:52,380
都总是投射为圆或直线。
106
00:10:56,060 --> 00:11:00,580
球极投影把画在球面上的圆
107
00:11:00,660 --> 00:11:03,580
变换为画在平面上的圆。
108
00:11:06,340 --> 00:11:08,540
当然除了那些
109
00:11:08,700 --> 00:11:10,660
经过至高点的圆,
110
00:11:10,820 --> 00:11:14,780
它们的投影变成一些直线。
111
00:11:41,780 --> 00:11:46,580
我们将从底部观看同样的运动。
112
00:11:58,620 --> 00:12:01,780
从这个角度,可看到经线和纬线们，
113
00:12:01,900 --> 00:12:05,780
形成两簇圆。
114
00:12:07,540 --> 00:12:09,900
所有经线都交汇的两点,
115
00:12:10,700 --> 00:12:14,540
正是北极和南极。
116
00:12:54,620 --> 00:12:57,580
你认出来了吗?
117
00:12:57,660 --> 00:13:00,620
它就是格林威治子午线。
118
00:13:00,700 --> 00:13:07,860
到此结束我们驶向四维空间的第一步。
 

1
00:00:10,540 --> 00:00:14,500
现在,轮到我来带领你参观这个几何学的花园
2
00:00:14,620 --> 00:00:19,980
我的名字叫做Escher,我是20世纪的一位荷兰艺术家。
3
00:00:21,660 --> 00:00:24,620
几何学是我恒定的灵感源泉。
4
00:00:25,060 --> 00:00:28,900
我是绘画难以置信的铺砌艺术的专家。
5
00:00:30,540 --> 00:00:34,820
这是我在水晶球里的自画像.
6
00:00:35,540 --> 00:00:38,140
我最著名的作品之一,
7
00:00:38,620 --> 00:00:41,660
是在一个平面上绘出
8
00:00:41,740 --> 00:00:45,580
能够强行从纸上逃出的蜥蜴,
9
00:00:45,740 --> 00:00:48,700
并在其它物体的顶端,
10
00:00:48,820 --> 00:00:51,700
凝视先前平面物体的存在。
11
00:00:53,820 --> 00:00:56,700
为了给四维空间做准备,
12
00:00:58,220 --> 00:01:01,700
我们将借鉴我的这个作品，
13
00:01:01,820 --> 00:01:05,700
和一本在19世纪出版的小册子，
14
00:01:05,820 --> 00:01:08,700
它由一位名为Edwin Abbot的英国牧师所著,
15
00:01:08,820 --> 00:01:11,700
题为"FlatLand"，平原。
16
00:01:14,020 --> 00:01:16,900
让我们试着向这些平面生物,
17
00:01:17,220 --> 00:01:20,180
解释我们所熟知的，
18
00:01:20,620 --> 00:01:27,100
三维空间。
19
00:01:39,540 --> 00:01:43,380
设想其中一只蜥蜴
20
00:01:43,540 --> 00:01:47,380
能够暂时从它悲惨的存在中逃脱,
21
00:01:47,500 --> 00:01:52,100
并登上一个海角，来向下俯视它的世界。
22
00:01:54,020 --> 00:01:57,900
它将怎样给他的同伴解释,
23
00:01:58,020 --> 00:02:01,900
三维物体的存在呢?
24
00:02:04,620 --> 00:02:07,500
作为第一次尝试,它可以试着
25
00:02:07,620 --> 00:02:12,500
将一些三维物体穿过它的平面世界。
26
00:02:15,620 --> 00:02:18,500
例如， 这个四面体，
27
00:02:18,620 --> 00:02:24,500
正逐渐穿过蜥蜴的平面。
28
00:02:28,100 --> 00:02:32,980
平面生物们看到一个绿色三角形突然出现，
29
00:02:33,100 --> 00:02:35,980
然后逐渐变小。
30
00:02:37,020 --> 00:02:40,060
他们看到的只有这些，
31
00:02:40,260 --> 00:02:43,220
因为它们有局限的视觉,
32
00:02:43,260 --> 00:02:47,060
看不到平面以外的任何东西。
33
00:02:47,940 --> 00:02:51,700
当蜥蜴观察到这些绿色多边形的
34
00:02:51,940 --> 00:02:55,580
出现，变形, 然后消失时，
35
00:02:55,860 --> 00:03:00,900
它们可以试想穿过平面的物体的形状。
36
00:03:01,980 --> 00:03:04,580
而仅从这些在平面上的切面，
37
00:03:04,740 --> 00:03:07,580
来猜想物体的形状，
38
00:03:07,660 --> 00:03:11,580
应该是多么地困难。试试看!
39
00:03:11,740 --> 00:03:16,580
正穿过这个平面的是什么?
40
00:03:21,100 --> 00:03:23,980
一个四面体。
41
00:03:40,620 --> 00:03:42,820
那现在呢?
42
00:03:43,860 --> 00:03:46,820
一个立方体!
43
00:03:47,620 --> 00:03:50,460
不要忘记，
44
00:03:50,620 --> 00:03:54,460
平面蜥蜴的视觉，
45
00:03:54,620 --> 00:03:58,460
只能看到逐渐变幻的横切面。
46
00:03:58,620 --> 00:04:01,460
要完整地理解物体的形状，
47
00:04:01,620 --> 00:04:03,660
必须拓展视觉深度。
48
00:04:04,140 --> 00:04:05,500
这又是什么?
49
00:04:10,100 --> 00:04:12,980
一个八面体
50
00:04:25,340 --> 00:04:26,420
和一个......
51
00:04:27,380 --> 00:04:32,500
20 面体。
52
00:04:47,340 --> 00:04:49,180
最后......
53
00:04:51,540 --> 00:04:59,140
12 面体,它有 12 个面, 20 个顶点和 30 条棱......
54
00:05:03,420 --> 00:05:06,300
现在,我只给你展示
55
00:05:06,540 --> 00:05:09,220
一些横切面，
56
00:05:09,420 --> 00:05:13,500
你要猜出隐藏在背后的多面体。
57
00:05:24,100 --> 00:05:26,940
这是个四面体，
58
00:05:46,620 --> 00:05:49,460
立方体，
59
00:05:59,540 --> 00:06:02,380
越来越难了,是吗?
60
00:06:02,700 --> 00:06:05,380
你看， 这些二维空间里的生物，
61
00:06:05,620 --> 00:06:08,460
必须发展一个很好的几何直觉
62
00:06:08,540 --> 00:06:12,580
才能了解对我们是如此自然的
63
00:06:12,700 --> 00:06:14,580
三维空间里的事物。
64
00:06:15,620 --> 00:06:18,500
为了对四维空间有所感知，
65
00:06:18,700 --> 00:06:20,900
我们将会遇到同样的困难。
66
00:06:23,620 --> 00:06:26,380
这里有第二种方法
67
00:06:26,620 --> 00:06:29,460
来解释多面体。
68
00:06:29,620 --> 00:06:32,380
先将多面体膨胀,
69
00:06:32,620 --> 00:06:37,900
使其顶点和棱同处一个球面。
70
00:06:38,100 --> 00:06:44,980
然后, 将它球极投影到蜥蜴的平面。
71
00:06:45,100 --> 00:06:51,380
以便让二维空间的朋友们观赏。
72
00:06:51,620 --> 00:06:55,060
当然,我们也可以滚动球体,
73
00:06:55,180 --> 00:06:57,460
并让它带动我们的四面体及其投影。
74
00:07:09,780 --> 00:07:13,380
先观察一下立方体,
75
00:07:13,500 --> 00:07:19,460
并且数数它有几个顶点,几条棱和几个面。
76
00:07:58,540 --> 00:08:02,460
现在轮到八面体。
77
00:08:21,540 --> 00:08:24,460
你看到八个有色面。
78
00:08:24,660 --> 00:08:28,580
注意到棱的投影变成了一些圆弧。
79
00:08:46,540 --> 00:08:50,700
这里来了一个二十面体。
80
00:09:09,540 --> 00:09:12,460
它的结构更加复杂
81
00:09:13,100 --> 00:09:15,660
但蜥蜴们还是可以理解它的。
82
00:09:16,180 --> 00:09:22,660
可以看到它有 20 个面, 12 个顶点和 30 条棱。
83
00:09:23,380 --> 00:09:26,380
数数看?
84
00:09:33,260 --> 00:09:37,180
最后,是一个几何学珠宝 -- 12 面体。
85
00:10:20,100 --> 00:10:22,980
现在,来做一些练习!
86
00:10:23,140 --> 00:10:26,180
让我们将自己放入二维空间
87
00:10:26,300 --> 00:10:29,180
并且试着从投影的形状
88
00:10:29,260 --> 00:10:32,180
来辨认多面体。
89
00:10:32,260 --> 00:10:34,140
很简单,不是吗?
90
00:10:35,420 --> 00:10:41,380
你可以看到 4 个面, 6 条棱和 4 个顶点...
91
00:10:42,660 --> 00:10:45,140
这是个四面体。
92
00:10:53,780 --> 00:10:55,980
那这个呢?
93
00:10:58,900 --> 00:11:03,460
6 个面,每个面有 4 条棱...
94
00:11:03,660 --> 00:11:08,220
认出来了吧! 是一个立方体。
95
00:11:25,700 --> 00:11:28,580
这个更复杂了,不是吗?
96
00:11:28,860 --> 00:11:31,500
面是三角形的
97
00:11:31,700 --> 00:11:35,980
有 5 条棱从每个顶点出发...
98
00:11:36,780 --> 00:11:40,660
它有很多个面
99
00:11:40,780 --> 00:11:42,660
可能有 20 个?
100
00:11:43,260 --> 00:11:45,180
真是个二十面体。棒极了!!
101
00:11:54,940 --> 00:11:58,900
再观察十二面体，
102
00:11:59,460 --> 00:12:02,340
每个面是一个五边形。
103
00:12:02,500 --> 00:12:06,660
数一下,它有 12 个面，
104
00:12:06,780 --> 00:12:10,660
且有 3 条棱从每个顶点出发。
105
00:12:16,780 --> 00:12:20,380
这五个固体总是令几何学家着迷。
106
00:12:21,700 --> 00:12:25,580
古希腊的哲学家们甚至认为
107
00:12:25,780 --> 00:12:30,580
它们与组成世界的基本元素有神秘联系。
108
00:12:30,780 --> 00:12:34,580
我们另外称它们为柏拉图式的固体。
109
00:12:36,700 --> 00:12:38,660
现在，我们明白了，
110
00:12:38,900 --> 00:12:43,660
一个平面物体对三维空间的感知是很困难的。
111
00:12:43,860 --> 00:12:46,700
但有很多方法可用，
112
00:12:46,900 --> 00:12:51,660
其中球极投影似乎是一个比较有效的方法。
113
00:12:51,860 --> 00:12:57,700
现在,我们必须为四维空间做好准备。
114
00:12:57,900 --> 00:13:01,740
我们将需要使用我们的想像力... 
 

1
00:00:08,540 --> 00:00:11,500
我的名字叫做Ludwig Schläfli,
2
00:00:12,820 --> 00:00:15,700
我是一位瑞士几何学家。
3
00:00:18,660 --> 00:00:21,620
我生活在19世纪，
4
00:00:22,060 --> 00:00:25,900
我将为你开启四维空间之门!
5
00:00:28,540 --> 00:00:31,500
不用怕,我是一个有远见卓识的人。
6
00:00:34,660 --> 00:00:40,580
我是一个最早理解
7
00:00:40,700 --> 00:00:43,580
多维空间的存在的人，
8
00:00:43,700 --> 00:00:46,580
甚至可以研究其相应的几何学。
9
00:00:47,820 --> 00:00:50,700
如果生活在平面中的生物，
10
00:00:50,820 --> 00:00:54,700
可以理解三维空间中的多面体，
11
00:00:54,820 --> 00:00:59,380
为什么我们就不能理解四维空间中的物体呢?
12
00:01:02,700 --> 00:01:05,580
我的主要成就之一
13
00:01:05,700 --> 00:01:09,580
是列出四维空间里的所有规则多面体。
14
00:01:11,340 --> 00:01:14,220
什么是四维空间呢?
15
00:01:14,340 --> 00:01:16,500
已有很多关于这方面的文献,
16
00:01:16,620 --> 00:01:20,300
科幻小说家们对此总是乐此不疲!
