设曲线弧L的两端分别为A、B，L上有一动点P(x, y)，且弧AP的长度为s。以P为端点取一段弧长为△s的弧，弧的另一端为 Q，那么弧AQ的长度就为s+△s，Q的坐标为(x+△x,y+△y)，也就是说Q的坐标相对于P的增量为(△x,  △y)。这里s为自变量，由于其本身就是线性增长的，因此没有高阶无穷小部分，它的微分等于其增量的精确值（微分等于改变量的精确值减去高阶无穷小部分），因此，ds=△s。如果△s→（趋于）0的话，那么点Q就会无限地靠近P。

x, y都是自变量s的函数，即x=x(s), y=y(s)。因此，x, y都是因变量，属于非线性增长，其增量的高阶无穷小部分不一定为0，此时dx≈△x，dy≈△y。只有x, y都是自变量的情况下，Q的坐标才为(x+dx, y+dy)，但是这样的话ds就不等于△s了，因为此时s成了x, y的二元函数。
若L的线密度为ρ (x, y) = xy的话，那么弧段PQ的质量的微分就为dm=xyds。dm是该弧段的精确质量△m去掉了高阶无穷小后的线性部分，它是△m的近似值（注意：m是整个弧段的质量）。要求出△m的准确值，就必须对dm进行积分：

如果让P点和A点重合，Q点和B点重合，也就是s=0，ds=L的弧长时，△m=m，这样我们就可以求出整个曲线弧的质量：

在物理书上可查到转动惯量的计算公式为：

其中r为弧段端点到转轴的距离，dm为弧段的质量。
若转轴为y轴，那么P点到转轴的距离r就等于x，因此，整个曲线弧的转动惯量为

其中的被积表达式表示弧段PQ的转动惯量的近似值：

因为我们只取了P到y轴的距离r，没有考虑Q（当然还包括其他点）到y轴的距离相对于r的增量。也就是说，我们把弧段PQ想象成了与y轴平行的直线段了，这样得到的结果必然是近似值。不过，我们却可以通过积分运算得到精确值。

如果这段弧是x轴上的一段直线，那么直接用定积分计算就可以了，不需要用到曲线积分。

这个例子说明了，ds根本就不是弧长增量△s→ 0的记号，而是表示△s去掉了高阶无穷小后的线性部分。

xyds等于dm而不等于m的原因也是一样，因为我们只考虑了P点的线密度，没有考虑其他点的线密度增量，直接拿P点的线密度与弧长的准确值△s相乘了，所以得到的是近似值，而非精确值。要得到精确值仍需要积分。