17
00:01:20,700 --> 00:01:23,220
我将在黑板上为你解释它们。
18
00:01:23,340 --> 00:01:26,220
这块黑板将带有一些魔幻色彩。
19
00:01:28,340 --> 00:01:32,220
重要的是,你必须做好准备,
20
00:01:32,340 --> 00:01:34,500
遗忘我们所熟知的世界
21
00:01:34,620 --> 00:01:36,500
并且想像一个我们的视觉与感觉，
22
00:01:36,620 --> 00:01:40,500
都不能直接进入的新世界。
23
00:01:41,020 --> 00:01:44,900
我们必须变得聪明起来,正如之前的蜥蜴一样。
24
00:01:45,020 --> 00:01:47,900
我将攀上一个至高点,
25
00:01:48,020 --> 00:01:50,900
不幸的是,你看不到它。
26
00:01:51,020 --> 00:01:53,900
我会试着把我所看到的描述出来。
27
00:01:54,020 --> 00:01:56,700
但在开始之前,我先在黑板上画出一条直线。
28
00:01:58,020 --> 00:02:00,820
我将原点定在这里。
29
00:02:04,620 --> 00:02:06,580
这条直线上的每一点
30
00:02:06,700 --> 00:02:09,580
都可用它与原点的距离标出,
31
00:02:09,700 --> 00:02:12,580
如果它在(原点)左边,用负号表示
32
00:02:15,340 --> 00:02:18,220
如果它在(原点)右边,则用正号表示。
33
00:02:18,340 --> 00:02:21,300
我们习惯上将这个数字标记为 x ，
34
00:02:21,420 --> 00:02:24,380
并且称之为横坐标。
35
00:02:24,660 --> 00:02:27,380
由于直线上每一点的位置
36
00:02:27,540 --> 00:02:30,380
能用一个数字表示,
37
00:02:30,460 --> 00:02:33,380
我们说直线是一维的。
38
00:02:33,540 --> 00:02:35,460
现在,我将画出第二条轴线,
39
00:02:35,620 --> 00:02:37,380
与第一条轴线垂直。    
40
00:02:38,620 --> 00:02:40,500
黑板上的每一点
41
00:02:40,620 --> 00:02:42,980
现由两个数字来描述,
42
00:02:43,100 --> 00:02:47,380
通常记为 x 和 y : 横坐标与纵坐标。
43
00:02:49,500 --> 00:02:53,460
如此平面是二维的。
44
00:02:54,620 --> 00:02:59,060
如果你需要跟直线上的生物解释
45
00:02:59,180 --> 00:03:02,180
平面上它所未知的一点, 
46
00:03:02,340 --> 00:03:04,300
你可以简单地说
47
00:03:04,420 --> 00:03:08,500
"平面上的一点由两个已知数组成"。
48
00:03:10,620 --> 00:03:13,580
让我们通向三维空间。
49
00:03:16,260 --> 00:03:19,380
粉笔在空间中
50
00:03:19,620 --> 00:03:22,380
画出第三条轴线,与另外两条垂直。
51
00:03:26,540 --> 00:03:30,380
空间中的一点由三个数字表示,
52
00:03:30,460 --> 00:03:33,300
x , y 和 z 。
53
00:03:34,180 --> 00:03:36,300
我们可以跟对于我们的世界
54
00:03:36,340 --> 00:03:38,980
充满好奇的爬行动物们说
55
00:03:39,100 --> 00:03:42,500
"空间中的一点,不过是三个数字而已"。
56
00:03:44,620 --> 00:03:47,460
让我们通向四维空间。 
57
00:03:47,620 --> 00:03:50,580
可以试着画出第四条轴线
58
00:03:50,620 --> 00:03:54,900
与另外三条垂直,但这是不可能的!
59
00:03:56,580 --> 00:04:00,300
所以还要尝试其他方法。
60
00:04:02,540 --> 00:04:04,580
当然,我们也许会说,
61
00:04:04,660 --> 00:04:07,500
四维空间中的一点
62
00:04:07,700 --> 00:04:11,300
只是四个数字,x,y,z,t 。
63
00:04:11,500 --> 00:04:15,300
这并没有给我们带来任何启示!
64
00:04:15,500 --> 00:04:18,300
然而,我们仍将试着对它的几何，
65
00:04:18,500 --> 00:04:21,300
建立某种直觉。
66
00:04:21,540 --> 00:04:23,580
第一种方法，
67
00:04:23,620 --> 00:04:25,500
是类推法。
68
00:04:26,020 --> 00:04:27,980
这里有一条直线，
69
00:04:29,020 --> 00:04:31,900
和一个等边三角形，
70
00:04:40,620 --> 00:04:45,380
接着是一个规则四面体。
71
00:04:53,700 --> 00:04:57,460
魔术黑板能够让我们在空间中绘画。
72
00:04:59,700 --> 00:05:02,580
那么怎样在四维空间中继续呢?
73
00:05:02,780 --> 00:05:05,380
可以看到直线,三角形和四面体,
74
00:05:05,620 --> 00:05:09,460
分别有2个,3个和4个顶点。
75
00:05:09,540 --> 00:05:12,180
因此,可试画有五个顶点的图形。
76
00:05:12,260 --> 00:05:14,300
试试看。
77
00:05:14,340 --> 00:05:16,300
在直线,三角形或四面体中,
78
00:05:16,420 --> 00:05:19,220
每对顶点由一条棱连接。
79
00:05:19,340 --> 00:05:22,220
所以,我们需将5个顶点两两相接。
80
00:05:22,420 --> 00:05:24,300
我们来数数
81
00:05:24,500 --> 00:05:25,380
1条棱
82
00:05:25,500 --> 00:05:43,460
2,3,4,5,6,7,8,9,10 条棱。
83
00:05:43,780 --> 00:05:45,780
在四面体中
84
00:05:45,900 --> 00:05:49,660
每三个顶点间都有一个三角面
85
00:05:49,820 --> 00:05:51,660
我们如法炮制,
86
00:05:51,780 --> 00:05:53,660
于是,可以得到 1 个三角面
87
00:05:53,780 --> 00:05:56,660
2,3,......,10 个三角面。
88
00:05:59,540 --> 00:06:01,540
但是,如果我们用类推法继续,
89
00:06:01,700 --> 00:06:04,660
则必须在每四个顶点之间，
90
00:06:04,780 --> 00:06:07,220
加入一个四面体面。
91
00:06:09,620 --> 00:06:11,980
共有 5 个四面体面。
92
00:06:12,780 --> 00:06:16,180
就是它!我们造出了一个四维物体。
93
00:06:16,340 --> 00:06:18,740
它叫"单形"。
94
00:06:18,900 --> 00:06:20,780
现在让它在空间中转起来，
95
00:06:20,860 --> 00:06:23,700
正如之前转动四面体一样。
96
00:06:25,620 --> 00:06:28,460
当然,你必须想像
97
00:06:28,540 --> 00:06:31,580
单形是在四维空间中转动,
98
00:06:31,700 --> 00:06:34,580
你看到的,只是它在黑板上的投影。
99
00:06:34,660 --> 00:06:38,580
更复杂的是，
100
00:06:38,660 --> 00:06:41,580
面变得混乱起来并且互相交错。
101
00:06:41,660 --> 00:06:46,540
是的,看一个四维物体是需要一点经验的。
102
00:06:51,620 --> 00:06:53,580
我们可以让
103
00:06:53,700 --> 00:06:55,580
在四维空间中的单形
104
00:06:55,700 --> 00:06:57,580
缓慢地穿过
105
00:06:57,700 --> 00:07:00,580
"我们的"三维空间。
106
00:07:00,700 --> 00:07:03,580
正如之前爬行动物看到一个多边形
107
00:07:03,780 --> 00:07:05,580
出现然后消失一样，
108
00:07:05,700 --> 00:07:08,660
我们看到的是一个三维多面体
109
00:07:08,780 --> 00:07:11,660
出现,然后改变形状,最后消失。
110
00:07:14,540 --> 00:07:18,820
好了!单形穿过了我们的三维空间。
111
00:07:20,620 --> 00:07:22,580
我们将看到
112
00:07:22,740 --> 00:07:24,580
更多的四维物体
113
00:07:24,780 --> 00:07:28,060
穿过我们的三维空间。
114
00:07:28,620 --> 00:07:31,580
这是一个超立方体,它是
115
00:07:31,660 --> 00:07:34,500
线段,正方形和立方体的推广。
116
00:07:36,180 --> 00:07:41,060
必须承认,用这种切面方法，
117
00:07:41,260 --> 00:07:46,060
来尝试得到一个几何直觉,是非常困难的。
118
00:07:46,180 --> 00:07:51,580
我发现了二十面体和十二面体的类似物。
119
00:07:51,780 --> 00:07:54,660
它们的名字非常复杂，
120
00:07:55,780 --> 00:08:00,580
我将简单地称它们为 120 号和 600 号，
121
00:08:00,780 --> 00:08:05,140
因为第一个有 120 个面,第二个则有 600 个面。
122
00:08:05,700 --> 00:08:11,660
看 120 号,它正穿过我们的空间。
123
00:08:18,100 --> 00:08:19,980
现在,是 600 号。
124
00:08:20,180 --> 00:08:24,180
当然,当我说四维多面体有 600 个面时,
125
00:08:24,340 --> 00:08:26,980
是指三维的面。
126
00:08:27,300 --> 00:08:30,540
是的,它们是 600 个四面体。
127
00:08:30,700 --> 00:08:33,660
至于 120 号,它有 120 个十二面体!
128
00:08:33,780 --> 00:08:37,580
稍后,我们将看到怎样更好地理解它们。
129
00:08:47,620 --> 00:08:50,580
为了用我们三维的眼睛,
130
00:08:50,740 --> 00:08:52,900
来观察这些四维物体,
131
00:08:53,020 --> 00:08:55,340
我们可以观察它们的阴影。
132
00:08:55,420 --> 00:08:58,900
这些物体仍然在四维空间中
133
00:08:59,020 --> 00:09:01,500
但我们将它投射到三维空间里来
134
00:09:01,620 --> 00:09:04,900
正如一位画家将风景投射到画布上一样。
135
00:09:04,940 --> 00:09:09,820
这正是我们对单形所做过的。
136
00:09:18,020 --> 00:09:21,820
这是一个超立方体。
137
00:09:25,620 --> 00:09:28,460
当然,它在空间里转动
138
00:09:29,620 --> 00:09:31,380
为的是让我们观赏到所有细节。
139
00:09:31,620 --> 00:09:37,300
例如,超立方体有 16 个顶点。
140
00:09:54,060 --> 00:09:55,900
这里有个新来的。
141
00:09:56,100 --> 00:09:58,500
在我的发现中是最美丽的。
142
00:09:58,700 --> 00:10:00,660
我称它为 24 号。
143
00:10:00,780 --> 00:10:03,900
它在三维空间里没有类似物。
144
00:10:04,020 --> 00:10:08,580
它是纯粹的四维物体。
145
00:10:08,780 --> 00:10:12,060
我对它的发现非常自豪。
146
00:10:12,180 --> 00:10:26,140
看,它壮观极了! 24 个顶点,96 条棱,96 个三角形和 24 个八面体。
147
00:10:26,340 --> 00:10:29,180
一个奇迹!
148
00:10:40,100 --> 00:10:42,100
这是 120 号的阴影。
149
00:10:42,300 --> 00:10:44,900
非常雄伟!
150
00:10:45,020 --> 00:10:47,980
必须说,它是个非常复杂的奇观!
151
00:11:27,620 --> 00:11:31,820
让我们进入其中并观察它的构造。
152
00:11:40,620 --> 00:11:53,780
看: 600 个顶点, 1200 条棱。
153
00:11:56,620 --> 00:11:59,380
有 4 条棱从每个顶点出发
154
00:11:59,620 --> 00:12:03,460
一个完全规则的结构。
155
00:12:03,540 --> 00:12:07,380
所有的顶点和棱都扮演着同样的角色。
156
00:12:07,620 --> 00:12:13,660
遗憾的是,投影破坏了它的规则。
157
00:12:13,860 --> 00:12:15,900
试着想像一下,
158
00:12:16,620 --> 00:12:19,700
试想一个在四维空间中的物体，
159
00:12:19,780 --> 00:12:21,660
拥有一个巨大的旋转群，
160
00:12:21,780 --> 00:12:25,580
互换所有的顶点和棱。
161
00:12:25,780 --> 00:12:28,660
冠军是...600 号,
162
00:12:29,420 --> 00:12:31,660
像一个庞大的宏观分子
163
00:12:31,780 --> 00:12:36,300
有 720 条棱和 120 个顶点。
164
00:12:41,620 --> 00:12:44,460
有 12 条棱从每个顶点出发。
165
00:12:53,780 --> 00:12:56,180
但是,我们对四维多面体的探究
166
00:12:56,300 --> 00:12:59,140
并没有就此结束。
167
00:12:59,260 --> 00:13:02,060
因为我敢打赌，它们的球极投影，
168
00:13:02,180 --> 00:13:05,500
肯定会给我们带来一个更新更好的几何直觉。
 

1
00:00:12,860 --> 00:00:17,820
三维空间包含了二维的S2球面。
2
00:00:19,340 --> 00:00:21,220
用同样的方法,我们可以研究
3
00:00:21,340 --> 00:00:23,980
四维空间中的球面。
4
00:00:24,180 --> 00:00:27,980
它每点与中心点等距。
5
00:00:28,100 --> 00:00:31,980
为确定其上某一点的位置,
6
00:00:32,180 --> 00:00:34,700
我们需要三个数字。
7
00:00:34,780 --> 00:00:37,580
因此,这个球面是三维的,
8
00:00:37,700 --> 00:00:40,580
我们称它为S3。                              
9
00:00:44,620 --> 00:00:46,580
你并看不到这个
10
00:00:46,700 --> 00:00:48,580
在四维空间中的球体
11
00:00:48,700 --> 00:00:51,580
因为你的空间只有三维,
12
00:00:51,700 --> 00:00:54,580
并且,屏幕只有二维!
13
00:00:54,700 --> 00:00:57,580
我只能唤起你的想像力。
14
00:01:00,700 --> 00:01:04,580
为了更好地理解四维多面体
15
00:01:04,700 --> 00:01:07,580
我们只需如法炮制，
16
00:01:07,700 --> 00:01:10,580
之前蜥蜴对三维面体所为：
17
00:01:10,700 --> 00:01:15,460
它将它们膨胀到一个球面上
18
00:01:15,620 --> 00:01:20,500
再球极投影到平面上。
19
00:01:24,940 --> 00:01:27,100
这里我们将膨胀一个多面体
20
00:01:27,260 --> 00:01:31,700
直到它的面嵌在一个四维空间里的球面 S3 上，*
21
00:01:31,940 --> 00:01:33,900

22
00:01:34,020 --> 00:01:35,980
再球极投影到三维空间里。
23
00:01:36,100 --> 00:01:38,980
我将攀上三维球面的北极  *
24
00:01:40,020 --> 00:01:41,900

25
00:01:42,020 --> 00:01:43,900
并把我所看到的
26
00:01:44,020 --> 00:01:46,900
投射到你的三维空间里来。
27
00:01:48,340 --> 00:01:50,580
你看不到我在哪儿,
28
00:01:50,700 --> 00:01:53,500
正如平面蜥蜴看不到
29
00:01:53,620 --> 00:01:57,380
它攀上至高点的同伴一样。
30
00:01:57,500 --> 00:01:59,780
我们正处于同样的情况。
31
00:02:08,620 --> 00:02:10,580
这是个单形。
32
00:02:12,780 --> 00:02:15,660
可以看到它的5个顶点
33
00:02:15,780 --> 00:02:18,660
和 10 条棱。
34
00:02:20,620 --> 00:02:25,460
当然,这时棱是一些圆弧。
35
00:02:27,700 --> 00:02:30,580
这个情况与
36
00:02:30,660 --> 00:02:34,660
将三维多面体球极投影到
37
00:02:34,780 --> 00:02:38,660
平面上是完全类似的。
38
00:02:39,540 --> 00:02:41,780
这是个超立方体。
39
00:02:42,260 --> 00:02:44,180
它很容易辨认
40
00:02:44,300 --> 00:02:48,460
有 32 条棱和 16 个顶点。
41
00:02:50,100 --> 00:02:53,500
这样理解,比用阴影或
42
00:02:53,620 --> 00:02:57,380
三维横切面的方法容易很多。
43
00:02:59,100 --> 00:03:01,060
这是 24 号
44
00:03:01,420 --> 00:03:05,300
有 24 个顶点和 96 条棱!
45
00:03:15,620 --> 00:03:19,460
最后, 120 号
46
00:03:35,700 --> 00:03:38,580
和 600 号。
47
00:03:57,620 --> 00:04:01,580
让我们加入二维面,来看得更清楚些!
48
00:04:03,780 --> 00:04:06,580
这是单形,
49
00:04:06,780 --> 00:04:09,660
和它的 10 个三角面。
50
00:04:09,780 --> 00:04:13,660
这些二维面是球面的一些片断,
51
00:04:13,900 --> 00:04:17,580
正如之前的棱是一些圆弧一样。
52
00:04:20,540 --> 00:04:23,660
单形在四维空间中滚动，
53
00:04:23,780 --> 00:04:26,300
再被球极投影出来。
54
00:04:26,620 --> 00:04:29,980
记得当初地球滚动时,
55
00:04:30,060 --> 00:04:32,900
陆地的投影随之舞动。
56
00:04:36,180 --> 00:04:40,980
有时,一个面经过投影的极点
57
00:04:41,100 --> 00:04:43,460
这点被投到无穷远处:
58
00:04:43,500 --> 00:04:46,580
看起来就象在屏幕上炸开一样。
59
00:04:48,020 --> 00:04:51,900
现在来略看一下超立方体。
60
00:04:55,620 --> 00:04:58,380
空间被分割成
61
00:04:58,500 --> 00:05:01,460
8 个立方体形的区域,
62
00:05:01,540 --> 00:05:03,580
它们是超立方体的三维面。
63
00:05:05,580 --> 00:05:08,500
至于二维面,
64
00:05:08,700 --> 00:05:12,500
它们是一些正方形(或多或少地隆起和扭曲)。
65
00:05:15,620 --> 00:05:18,580
有 24 个。
66
00:06:10,620 --> 00:06:13,580
呵呵! 请来欣赏，
67
00:06:15,740 --> 00:06:18,580
我钟爱的 24 号。
68
00:06:19,020 --> 00:06:22,820
它真是太壮观了!
69
00:06:23,420 --> 00:06:38,980
24 个顶点,96 条棱, 96 个三角形和 24 个八面体。
70
00:06:41,700 --> 00:06:45,980
有 8 条棱从每个顶点出发。
71
00:08:05,900 --> 00:08:08,460
这是 120 号,
72
00:08:08,620 --> 00:08:11,580
我们将更好地理解它的结构。
73
00:08:15,780 --> 00:08:19,580
有 4 条棱从每个顶点出发。
74
00:08:26,620 --> 00:08:31,500
它的二维面是五边形。
75
00:08:35,780 --> 00:08:37,660
有 720 个!
76
00:08:41,780 --> 00:08:47,780
这 720 个五边形相互衔接为 120 个十二面体。
77
00:08:55,060 --> 00:08:56,980
看所有这些十二面体
78
00:08:57,060 --> 00:09:00,980
互相之间完美契合。
79
00:09:08,020 --> 00:09:10,980
真是美妙无比!
80
00:10:14,540 --> 00:10:16,540
最后,是 600 号
81
00:10:16,700 --> 00:10:19,900
与它 600 个三维的四面体面,
82
00:10:20,020 --> 00:10:22,900
1200 个三角面
83
00:10:23,020 --> 00:10:26,900
720 条棱和 120 个顶点。
84
00:10:29,540 --> 00:10:32,460
相信我,在包含这个物体的四维空间里
85
00:10:32,620 --> 00:10:34,460
它有 14400 种对称性!
86
00:11:06,620 --> 00:11:09,460
好,我们完成了
87
00:11:09,620 --> 00:11:11,460
我们的第一个四维空间之旅。
88
00:11:14,460 --> 00:11:17,380
在这个空间里充满了许多奇观。
89
00:11:17,540 --> 00:11:20,460
当然,数学家们的想像力
90
00:11:20,500 --> 00:11:23,460
并没有在四维空间中停止。
91
00:11:23,540 --> 00:11:26,460
还有 5 维, 6 维,
92
00:11:26,620 --> 00:11:31,460
n 维,甚至...
93
00:11:31,700 --> 00:11:34,580
无限维空间!
94
00:11:36,260 --> 00:11:39,140
每个空间有它自己的特性;
95
00:11:39,300 --> 00:11:43,180
但必须说,四维空间是最漂亮的。
96
00:11:43,260 --> 00:11:46,100
为什么呢?也许是因为,毕竟,
97
00:11:46,220 --> 00:11:49,140
它有一种物理上的真实性。
98
00:11:51,820 --> 00:11:53,780
爱因斯坦的相对论,
99
00:11:54,020 --> 00:11:56,900
始于 20 世纪早期,
100
00:11:56,940 --> 00:12:00,900
假设空间和时间以某种方式结合，
101
00:12:00,940 --> 00:12:05,580
进入一个四维时空。
102
00:12:08,540 --> 00:12:12,460
这个时空中的一点是一个事件,
103
00:12:12,620 --> 00:12:16,460
被它在空间中的位置 x,y,z
104
00:12:17,620 --> 00:12:21,460
和它所发生的时间 t 表现出来。
105
00:12:24,100 --> 00:12:27,980
研究相对论,
106
00:12:28,100 --> 00:12:32,180
需要熟知四维几何学。*
107
00:12:34,140 --> 00:12:36,620
非常有趣的是，
108
00:12:36,780 --> 00:12:39,660
这个四维几何学
109
00:12:39,820 --> 00:12:42,380
比起相对论的发现
110
00:12:42,540 --> 00:12:45,340
早了五十多年。
111
00:12:46,620 --> 00:12:50,460
数学与物理如此相互影响，
112
00:12:50,620 --> 00:12:53,500
令科学历史学家们迷恋不已。
 

1
00:00:08,540 --> 00:00:11,500
我是Adrien Douady.         
2
00:00:12,620 --> 00:00:15,380
我在数学上的成就          
3
00:00:15,580 --> 00:00:17,580
集中于复数方面.          
4
00:00:18,700 --> 00:00:22,580
我的贡献在于推动了代数几何学          
5
00:00:22,700 --> 00:00:25,500
与动力系统理论.          
6
00:00:26,620 --> 00:00:29,060
复数历史悠久.          
7
00:00:29,180 --> 00:00:33,580
这儿左边是Tartaglia 和 Cardano,        
8
00:00:33,700 --> 00:00:36,580
复数的创始者,生活在文艺复兴时期.          
9
00:00:36,700 --> 00:00:39,580
右边是Cauchy 和 Gauss,        
10
00:00:39,700 --> 00:00:42,580
在19世纪巩固了这个理论.          
11
00:00:42,700 --> 00:00:44,700
复数          
12
00:00:44,780 --> 00:00:46,780
并不复杂!          
13
00:00:47,180 --> 00:00:51,180
它们曾被叫做"不可能的数字"          
14
00:00:51,260 --> 00:00:54,580
至今有时也会被称为"虚的".          
15
00:00:54,700 --> 00:00:57,700
因为,它确实需要一点儿想像力。          
16
00:00:57,780 --> 00:01:01,900
然而今天,这些数在科学中随处可见          
17
00:01:01,940 --> 00:01:04,580
并也不再神秘了.          
18
00:01:04,620 --> 00:01:06,580
由它们还能画出          
19
00:01:06,700 --> 00:01:09,580
漂亮的分形图形。          
20
00:01:09,700 --> 00:01:12,580
我做过许多相关研究.          
21
00:01:12,700 --> 00:01:16,580
还制作了最早数学动画片之一          
22
00:01:16,700 --> 00:01:19,980
"兔子的动态图"。          
23
00:01:20,100 --> 00:01:24,580
我先在黑板上为你解释复数.          
24
00:01:24,900 --> 00:01:27,900
数学家总是喜欢用粉笔写字...          
25
00:01:29,700 --> 00:01:32,700
看我的三角尺和量角器          
26
00:01:32,780 --> 00:01:36,700
有时表现得很不寻常...          
27
00:01:39,540 --> 00:01:42,500
先画一条加上刻度的直线。          
28
00:01:45,540 --> 00:01:48,500
数学中最好的方法之一,          
29
00:01:48,620 --> 00:01:50,500
是将几何与代数联系起来.          
30
00:01:51,980 --> 00:01:54,980
这是代数几何学的开端.          
31
00:01:59,700 --> 00:02:03,700
数字可以两两相加, 点也可以!         
32
00:02:05,740 --> 00:02:11,380
看这红蓝两点， 都在直线上。         
33
00:02:11,500 --> 00:02:13,700
这两点相加，          
34
00:02:13,780 --> 00:02:17,700
等于绿点!一加二等于三!          
35
00:02:18,740 --> 00:02:20,700
移动红蓝两点,          
36
00:02:20,780 --> 00:02:25,700
其"和"绿点也随之移动.          
37
00:02:26,780 --> 00:02:31,780
更有趣的是点点之间还可以相乘.          
38
00:02:33,740 --> 00:02:36,700
例如,乘以 -2 的运算.        
39
00:02:36,900 --> 00:02:41,780
将点 1 变为点 -2.       
40
00:02:44,620 --> 00:02:47,580
若再次乘以-2,          
41
00:02:47,740 --> 00:02:50,580
则换回到          
42
00:02:50,620 --> 00:02:52,980
原点的同一侧，          
43
00:02:53,100 --> 00:02:55,060
并将距离扩大两倍.          
44
00:02:55,180 --> 00:02:56,900
当然,我们得到 4.         
45
00:02:57,980 --> 00:03:01,900
所以连乘两次 -2,,         
46
00:03:01,980 --> 00:03:04,900
相当于乘以 4.         
47
00:03:08,100 --> 00:03:10,980
乘以-1是非常简单的.          
48
00:03:11,100 --> 00:03:14,980
每一点都被送到了关于          
49
00:03:15,100 --> 00:03:17,180
原点对称的一点上,          
50
00:03:17,260 --> 00:03:20,580
也就是转动半圈,          
51
00:03:20,740 --> 00:03:24,700
或说旋转180度.          
52
00:03:24,780 --> 00:03:27,780
一个数乘以它的本身,          
53
00:03:27,900 --> 00:03:30,780
结果总是正的.          
54
00:03:30,980 --> 00:03:32,980
如果乘一次负1,           
55
00:03:33,100 --> 00:03:34,980
是转动半圈;          
56
00:03:35,100 --> 00:03:37,180
再乘一次,          
57
00:03:37,300 --> 00:03:38,980
则回到了起点!          
58
00:03:39,100 --> 00:03:44,380
负1 乘以 负1 等于       
59
00:03:44,500 --> 00:03:45,380
正1。          
60
00:03:47,980 --> 00:03:50,500
你看, 乘以负1 的运算，        
61
00:03:50,620 --> 00:03:52,580
将 2 送到 -2。       
62
00:03:52,740 --> 00:03:54,180
若再次乘以负1 ,         
63
00:03:54,260 --> 00:03:55,820
则又回到了 2.         
64
00:03:55,860 --> 00:03:57,780
很明显,不是吗?          
65
00:03:58,900 --> 00:04:02,260
因此,没有任何一个数          
66
00:04:02,380 --> 00:04:05,780
乘以它本身等于-1.          
67
00:04:08,740 --> 00:04:12,700
也就是说,-1没有平方根.          
68
00:04:17,740 --> 00:04:20,700
可数学家是极富创造力的!          
69
00:04:20,780 --> 00:04:23,700
19世纪初,Robert Argand         
70
00:04:23,780 --> 00:04:28,780
有一个非常棒的主意.          
71
00:04:28,900 --> 00:04:32,700
他对自己说: 既然乘以负1         
72
00:04:32,780 --> 00:04:34,780
是转动180度,          
73
00:04:34,900 --> 00:04:40,900
它的平方根应是转动它的一半:90度.          
74
00:04:40,980 --> 00:04:43,980
转动两次四分之一圈,          
75
00:04:44,100 --> 00:04:45,980
正好是转动半圈!          
76
00:04:46,980 --> 00:04:52,980
四分之一圈的平方是半圈,所以我们得到负1.          
77
00:04:53,100 --> 00:04:55,780
这样想就足够了!          
78
00:04:56,500 --> 00:05:00,500
因此,Argand宣布 负1 的平方根        
79
00:05:00,620 --> 00:05:05,500
是对应于1的一个90度的旋转.          
80
00:05:05,620 --> 00:05:11,060
然而,这迫使我们离开水平直线,          
81
00:05:11,180 --> 00:05:14,500
将一个数赋予          
82
00:05:14,620 --> 00:05:17,700
不在直线上的平面中的点!          
83
00:05:18,740 --> 00:05:22,700
由于这个构造有点儿奇怪,          
84
00:05:22,780 --> 00:05:28,700
我们说 负1 的平方根,是一个虚数。        
85
00:05:28,780 --> 00:05:32,700
并称它为 i.         
86
00:05:32,780 --> 00:05:35,820
但是,一旦我们有勇气离开直线,          
87
00:05:35,860 --> 00:05:37,700
问题就变得简单了.          
88
00:05:38,740 --> 00:05:41,700
2i,3i等都可被表现出来。          
89
00:05:41,780 --> 00:05:45,700
平面上的每一点都对应着一个复数          
90
00:05:45,780 --> 00:05:50,700
相反地,所有复数都定义一个平面上的点.          
91
00:05:52,620 --> 00:05:57,580
平面上的点全部变成了数!          
92
00:05:57,780 --> 00:06:01,780
而且他们还可以两两相加。          
93
00:06:01,900 --> 00:06:06,780
看这红点,它表示 1+2i .        
94
00:06:06,900 --> 00:06:13,500
将它与蓝点 3+i 相加，        
95
00:06:14,740 --> 00:06:18,700
很自然的，          
96
00:06:18,900 --> 00:06:21,700
我们得到...          
97
00:06:21,780 --> 00:06:24,700
4+3i .         
98
00:06:24,780 --> 00:06:28,700
从几何学角度来说,这只是向量相加.          
99
00:06:29,620 --> 00:06:33,500
不仅它们可以相加，          
100
00:06:37,980 --> 00:06:40,980
更有趣的是,          
101
00:06:41,100 --> 00:06:43,980
这些复数也可以相乘，          
102
00:06:44,100 --> 00:06:46,980
正如实数一样.          
103
00:06:47,100 --> 00:06:47,980
请看...          
104
00:06:48,180 --> 00:06:51,180
怎样将一个复数乘以 2.         
105
00:06:51,260 --> 00:06:55,180
2 乘以 1+2i 自然应该       
106
00:06:55,260 --> 00:06:57,180
等于 2+4i 。        
107
00:06:57,260 --> 00:06:59,700
从几何学角度来说,乘 2 非常简单;        
108
00:06:59,780 --> 00:07:01,700
它只是扩大两倍;          
109
00:07:01,780 --> 00:07:04,700
红点扩大两倍,正是绿点!          
110
00:07:11,100 --> 00:07:14,060
乘 i 也并不困难，        
111
00:07:14,180 --> 00:07:17,700
只是相当于转动四分之一圈.          
112
00:07:18,260 --> 00:07:21,180
要将 3+i 乘以 i,       
113
00:07:21,260 --> 00:07:25,700
只需将其转动四分之一圈.          
114
00:07:25,780 --> 00:07:29,700
得到的是 -1+3i 。        
115
00:07:30,780 --> 00:07:33,780
不算复杂吧!          
116
00:07:40,100 --> 00:07:44,060
最后,我们可将任意两个复数相乘          
117
00:07:44,180 --> 00:07:46,060
没有问题吧?          
118
00:07:46,740 --> 00:07:54,700
例如, 把 2+1.5i  与 -1+2.4 i 相乘.   
119
00:07:54,780 --> 00:07:57,700
如通常一样,          
120
00:07:57,780 --> 00:08:03,700
先算乘 2 ,再算乘 1.5i ,然后将结果相加.      
121
00:08:03,780 --> 00:08:06,700
于是我们得到:          
122
00:08:06,780 --> 00:08:09,740
"2乘以..."          
123
00:08:17,700 --> 00:08:19,580
我们得到          
124
00:08:19,740 --> 00:08:26,060
-2 + 4.8 i  + (- 1.5 i + 3.6*i*i)。
125
00:08:26,260 --> 00:08:29,780
但是, 要记得 i 的平方等于 -1,      
126
00:08:29,900 --> 00:08:32,780
所以要把 i*i 换成 -1。       
127
00:08:35,180 --> 00:08:38,180
我们得到:          
128
00:08:38,260 --> 00:08:45,580
-2 -3.6 加上...        
129
00:08:45,620 --> 00:08:48,500
整理一下, 即得到         
130
00:08:48,780 --> 00:08:55,380
-2 -3.6 + 4.8 i - 1.5 i ,  
131
00:08:55,500 --> 00:08:59,380
结果是          
132
00:08:59,500 --> 00:09:05,900
-5.6 + 3.3 i  。     
133
00:09:08,180 --> 00:09:11,060
好了,现在我们能够          
134
00:09:11,180 --> 00:09:13,180
将复数相乘了，          
135
00:09:13,300 --> 00:09:18,260
换句话说,我们能将平面上的点相乘!          
136
00:09:18,380 --> 00:09:20,260
这太不可思议了!          
137
00:09:20,380 --> 00:09:23,260
我们曾认为平面是2维的          
138
00:09:23,380 --> 00:09:24,900
因为需要两个数          
139
00:09:24,980 --> 00:09:27,980
来描述任意一点的位置          
140
00:09:28,100 --> 00:09:30,380
但现在一个数就够了!          
141
00:09:32,100 --> 00:09:35,060
当然,现在涉及到的是复数!          
142
00:09:35,180 --> 00:09:39,060
此时要引进          
143
00:09:40,180 --> 00:09:43,060
两个新概念：          
144
00:09:43,180 --> 00:09:47,060
复数的模和辐角.          
145
00:09:50,940 --> 00:09:54,780
复数 z 的模        
146
00:09:54,940 --> 00:09:58,780
只是原点与 z 点之间的距离.        
147
00:10:00,940 --> 00:10:04,980
测量一下红点的模          
148
00:10:05,100 --> 00:10:08,580
也就是 2 + 1.5 i 的模     
149
00:10:08,980 --> 00:10:11,980
看, 它等于 2.5.        
150
00:10:12,100 --> 00:10:15,060
因此 2 + 1.5 i 的模是 2.5.    
151
00:10:15,100 --> 00:10:18,060
对于蓝点,我们得到 2.6.         
152
00:10:18,100 --> 00:10:21,060
对于绿点,          
153
00:10:21,180 --> 00:10:24,260
红点与蓝点的积，          
154
00:10:24,380 --> 00:10:26,980
我们得到 6.5 。        
155
00:10:28,100 --> 00:10:31,060
这是个规则:两个复数的乘积的模          
156
00:10:31,180 --> 00:10:35,060
正是它们的模的乘积.          
157
00:10:50,940 --> 00:10:52,900
复数的辐角          
158
00:10:52,980 --> 00:10:56,980
是这点和原点的连线，          
159
00:10:57,100 --> 00:10:59,900
与横轴的差角。          
160
00:10:59,980 --> 00:11:03,060
如红色复数的辐角          
161
00:11:03,180 --> 00:11:05,380
是36.8度.          
162
00:11:05,500 --> 00:11:09,380
蓝点的辐角是112.6度.          
163
00:11:09,500 --> 00:11:14,700
它们的乘积,绿点的辐角是149.4度;          
164
00:11:14,780 --> 00:11:19,700
这是两个数的辐角的和...          
165
00:11:27,980 --> 00:11:31,260
两个复数相乘,          
166
00:11:31,380 --> 00:11:35,900
相当于模相乘,辐角相加.          
167
00:11:45,980 --> 00:11:48,900
让我们用球极平面射影          
168
00:11:48,980 --> 00:11:52,900
来完结与复数的首次相遇.          
169
00:11:53,940 --> 00:11:58,780
取一球体,让它在原点与黑板相切.          
170
00:12:01,100 --> 00:12:04,060
对黑板上的每一点,          
171
00:12:04,180 --> 00:12:07,060
使用球极平面射影          
172
00:12:07,180 --> 00:12:10,060
将每个复数,          
173
00:12:10,180 --> 00:12:13,060
对应于球面上的一点.          
174
00:12:13,180 --> 00:12:16,060
只有球体的北极          
175
00:12:16,180 --> 00:12:19,060
也就是投影的极点，          
176
00:12:19,180 --> 00:12:22,700
与任何复数都没有联系。          
177
00:12:22,780 --> 00:12:26,260
我们说它对应于无穷远处.          
178
00:12:27,180 --> 00:12:29,180
数学家们说球面          
179
00:12:29,260 --> 00:12:32,180
是一条复射影直线.          
180
00:12:33,180 --> 00:12:35,060
为什么是直线?          
181
00:12:35,260 --> 00:12:38,180
因为只需一个数来描述它的点!          
182
00:12:38,260 --> 00:12:40,180
为什么是复的?          
183
00:12:40,260 --> 00:12:44,180
因为这些数是复数.          
184
00:12:44,260 --> 00:12:46,180
为什么是射影?          
185
00:12:46,260 --> 00:12:49,500
因为要用射影来加入一个无穷远点.          
186
00:12:49,700 --> 00:12:51,700
数学家们真是怪异，          
187
00:12:51,780 --> 00:12:53,820
竟然说球面是一条直线!           
 

1
00:00:07,540 --> 00:00:11,500
我将为你说明一些变换。   
2
00:00:11,540 --> 00:00:13,500
变换什么?   
3
00:00:13,580 --> 00:00:16,500
嗯,如果你不介意的话,   
4
00:00:16,540 --> 00:00:20,500
我们来变换我的相片。   
5
00:00:20,620 --> 00:00:22,580
先从简单的开始:   
6
00:00:22,620 --> 00:00:25,580
将 z 变换为 z/2。
7
00:00:25,620 --> 00:00:28,620
照片上的每一点都对应着一个复数 z  
8
00:00:28,660 --> 00:00:30,580
经过除 2 运算， 
9
00:00:31,540 --> 00:00:34,500
它变成另外一点。   
10
00:00:34,540 --> 00:00:36,540
因此,这张新的照片。   
11
00:00:36,580 --> 00:00:39,500
不出所料地,   
12
00:00:39,540 --> 00:00:42,500
把我缩小了两倍，   
13
00:00:42,540 --> 00:00:45,580
因为每个 z 都除以了 2!
14
00:00:45,620 --> 00:00:48,580
这个变换叫做位似。   
15
00:00:53,540 --> 00:00:55,740
接下来,做乘 i 变换。 
16
00:00:56,540 --> 00:00:57,660
很简单!   
17
00:00:57,940 --> 00:00:59,740
我们知道乘以 i,  
18
00:01:00,540 --> 00:01:03,700
只是转动四分之一圈。   
19
00:01:04,500 --> 00:01:06,700
模长没变，   
20
00:01:07,500 --> 00:01:10,700
辐角却增大了90度。   
21
00:01:11,580 --> 00:01:14,540
说得这样复杂，   
22
00:01:14,580 --> 00:01:17,580
其实只是转动了照片!   
23
00:01:28,580 --> 00:01:31,580
来吧,更复杂一点儿的...   
24
00:01:31,620 --> 00:01:34,580
乘 1+i 变换。 
25
00:01:37,540 --> 00:01:39,740
你看这个 1+i;  
26
00:01:40,540 --> 00:01:42,740
横坐标为 1,纵坐标也是1:  
27
00:01:43,540 --> 00:01:45,740
辐角是 45 度 
28
00:01:46,540 --> 00:01:49,500
模是..., 由勾股定理，  
29
00:01:49,540 --> 00:01:51,740
根号 2。  
30
00:01:52,500 --> 00:01:54,700
因此,乘 1+i  
31
00:01:54,740 --> 00:01:58,700
是将模长乘以根号 2,  
32
00:01:58,740 --> 00:02:01,740
并将辐角加上 45 度。 
33
00:02:02,540 --> 00:02:08,500
它是一个位似与一个旋转的结合，   
34
00:02:08,540 --> 00:02:11,500
称为--相似变换。   
35
00:02:20,740 --> 00:02:22,700
更有趣的来了!   
36
00:02:22,740 --> 00:02:27,700
把 z 变换为它的平方， 
37
00:02:27,740 --> 00:02:30,700
也就是说 z 乘以 z 。
38
00:02:30,740 --> 00:02:34,700
先将照片   
39
00:02:34,740 --> 00:02:38,700
夹固在坐标轴之间。   
40
00:02:38,740 --> 00:02:41,700
再改变一下焦距。   
41
00:02:41,740 --> 00:02:44,660
因为平方将物体膨胀许多，   
42
00:02:44,700 --> 00:02:48,660
我需要一些空间来解释。   
43
00:02:49,540 --> 00:02:52,740
好了,照片在逐渐地变换。   
44
00:02:53,540 --> 00:02:56,500
注意,z平方的辐角   
45
00:02:56,540 --> 00:02:59,500
是 z 的辐角的两倍。 
46
00:02:59,540 --> 00:03:03,500
因此照片左下角的直角，   
47
00:03:03,540 --> 00:03:06,500
被扩大了两倍，   
48
00:03:06,540 --> 00:03:09,500
变成了平角。   
49
00:03:09,540 --> 00:03:12,500
现把照片放在另一个地方，   
50
00:03:12,540 --> 00:03:16,700
再做 z平方的变换：  
51
00:03:16,740 --> 00:03:20,500
辐角还是扩大了两倍。   
52
00:03:20,540 --> 00:03:22,580
看我的食指，   
53
00:03:23,540 --> 00:03:27,500
变换之前,它的辐角大约为45度   
54
00:03:29,540 --> 00:03:33,500
变换之后,它指向垂直方向,90度。   
55
00:03:33,540 --> 00:03:38,500
注意模长同时也被平方了。   
56
00:03:54,580 --> 00:03:57,540
这是一个新的变换;   
57
00:03:58,580 --> 00:04:02,540
将点 z 送到 -1/z 。
58
00:04:02,580 --> 00:04:05,540
别忘了,复数们可以   
59
00:04:05,580 --> 00:04:09,540
相加,相乘,也可以相除   
60
00:04:09,580 --> 00:04:12,540
(当然了,除了零不能被除以外!)   
61
00:04:13,580 --> 00:04:16,580
这张照片可使你想起西斯廷教堂?   
62
00:04:18,580 --> 00:04:22,580
那些模长很大的复数,   
63
00:04:22,620 --> 00:04:27,580
其逆数将变得很小,反之亦然。   
64
00:04:30,860 --> 00:04:33,580
这里有一个类似的变换。   
65
00:04:33,620 --> 00:04:35,580
看这个公式。   
66
00:04:35,620 --> 00:04:38,580
k 的值逐渐地改变。  
67
00:04:38,620 --> 00:04:40,580
某些部分膨胀起来,   
68
00:04:40,660 --> 00:04:44,580
另一些则收缩了,但如果我们靠近看,   
69
00:04:44,660 --> 00:04:50,500
形状是保持不变的,即使长度有所变化。   
70
00:04:52,540 --> 00:04:56,500
圆依然是圆,即使它变大了:   
71
00:04:56,580 --> 00:04:59,540
我的手变大了,而脸却变小   
72
00:04:59,580 --> 00:05:02,540
但你还是可以认出我吧!   
73
00:05:11,540 --> 00:05:14,740
这个更复杂了。   
74
00:05:22,540 --> 00:05:24,740
呵呵,这可不是一个...   
75
00:05:25,540 --> 00:05:26,740
适用于我的减肥术!   
76
00:05:28,540 --> 00:05:32,500
但是请注意,即使我变胖了,   
77
00:05:32,540 --> 00:05:35,500
那些小部分的形状并没有改变:   
78
00:05:35,540 --> 00:05:38,500
例如,我衬衫上的一粒钮扣，   
79
00:05:38,580 --> 00:05:40,700
它依然保持一个圆的形状。   
80
00:05:41,540 --> 00:05:47,500
这些变换被称为共形的， 或全纯的,  
81
00:05:47,540 --> 00:05:50,540
为了说明它们   
82
00:05:50,580 --> 00:05:52,620
保持形状不变。   
83
00:05:52,660 --> 00:05:54,620
其实,使用复数,   
84
00:05:54,660 --> 00:05:56,620
还可以做许多事情;   
85
00:05:56,660 --> 00:05:58,620
如取指数,   
86
00:05:58,660 --> 00:06:00,620
若你知道它意味着什么!   
87
00:06:00,660 --> 00:06:03,620
即使不知道,也可以看一下   
88
00:06:03,660 --> 00:06:05,620
指数使我遭受的待遇!   
89
00:06:05,660 --> 00:06:07,620
我的头怎么不见了?   
90
00:06:07,660 --> 00:06:11,620
不! 向原点处仔细看，  
91
00:06:11,660 --> 00:06:14,620
可以看到我的胡须。   
92
00:06:15,660 --> 00:06:19,620
现在,你了解复数了   
93
00:06:19,660 --> 00:06:22,620
并已看到了一些变换。   
94
00:06:22,660 --> 00:06:27,540
我将为你解释我最近的研究成果之一。   
95
00:06:27,580 --> 00:06:30,620
你看,这儿有一些点   
96
00:06:30,660 --> 00:06:34,620
一些是蓝色的,在单位圆盘内   
97
00:06:34,660 --> 00:06:37,620
另一些是黄色的,在圆外。   
98
00:06:37,660 --> 00:06:41,540
连续多次运用z平方的变换   
99
00:06:41,580 --> 00:06:43,620
结果呢?   
100
00:06:45,620 --> 00:06:49,580
蓝点仍在圆内，   
101
00:06:49,660 --> 00:06:52,580
黄点则   
102
00:06:52,660 --> 00:06:55,580
远离圆盘,甚至跑出屏幕。   
103
00:07:00,500 --> 00:07:05,700
蓝色圆盘被称为 z平方的  
104
00:07:06,500 --> 00:07:08,700
填充Julia集。   
105
00:07:08,740 --> 00:07:11,700
位于Julia 集外的点  
106
00:07:11,740 --> 00:07:16,500
在无休止地重复变换下,越跑越远。   
107
00:07:17,580 --> 00:07:20,540
也可用其它的变换玩同样的游戏;   
108
00:07:20,580 --> 00:07:24,540
例如,像那些z平方加上c的形式   
109
00:07:24,580 --> 00:07:28,540
c是事先挑选的一个复数。   
110
00:07:29,540 --> 00:07:33,740
对于每个 c, 都有一个Julia 集，
111
00:07:34,540 --> 00:07:36,740
它的形状随 c 变化。
112
00:07:38,540 --> 00:07:40,740
你看， 这儿有些例子。  
113
00:08:12,540 --> 00:08:14,740
这个,我给它取名兔子!   
114
00:08:53,540 --> 00:08:55,740
为了更好地理解它们形状的改变,   
115
00:08:56,540 --> 00:08:58,740
请同时看两个东西：   
116
00:08:59,540 --> 00:09:01,740
左边,红色的那边,   
117
00:09:02,540 --> 00:09:04,740
有点 c 。 
118
00:09:05,540 --> 00:09:07,740
它将移动。   
119
00:09:08,540 --> 00:09:11,500
右边是与之对应的Julia 集:  
120
00:09:11,580 --> 00:09:14,500
当 c 改变时， 
121
00:09:14,580 --> 00:09:16,500
它逐渐变形。   
122
00:09:16,540 --> 00:09:19,500
对于某些 c , 
123
00:09:19,540 --> 00:09:21,620
它似乎   
124
00:09:21,660 --> 00:09:24,500
消失了,   
125
00:09:24,540 --> 00:09:26,500
正如现在。   
126
00:09:26,540 --> 00:09:29,500
事实上,Julia 集  
127
00:09:29,540 --> 00:09:32,500
分裂为无限个小块   
128
00:09:32,580 --> 00:09:35,500
小到肉眼看不见。   
129
00:09:35,540 --> 00:09:40,500
是 Benoit Mandelbrot 普及了分形集合,
130
00:09:40,540 --> 00:09:43,500
并提议研究红色的集合   
131
00:09:43,540 --> 00:09:47,500
这个集合描绘的 c 值 
132
00:09:47,540 --> 00:09:51,500
正是可以"被看到"的Julia 集的c值，  
133
00:09:51,540 --> 00:09:55,500
也就是说,那些没有分裂为   
134
00:09:55,540 --> 00:09:58,700
许多小块的Julia 集的c值。  
135
00:09:59,500 --> 00:10:01,540
这个红色集合被称为   
136
00:10:01,580 --> 00:10:06,500
Mandelbrot 集合,我曾花了许多时间来研究它。  
137
00:10:06,540 --> 00:10:09,500
最后,我建议你来看一下   
138
00:10:09,540 --> 00:10:12,500
这个Mandelbrot集合,近些,再近些,   
139
00:10:12,540 --> 00:10:15,500
并且进入其中   
140
00:10:15,540 --> 00:10:19,500
来欣赏它无比的美丽...   
141
00:10:19,540 --> 00:10:21,500
来吧,出发咯!   
142
00:10:21,540 --> 00:10:23,500
看...   
143
00:10:25,540 --> 00:10:27,740
这一次,我不再为你解释所有的细节。   
144
00:10:28,540 --> 00:10:30,620
设想它是一个黑色岛屿,   
145
00:10:30,660 --> 00:10:33,500
被热带海洋环绕着,   
146
00:10:33,540 --> 00:10:37,620
并且你可以看到它在海面下的底部。   
147
00:10:46,540 --> 00:10:50,500
我跟你说,你正在观察一些   
148
00:10:50,540 --> 00:10:52,500
极其微小的细节...   
149
00:10:52,540 --> 00:10:56,500
如果Mandelbrot集合有一个足球场那么大,   
150
00:10:56,580 --> 00:11:00,500
那么,我们将观察一个原子大小的细节;   
151
00:11:00,540 --> 00:11:03,500
大约是百万分之一毫米!   
152
00:12:14,580 --> 00:12:16,500
也许你会问，   
153
00:12:16,540 --> 00:12:18,620
为什么我会对它产生兴趣?   
154
00:12:18,660 --> 00:12:21,620
首先,因为它很美丽   
155
00:12:21,660 --> 00:12:23,620
并且对于这个课题的研究，   
156
00:12:23,660 --> 00:12:26,620
给了我很多快乐。   
157
00:12:26,660 --> 00:12:29,580
这个理由已足够使我在这个问题上花费时间了。   
158
00:12:29,620 --> 00:12:33,540
并且,这些看似简单的变换，   
159
00:12:33,580 --> 00:12:37,540
却蕴含了   
160
00:12:37,580 --> 00:12:40,540
混沌学中的精华。   
161
00:12:40,580 --> 00:12:43,540
是的，简单物体   
162
00:12:43,580 --> 00:12:46,500
可产生丰富结构!   
163
00:12:46,540 --> 00:12:49,540
通过简单的化身   
164
00:12:49,580 --> 00:12:52,580
来研究复杂的现象,   
165
00:12:52,620 --> 00:12:55,580
这正是数学家们通常所扮演的角色。    
 

1
00:00:09,540 --> 00:00:12,180
这些 空间中的圆周，      
2
00:00:12,220 --> 00:00:16,260
将组成美丽的曲面。       
3
00:00:17,620 --> 00:00:20,580
为了理解四维空间中的       
4
00:00:20,700 --> 00:00:23,700
三维球面,       
5
00:00:23,740 --> 00:00:28,700
我将用圆环填满它，       
6
00:00:28,740 --> 00:00:33,780
以此方式构成称为"纤维丛"的物体。       
7
00:00:34,540 --> 00:00:36,980
对了,我叫 Heinz Hopf     
8
00:00:37,100 --> 00:00:40,980
生活在二十世纪上半叶。       
9
00:00:41,020 --> 00:00:44,500
我参与发展了拓扑学。       
10
00:00:46,700 --> 00:00:49,700
看这个环面,       
11
00:00:49,740 --> 00:00:52,700
似乎被一些缠绕在一起的圆周填满。        ---      
12
00:00:55,780 --> 00:00:58,780

13
00:00:59,780 --> 00:01:04,780
圆周,球面和环面属于       
14
00:01:04,820 --> 00:01:07,780
最简单的物体。       
15
00:01:08,780 --> 00:01:11,780
且互相关联。       
16
00:01:13,780 --> 00:01:17,780
我曾在柏林、普林斯顿和苏黎世工作,       
17
00:01:17,940 --> 00:01:20,780
当代数学文献中，时常会出现：       
18
00:01:20,820 --> 00:01:29,780
Poincaré-Hopf 定理, Hopf 不变量, Hopf 代数, Hopf 纤维丛， 等等。
19
00:01:34,540 --> 00:01:36,500
这是我的画像。       
20
00:01:37,540 --> 00:01:43,500
我在1931年发表了关于"我的"纤维丛的发现。       
21
00:01:48,780 --> 00:01:52,780
当然，这也倚仗着       
22
00:01:52,820 --> 00:01:56,780
许多前辈们的工作,如 Clifford。      
23
00:01:56,900 --> 00:01:59,900
他在19世纪的英国工作。       
24
00:02:12,700 --> 00:02:17,700
让我先从白色的黑板开始解释。       
25
00:02:17,740 --> 00:02:18,700
这是 ?      
26
00:02:18,740 --> 00:02:22,700
一个 2 维平面?     
27
00:02:22,740 --> 00:02:24,700
嗯... 是,也不是!      
28
00:02:24,740 --> 00:02:26,700
因为它是...       
29
00:02:26,740 --> 00:02:29,060
一个复2维平面,       
30
00:02:29,180 --> 00:02:31,980
即一个实 4 维空间。     
31
00:02:32,100 --> 00:02:34,060
来,努力一下!       
32
00:02:34,100 --> 00:02:38,060
这其中每点由两个坐标确定;       
33
00:02:38,100 --> 00:02:42,060
而每个坐标都是一个复数，       
34
00:02:42,100 --> 00:02:45,580
即由两个实数定义。       
35
00:02:45,620 --> 00:02:47,900
画面上每条轴都是一条复直线;       
36
00:02:47,940 --> 00:02:51,900
其上每点都有一个坐标，       
37
00:02:51,940 --> 00:02:55,900
它是一个复数。       
38
00:02:56,540 --> 00:03:02,500
这是横轴上的点 2 - i 。   
39
00:03:13,540 --> 00:03:16,500
看另一条轴,即纵轴，       
40
00:03:16,540 --> 00:03:21,500
这是它上的点 1 - 2i 。   
41
00:03:26,540 --> 00:03:28,980
黑板虽是魔幻的,       
42
00:03:29,020 --> 00:03:32,500
可还不能同时显示两个平面。       
43
00:03:32,620 --> 00:03:36,180
它们在三维里沿着一条直线相交，       
44
00:03:36,220 --> 00:03:39,580
但在四维空间,它们只在原点相交，       
45
00:03:39,620 --> 00:03:42,580
毕竟,它们是轴线!       
46
00:03:48,620 --> 00:03:50,580
这又是什么?       
47
00:03:50,620 --> 00:03:53,580
一个圆周? 是... 也不是!     
48
00:03:54,620 --> 00:03:59,580
应该试想，它在四维空间中，       
49
00:03:59,620 --> 00:04:02,580
且与原点的距离恒为 1。      
50
00:04:02,620 --> 00:04:05,580
它不是别的,       
51
00:04:05,780 --> 00:04:09,580
正是三维球面 S3 !     
52
00:04:10,540 --> 00:04:14,380
这需要一点儿想像力...       
53
00:04:20,700 --> 00:04:26,260
试想一下这 S3 怎样与横轴相交。     
54
00:04:28,540 --> 00:04:31,500
在截取横轴时，       
55
00:04:31,540 --> 00:04:38,700
其截面为这轴上与原点距离为 1 的点集。     
56
00:04:46,540 --> 00:04:50,500
所以... , 是一个圆周。     
57
00:04:54,620 --> 00:04:57,580
对于纵轴也是如此，       
58
00:04:57,620 --> 00:05:03,580
它与 S3 也在一个圆周上相遇,蓝圆周。     
59
00:05:07,700 --> 00:05:11,700
对于水平和垂直直线是如此,       
60
00:05:11,740 --> 00:05:16,700
对于其它过原点的直线也是如此。       
61
00:05:29,380 --> 00:05:34,380
如这条直线的方程是 z_2 = -2 z_1 。  
62
00:05:34,420 --> 00:05:40,380
实际上，对应于所有直线 z_2 = a z_1 都有一个圆周，  
63
00:05:40,540 --> 00:05:44,500
而且 a 可以取任何复数。     
64
00:05:44,860 --> 00:05:49,500
因此,在四维空间中的球面 S3，      
65
00:05:49,540 --> 00:05:52,500
是被一些圆周填满的 ;      
66
00:05:52,540 --> 00:05:56,500
在过原点的每条复直线上       
67
00:05:56,540 --> 00:05:58,500
都有一个圆周。       
68
00:05:58,540 --> 00:06:03,500
小心! 似乎这些圆周彼此相交，      
69
00:06:03,580 --> 00:06:05,500
然而在四维空间中，       
70
00:06:05,580 --> 00:06:09,500
两条直线只在原点相交,       
71
00:06:09,540 --> 00:06:12,500
因此,它们各自包含的单位圆周，       
72
00:06:12,540 --> 00:06:14,500
并不相交。       
73
00:06:14,540 --> 00:06:17,500
如此把 S3 分解为许多圆周，     
74
00:06:17,540 --> 00:06:20,500
是我首先发现的。       
75
00:06:20,540 --> 00:06:24,500
因此它被称为 Hopf  纤维丛。    
76
00:06:24,540 --> 00:06:26,500
叫纤维丛， 是因为      
77
00:06:26,540 --> 00:06:29,500
它很像织品的纤维。       
78
00:06:29,540 --> 00:06:33,580
现用球极投影来观察它。       
79
00:06:33,620 --> 00:06:38,060
试想从北极将 S3 投影到     
80
00:06:38,100 --> 00:06:43,060
南极的正切空间， 即是我们的三维空间。      
81
00:06:43,100 --> 00:06:48,060
这是其中一个圆周的投影。       
82
00:06:48,100 --> 00:06:51,380
即一条复直线和 S3 的交点的投影。     
83
00:06:51,540 --> 00:06:53,980
有很多这样的圆周。
84
00:06:54,020 --> 00:06:58,500
在每条过原点的复直线上，也就是  
85
00:06:58,620 --> 00:07:00,980
每给一个复数 a ,     
86
00:07:01,020 --> 00:07:05,500
就有一个 S3 与直线 z_2 = a z_1 的相交圆周。
87
00:07:05,620 --> 00:07:09,380
变动 a 值, （或变动这条直线），    
88
00:07:09,420 --> 00:07:13,580
圆周投影也随之改变。       
89
00:07:15,540 --> 00:07:18,500
有时甚至变成了一条直线。       
90
00:07:18,540 --> 00:07:22,500
这是因为它经过了 S3 的北极。     
91
00:07:29,620 --> 00:07:32,700
现在同时观察两个圆周。       
92
00:07:32,780 --> 00:07:38,500
左下角的红绿两点代表两个复数 a ，     
93
00:07:40,620 --> 00:07:43,580
红点对应于红圆周。       
94
00:07:43,620 --> 00:07:47,780
绿点对应于绿圆周。       
95
00:07:47,980 --> 00:07:51,980
而且, 如同链子上的两个环，      
96
00:07:52,020 --> 00:07:54,260
它们总是相互缠绕着，       
97
00:07:54,300 --> 00:07:57,260
不打碎不可能被分开。       
98
00:08:05,980 --> 00:08:08,980
更美妙的是，可让三个圆周       
99
00:08:09,020 --> 00:08:14,900
同时翩翩起舞。       
100
00:08:50,700 --> 00:08:53,700
现取众多的复直线,       
101
00:08:53,740 --> 00:08:55,700
显出众多的圆周。       
102
00:08:55,740 --> 00:08:58,700

103
00:09:08,540 --> 00:09:10,500
它们填满了整个空间。   
104
00:09:10,540 --> 00:09:14,900
且两两不相交。       
105
00:09:14,980 --> 00:09:18,980
这就是一个纤维结构的例子。       
106
00:10:04,540 --> 00:10:06,900
下面我们       
107
00:10:06,940 --> 00:10:10,500
暂且回到黑板。       
108
00:10:10,540 --> 00:10:13,500
看, 每条线上有一个Hopf 圆周。     
109
00:10:14,540 --> 00:10:18,060
可用方程 z_2 = a z_1 代表此线 , 
110
00:10:18,100 --> 00:10:21,060
a  是复数,     
111
00:10:21,100 --> 00:10:22,500
代表直线的斜率，       
112
00:10:22,540 --> 00:10:26,500
用标在绿线上的红点表示。       
113
00:10:26,540 --> 00:10:30,380
纵轴没有这样的方程，       
114
00:10:30,420 --> 00:10:33,580
但可被想象为斜率为无穷大。       
115
00:10:35,540 --> 00:10:38,580
别忘了,a 是一复数。      
116
00:10:38,620 --> 00:10:42,500
绿线是一条复直线,       
117
00:10:42,540 --> 00:10:46,500
也就是一个实平面。       
118
00:10:47,540 --> 00:10:50,980
每条与 S3 相交的复直线，     
119
00:10:51,020 --> 00:10:52,980
都被绿线上的一点，       
120
00:10:53,020 --> 00:10:54,980
完全刻划，       
121
00:10:55,020 --> 00:10:57,980
别忘了加上在无穷远处的一点。       
122
00:11:17,260 --> 00:11:20,260
而加上这点以后，       
123
00:11:20,300 --> 00:11:23,260
绿色直线即变成了二维球面。       
124
00:11:25,540 --> 00:11:28,500
这正是三维中的球极投影。       
125
00:11:40,780 --> 00:11:43,780
因此,与 S3 相交的复直线，     
126
00:11:43,820 --> 00:11:47,780
可用黄色球面上的点表示。       
127
00:11:47,820 --> 00:11:50,500
即对应于二维球面上的每一点,       
128
00:11:56,780 --> 00:12:00,900
都有一个 S3 上的圆周。     
129
00:12:00,940 --> 00:12:03,060
圆周也可以说是,       
130
00:12:03,100 --> 00:12:06,580
一维球面,不是吗?       
131
00:12:06,700 --> 00:12:09,700
这些圆周填满了 S3，      
132
00:12:09,740 --> 00:12:14,260
每一点又都只属于一个圆，       
133
00:12:14,300 --> 00:12:17,260
其又对应于二维球面上的一点。       
134
00:12:21,900 --> 00:12:23,900
这样,我们就得到了       
135
00:12:23,940 --> 00:12:28,900
一个从 S3 到 S2 的投影。   
136
00:12:28,980 --> 00:12:31,980
很复杂吧?       
137
00:12:32,260 --> 00:12:36,580
数学家们说 S2 每一点的上方     
138
00:12:36,620 --> 00:12:39,580
都挂有一个圆周纤维。       
139
00:12:39,700 --> 00:12:45,700
它们全体正好组成三维球面。       
140
00:12:47,780 --> 00:12:50,780
我对这纤维丛真是非常自豪，       
141
00:12:50,820 --> 00:12:52,780
更何况,       
142
00:12:52,820 --> 00:12:58,700
她早已成为了拓扑学的一个基础课题!        
 

1
00:00:10,540 --> 00:00:13,060
再来看 S2 球面和它的纬线。
2
00:00:14,220 --> 00:00:15,980
S2中每一点的上方,    
3
00:00:16,020 --> 00:00:17,700
都可想像一个 Hopf 圆周。
4
00:00:19,540 --> 00:00:23,060
看, 这是其中一条纬线 
5
00:00:23,100 --> 00:00:24,700
(例如赤道)上方的圆周们。  
6
00:00:26,740 --> 00:00:28,580
这是另一条纬线对应的圆周。  
7
00:00:28,620 --> 00:00:30,580
它们正向南极移动。  
8
00:00:31,540 --> 00:00:34,500
为什么这个环面似乎变得越来越小?  
9
00:00:35,020 --> 00:00:36,500
因为在南极的上方,  
10
00:00:36,540 --> 00:00:38,500
只有一个圆周。  
11
00:01:13,740 --> 00:01:18,900
而在北极上方,我们看到一条红色直线,  
12
00:01:18,940 --> 00:01:25,980
其实它是一个经过无穷远处的圆周。  
13
00:02:02,540 --> 00:02:05,500
现在让我们转动它们。  
14
00:02:05,820 --> 00:02:08,500
当然啦,  
15
00:02:08,540 --> 00:02:11,500
是在四维空间中的旋转。  
16
00:03:08,780 --> 00:03:12,780
实际上这些图片中的一部分  
17
00:03:12,940 --> 00:03:15,780
在很久以前就已被大众所知。  
18
00:03:15,820 --> 00:03:18,780
人们将环面上四个圆周族的存在  
19
00:03:18,820 --> 00:03:21,780
归功于Villarceau侯爵,  
20
00:03:21,820 --> 00:03:24,700
而一些更早的迹象，  
21
00:03:24,740 --> 00:03:27,380
可在史特拉斯堡大教堂的一个雕刻品中看到。  
22
00:03:47,820 --> 00:03:50,980
让我们取一个旋转环面:  
23
00:03:51,020 --> 00:03:53,700
它由一个圆周围绕一根  
24
00:03:53,740 --> 00:03:58,980
对称轴旋转所得。  
25
00:04:24,740 --> 00:04:27,580
现用一个平面切割环面。  
26
00:04:29,740 --> 00:04:32,500
注意我是怎样选取这个平面的。  
27
00:04:32,740 --> 00:04:35,500
我们说它与环面双切,  
28
00:04:35,740 --> 00:04:38,500
因为它准确地在两点正切。  
29
00:05:21,740 --> 00:05:23,980
注意看哦,  
30
00:05:24,020 --> 00:05:27,980
此平面沿着两个完美圆周切开环面。  
31
00:05:29,540 --> 00:05:31,500
这就是 Villarceau 定理 :
32
00:05:31,540 --> 00:05:37,500
一个与环面双切的平面将环面沿着两个圆周切开。  
33
00:06:27,540 --> 00:06:31,500
当然,并不只有一个双切平面。  
34
00:06:31,540 --> 00:06:37,500
这儿有另一个,将环面沿着另外两个Villarceau圆周切开。  
35
00:06:55,780 --> 00:06:59,780
还有很多个双切平面 : 
36
00:06:59,940 --> 00:07:01,380
只需饶着对称轴旋转。  
37
00:07:15,940 --> 00:07:18,500
你看,环面上的每一点  
38
00:07:18,540 --> 00:07:21,500
经过四个圆周,  
39
00:07:21,540 --> 00:07:24,500
由一些恰当的平面截得。  
40
00:07:28,700 --> 00:07:31,700
一个是平行环,  
41
00:07:34,540 --> 00:07:37,500
一个是子午环,  
42
00:07:40,020 --> 00:07:41,500
接着是第一个 Villarceau 圆周
43
00:07:45,380 --> 00:07:47,380
和另一个。  
44
00:07:55,220 --> 00:07:57,700
对环面上的任意一点如法炮制,  
45
00:07:57,740 --> 00:08:02,900
即可看到环面被四个圆周族覆盖。  
46
00:08:04,540 --> 00:08:07,500
两个同族圆周不会相遇。  
47
00:08:07,540 --> 00:08:11,700
蓝圆周与红圆周只在一点相遇。  
48
00:08:13,620 --> 00:08:17,500
黄圆周与白圆周在两点相遇:  
49
00:08:17,540 --> 00:08:20,500
它们是 Villarceau 圆周。
50
00:08:39,260 --> 00:08:42,380
注意看这些黄色圆周:  
51
00:08:42,420 --> 00:08:45,380
它们正是 Hopf  圆周!
52
00:08:45,420 --> 00:08:48,380
还记得刚才在一条纬线  
53
00:08:48,420 --> 00:08:51,180
上方出现的纤维们吗?  
54
00:08:51,220 --> 00:08:54,380
它是一个被互相缠绕的圆周填满的环面,  
55
00:08:54,420 --> 00:08:58,380
正如这个被黄色圆周填满的环面。  
56
00:09:01,540 --> 00:09:04,500
那么,白色圆周是什么呢?  
57
00:09:04,540 --> 00:09:07,500
它们是另一个Hopf纤维化的纤维!  
58
00:09:07,620 --> 00:09:12,580
是黄色圆周的镜面反射。  
59
00:09:41,540 --> 00:09:43,500
最后，取出一个  
60
00:09:43,740 --> 00:09:45,500
旋转环面,  
61
00:09:45,540 --> 00:09:48,500
与它的四个圆周族,  
62
00:09:49,420 --> 00:09:50,500
并在三维球面中想像它,  
63
00:09:50,540 --> 00:09:53,500
接着,在四维空间中转动球面,  
64
00:09:53,860 --> 00:09:56,540
再使用球极投影  
65
00:09:56,580 --> 00:09:59,500
投回到三维空间中来。  
66
00:09:59,580 --> 00:10:02,540
这样,我们得到一些面  
67
00:10:02,580 --> 00:10:05,540
同样被四个圆周族覆盖:  
68
00:10:05,580 --> 00:10:08,540
它们是 Dupin 四次圆纹曲面。
69
00:10:29,580 --> 00:10:32,540
有时,当环面经过投影极点时  
70
00:10:32,580 --> 00:10:35,540
其投影经过无穷远处...  
71
00:10:46,700 --> 00:10:51,540
这时,它的内外两面甚至可以交换位置。  
72
00:10:54,700 --> 00:10:59,580
环面内面是粉色的,外面是绿色的。  
73
00:11:28,580 --> 00:11:31,540
嘿嘿,一个在四维空间中的简单旋转，  
74
00:11:31,620 --> 00:11:34,580
就把绿色变成粉色而粉色变成了绿色!  
75
00:11:37,620 --> 00:11:40,580
难道这不壮观吗?!   
 

1
00:00:13,540 --> 00:00:15,500
来做一些数学吧,    
2
00:00:15,540 --> 00:00:19,500
首先,证明一些我们已经肯定的东西。    
3
00:00:19,580 --> 00:00:21,260
我们看到,    
4
00:00:21,300 --> 00:00:23,500
球极射影    
5
00:00:23,540 --> 00:00:25,500
将球面上    
6
00:00:25,540 --> 00:00:27,500
不过极点的的圆    
7
00:00:27,540 --> 00:00:29,500
变为平面上的圆。    
8
00:00:29,540 --> 00:00:32,500
现在,我们来证明它。    
9
00:00:33,980 --> 00:00:36,980
即使这个定理早已闻名于世,    
10
00:00:37,020 --> 00:00:39,980
让我,贝恩哈德·黎曼,    
11
00:00:40,020 --> 00:00:42,980
来为你描述它。    
12
00:00:43,020 --> 00:00:44,980
人们常以我为荣地说起    
13
00:00:45,020 --> 00:00:47,380
黎曼球面。    
14
00:00:48,580 --> 00:00:51,500
证明比说明要复杂得多。    
15
00:00:52,540 --> 00:00:55,500
图像上看到一个像圆的曲线，    
16
00:00:55,580 --> 00:00:59,500
还不足以证明，    
17
00:00:59,540 --> 00:01:04,500
它确实是个圆。    
18
00:01:04,540 --> 00:01:06,500
必须通过    
19
00:01:06,540 --> 00:01:09,500
一个严格推理，    
20
00:01:09,540 --> 00:01:13,500
来证明它确实是个圆。    
21
00:01:14,540 --> 00:01:17,500
是伟大的欧几里得,    
22
00:01:17,540 --> 00:01:20,500
在耶稣诞生之前的第三世纪,    
23
00:01:20,540 --> 00:01:23,500
在他名为"元素"的书中,    
24
00:01:23,540 --> 00:01:26,500
将数学的规则公式化。    
25
00:01:26,540 --> 00:01:29,500
证明必须倚靠一些事实    
26
00:01:29,540 --> 00:01:33,500
而这些事实本身也必须被证明。    
27
00:01:33,540 --> 00:01:37,500
然而,我们必须从一些东西开始,    
28
00:01:37,540 --> 00:01:41,500
并且接受一些不必证明的断言:    
29
00:01:41,580 --> 00:01:44,500
这些就是公理。    
30
00:01:44,540 --> 00:01:46,500
因此,数学是    
31
00:01:46,540 --> 00:01:49,580
一个巨大的建筑，    
32
00:01:49,620 --> 00:01:52,500
它的基础是公理，    
33
00:01:52,540 --> 00:01:55,980
且每块砖建立于前一块的基础之上。    
34
00:01:56,380 --> 00:02:00,900
为了证明球极射影定理,    
35
00:02:00,940 --> 00:02:04,060
原则上我们必须从公理开始证明!    
36
00:02:04,580 --> 00:02:07,500
当然,我们没有时间这样做...    
37
00:02:07,540 --> 00:02:12,500
我们要用中学里所学的    
38
00:02:12,540 --> 00:02:15,500
几何定理，    
39
00:02:15,540 --> 00:02:18,580
来证明我们的定理。    
40
00:02:28,100 --> 00:02:31,060
先从简单的开始：    
41
00:02:31,100 --> 00:02:35,060
球面和平面的交集：    
42
00:02:36,100 --> 00:02:40,060
当一个平面截取一个球面时,    
43
00:02:40,100 --> 00:02:43,060
若它不与球面相切,    
44
00:02:43,100 --> 00:02:46,060
交集定是一个圆周。    
45
00:02:46,100 --> 00:02:47,100
很显然吧?    
46
00:02:47,140 --> 00:02:49,060
肯定对吗?    
47
00:02:49,100 --> 00:02:52,060
这可需要一个证明。    
48
00:02:57,660 --> 00:03:00,580
为此,取一个蓝色平面。    
49
00:03:04,580 --> 00:03:09,500
从球的中心点C    
50
00:03:09,540 --> 00:03:13,500
引垂线到蓝面上。    
51
00:03:13,540 --> 00:03:18,500
称点P为这垂线的垂足。    
52
00:03:18,700 --> 00:03:22,700
在球面和蓝面的交集中    
53
00:03:22,740 --> 00:03:27,700
选取两点,A和B    
54
00:03:27,740 --> 00:03:34,500
观察两个三角形CPA和CPB。    
55
00:03:34,540 --> 00:03:38,500
它们有一条公共边:CP。    
56
00:03:38,540 --> 00:03:43,500
且都是直角三角形,    
57
00:03:43,540 --> 00:03:46,500
因为P点的角是一个直角，    
58
00:03:46,980 --> 00:03:49,980
由于蓝面与CP垂直。    
59
00:03:50,020 --> 00:03:55,980
同时,两条斜边，AC 和 BC 长度相等， 
60
00:03:56,020 --> 00:04:00,980
因为 A 和 B 同在球面上，
61
00:04:01,020 --> 00:04:03,700
必与中心点 C 等距。  
62
00:04:03,740 --> 00:04:06,060
回忆一下勾股定理!    
63
00:04:06,180 --> 00:04:08,380
由于这两个直角三角形    
64
00:04:08,420 --> 00:04:10,900
有两条等长的边,    
65
00:04:10,940 --> 00:04:14,580
它们的第三条边长也相等!    
66
00:04:14,700 --> 00:04:16,700
因此,我们证明了    
67
00:04:16,740 --> 00:04:19,700
PA和PB等长，    
68
00:04:19,740 --> 00:04:22,700
即 A 和 B 在同一个
69
00:04:22,780 --> 00:04:24,700
以 P 为圆心的  
70
00:04:24,740 --> 00:04:26,700
蓝面上的圆周上。    
71
00:04:26,740 --> 00:04:28,700
因此,我们证明了    
72
00:04:28,740 --> 00:04:30,700
所有同时在球面    
73
00:04:30,740 --> 00:04:32,700
和蓝面上的点    
74
00:04:32,740 --> 00:04:35,700
同属于一个圆周。    
75
00:04:36,580 --> 00:04:38,500
这是不是意味着    
76
00:04:38,540 --> 00:04:40,780
这个圆周上所有的点    
77
00:04:40,820 --> 00:04:44,500
都同在球面和平面上?    
78
00:04:44,540 --> 00:04:47,500
不!我们还需要    
79
00:04:47,540 --> 00:04:49,500
来证明它!    
80
00:04:55,620 --> 00:04:59,500
设 A 是球面与平面交集中的一点。  
81
00:04:59,540 --> 00:05:02,500
取蓝面中过 A 的圆周  
82
00:05:02,540 --> 00:05:05,500
以 P 为圆心。  
83
00:05:06,540 --> 00:05:08,500
需证明这个圆周    
84
00:05:08,540 --> 00:05:10,500
包含在球面中。    
85
00:05:15,540 --> 00:05:19,260
设 B 是圆周上的一点  
86
00:05:22,580 --> 00:05:27,500
观察两个三角形CPA和CPB。    
87
00:05:27,540 --> 00:05:32,500
它们有一条公共边 CP，   
88
00:05:32,540 --> 00:05:35,500
且都是直角三角形,    
89
00:05:35,540 --> 00:05:38,500
因为P点的角是一个直角。   
90
00:05:38,540 --> 00:05:42,500
同时 PA 和 PB 长度相等
91
00:05:42,540 --> 00:05:46,500
因为 A，B 同在一个以 P 为圆心的圆周上。
92
00:05:46,540 --> 00:05:48,500
再次使用勾股定理,    
93
00:05:48,540 --> 00:05:50,500
可推得两条斜边    
94
00:05:50,540 --> 00:05:52,500
有相同的长度。    
95
00:05:52,540 --> 00:05:55,500
CA等于CB。    
96
00:05:55,540 --> 00:05:58,500
也就是说    
97
00:05:58,540 --> 00:06:01,500
B  也在球面上，  
98
00:06:01,540 --> 00:06:05,500
因它到中心点的距离与 A 相同。  
99
00:06:05,540 --> 00:06:07,500
这就证明了    
100
00:06:07,540 --> 00:06:09,980
平面和球面之交，    
101
00:06:10,020 --> 00:06:12,980
必是一个圆周。    
102
00:06:13,100 --> 00:06:16,500
取一直径APB，    
103
00:06:16,540 --> 00:06:20,500
并且将它置于屏幕平面中。    
104
00:06:20,780 --> 00:06:23,780
蓝面在屏幕中以一条直线出现    
105
00:06:23,820 --> 00:06:26,780
球面则成为一个圆。    
106
00:06:28,740 --> 00:06:33,580
画出圆在 A,B 两点的切线。  
107
00:06:33,620 --> 00:06:36,580
它们相交在某点 S。   
108
00:06:38,620 --> 00:06:42,500
显然,直线CS仍是    
109
00:06:42,540 --> 00:06:45,500
我们图像的一条对称线。    
110
00:06:45,540 --> 00:06:47,500
为什么呢?    
111
00:06:47,540 --> 00:06:51,980
嗯... 因为三角形 CAS 和 CBS 全等!
112
00:06:52,020 --> 00:06:55,980
为什么? 嗯... 因为  
113
00:06:56,020 --> 00:06:57,980
它们是两个直角三角形    
114
00:06:58,020 --> 00:06:59,980
有一条公共斜边    
115
00:07:00,020 --> 00:07:02,980
且 CA 和 CB 等长!
116
00:07:04,020 --> 00:07:04,980
为什么?    
117
00:07:05,020 --> 00:07:07,980
嗯... 因为它们是两条半径。   
118
00:07:08,020 --> 00:07:09,980
你看,    
119
00:07:10,020 --> 00:07:12,980
若必须走到论据的尽头,    
120
00:07:13,020 --> 00:07:16,980
这部影片将会是电影史上最长的一部。    
121
00:07:17,020 --> 00:07:17,980
看!    
122
00:07:18,020 --> 00:07:21,980
我们证明了球面上的圆周    
123
00:07:22,020 --> 00:07:23,980
总可被理解为    
124
00:07:24,020 --> 00:07:26,980
一圆锥面与球面    
125
00:07:27,020 --> 00:07:29,980
相切的交线。    
126
00:07:31,100 --> 00:07:35,060
球面正如一个    
127
00:07:35,100 --> 00:07:37,060
蛋筒中的冰淇淋。    
128
00:07:37,100 --> 00:07:40,060
好了,言归正传,    
129
00:07:40,100 --> 00:07:42,060
别忘了我们的目的!    
130
00:07:42,100 --> 00:07:45,060
证明球极射影    
131
00:07:45,100 --> 00:07:48,060
将圆周投射为圆周!    
132
00:07:48,580 --> 00:07:50,620
先证明一个，    
133
00:07:50,660 --> 00:07:52,500
数学家常说的，    
134
00:07:52,540 --> 00:07:54,500
引理 :   
135
00:07:55,540 --> 00:07:57,980
这是球面在某点 A 的切面  
136
00:07:58,020 --> 00:08:02,500
从侧面看过去。    
137
00:08:09,260 --> 00:08:12,260
这儿是在另一点 B 的切面，  
138
00:08:12,300 --> 00:08:16,380
同样从它的侧面看。    
139
00:08:16,420 --> 00:08:21,380
这两个切面相交于一条直线 d,   
140
00:08:21,420 --> 00:08:24,380
此时只能看到一个点，    
141
00:08:24,420 --> 00:08:27,380
由于这条直线与屏幕垂直。    
142
00:08:27,820 --> 00:08:29,780
你看到的这个图形    
143
00:08:29,820 --> 00:08:31,780
关于两条切线的等分线    
144
00:08:31,820 --> 00:08:33,780
对称。    
145
00:08:34,580 --> 00:08:37,500
这个三维图形    
146
00:08:37,540 --> 00:08:41,500
关于两个切面的等分面对称。    
147
00:08:54,540 --> 00:08:58,500
取一包含线段 AB 的平面，  
148
00:08:58,540 --> 00:09:02,500
它与直线 d 在某点 M 相交
149
00:09:05,540 --> 00:09:09,500
当然除非它平行于 d 。  
150
00:09:09,900 --> 00:09:12,900
关于等分面的对称性，    
151
00:09:12,940 --> 00:09:17,900
说明了 AM 和 BM 有相同的长度。
152
00:09:17,940 --> 00:09:23,900
即 ABM 是等腰三角形。  
153
00:09:23,940 --> 00:09:26,900
这正是我们的引理!    
154
00:09:26,940 --> 00:09:30,900
好,现在可以证明    
155
00:09:30,940 --> 00:09:34,900
我们的定理了。    
156
00:09:35,580 --> 00:09:38,500
取球面上一个不过北极的圆周。    
157
00:09:38,580 --> 00:09:42,500
我们想证明它的投影是一个圆周。    
158
00:09:53,580 --> 00:09:58,500
如果不投到南极切面    
159
00:09:58,540 --> 00:10:01,500
而投到一个与其平行的平面上，    
160
00:10:01,540 --> 00:10:04,500
著名的泰勒斯定理    
161
00:10:04,540 --> 00:10:05,500
向我们保证    
162
00:10:05,540 --> 00:10:07,980
投影的结果是相似的。    
163
00:10:08,020 --> 00:10:11,500
因此,为了证明我们的定理,    
164
00:10:11,540 --> 00:10:14,500
可以选择一个合适的    
165
00:10:14,620 --> 00:10:16,500
投影平面    
166
00:10:16,540 --> 00:10:21,180
(只要它与南极切面平行)。    
167
00:10:21,580 --> 00:10:24,500
现将这个黄色圆周放入一个圆锥体中。    
168
00:10:24,580 --> 00:10:26,500
你还记得吗?    
169
00:10:26,540 --> 00:10:28,500
冰激凌球    
170
00:10:28,620 --> 00:10:30,500
在一个以S为顶点的蛋筒里!    
171
00:10:31,540 --> 00:10:34,500
嗯...我们将黄圆周投射到    
172
00:10:34,540 --> 00:10:39,500
过 S 的水平面上。  
173
00:10:44,540 --> 00:10:48,500
点 B 被投射到了点 D。 
174
00:10:49,540 --> 00:10:51,500
然而,看这个图形!    
175
00:10:51,620 --> 00:10:58,500
三角形 AMB 与 DSB 相似!
176
00:10:58,540 --> 00:11:00,500
为什么?    
177
00:11:00,540 --> 00:11:03,500
嗯...还要使用一次泰勒斯定理,对吧?    
178
00:11:03,540 --> 00:11:06,500
回忆一下我们的引理!    
179
00:11:06,540 --> 00:11:10,500
AMB  是等腰三角形!  
180
00:11:10,620 --> 00:11:14,500
所以,DSB 也是等腰的。   
181
00:11:14,540 --> 00:11:16,260
因此,BS 的长度   
182
00:11:16,300 --> 00:11:19,260
与 DS 相等。  
183
00:11:31,580 --> 00:11:36,780
当点 B 沿着黄色圆周移动时,  
184
00:11:36,820 --> 00:11:39,500
线段 BS 保持与球面相切。  
185
00:11:39,620 --> 00:11:42,580
因此它的长度不变。    
186
00:11:46,580 --> 00:11:52,500
由于 BS 与 DS 是等长的,
187
00:11:52,540 --> 00:11:54,500
移动着的线段 DS   
188
00:11:54,540 --> 00:11:58,500
同样保持恒定的长度。    
189
00:11:58,540 --> 00:12:00,500
然而我们看,    
190
00:12:00,540 --> 00:12:03,500
说 DS 有恒定的长度,  
191
00:12:03,540 --> 00:12:05,500
这意味着点D，    
192
00:12:05,540 --> 00:12:08,980
描绘了一个圆。    
193
00:12:09,020 --> 00:12:11,500
因此,黄色圆周    
194
00:12:11,540 --> 00:12:14,500
在过 S 的水平面上的投影  
195
00:12:14,620 --> 00:12:17,780
是一个圆周。    
196
00:12:20,820 --> 00:12:22,780
我们已经看到,    
197
00:12:22,820 --> 00:12:25,780
由泰勒斯定理,这意味着,    
198
00:12:25,820 --> 00:12:30,260
它在南极切面上的投影    
199
00:12:30,300 --> 00:12:35,180
同样也是一个圆周!    
200
00:12:36,260 --> 00:12:40,180
这正是我们需要证明的!!!     
 

1
00:00:05,000 --> 00:00:09,000
预告： “高维空间"的第二部分!
2
00:00:14,040 --> 00:00:17,000
你将看到动力系统
3
00:00:17,040 --> 00:00:20,000
是研究动态变化的科学......
4
00:00:24,400 --> 00:00:29,200
......拓扑学是研究形状的科学......
5
00:01:14,480 --> 00:01:19,480
......算术是研究数字的科学.
6
00:01:29,440 --> 00:01:32,400
你将发现拓扑学是怎样
7
00:01:32,440 --> 00:01:35,400
启示动力系统学的......
8
00:02:04,040 --> 00:02:07,000
......并且,你也将学习数字是
9
00:02:07,040 --> 00:02:11,000
怎样处于运动状态的......
10
00:02:23,600 --> 00:02:26,560
...或者,运动中的数字是怎样
11
00:02:26,600 --> 00:02:30,560
产生不可思议的拓扑学.
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00:03:13,040 --> 00:03:16,000
是的,你将亲眼看到
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00:03:16,040 --> 00:03:20,000
数学中至今仍未被解决的,
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00:03:20,040 --> 00:03:24,000
最复杂的问题之一:黎曼假设.
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00:03:26,040 --> 00:03:29,000
嗯...是的!你将看到
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00:03:29,040 --> 00:03:32,000
被数学家们称为
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00:03:32,040 --> 00:03:36,000
"极限圆"的动力系统.
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00:03:38,120 --> 00:03:41,080
然而,为了理解所有这些
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00:03:41,120 --> 00:03:44,080
你们需要等待下一张DVD,
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00:03:44,120 --> 00:03:48,080
或许,同样地,再下一张DVD......
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00:03:48,120 --> 00:03:51,080
数学中需要证明是如此之多!
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00:03:54,120 --> 00:03:56,080
回见!