和差化积：

半角公式：

其中 sgn 为符号函数。
若 x ≠ 0，则：

由于双曲函数和三角函数之间的对应关系，双曲函数的恒等式和三角函数的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式，只需要将其中的三角函数转成相应的双曲函数，并将含有有两个的积的项（包括）转换正负号，就可得到相应的双曲函数恒等式[5]。如

三倍角公式：

三角函数的三倍角公式为：

而对应的双曲函数三倍角公式则是：

差角公式：

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ce1bbbd6d77b52848c63b202dd42c227345fef3

双曲函数也可以以泰勒级数展开:

是第项伯努利数
是第项欧拉数

下列的扩展在整个复数平面上成立：

双曲函数的积分

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3b8fdf43f8776dffda67dd3149f2d4cae54e5ff

与指数函数的关系

从双曲正弦和余弦的定义，可以得出如下恒等式:

和

复数的双曲函数

因为指数函数可以定义为任何复数参数，也可以扩展双曲函数的定义为复数参数。函数和是全纯函数。

指数函数与三角函数的关系由欧拉公式给出：

所以:

因此，双曲函数是关于虚部有周期的，周期为（对双曲正切和余切是）。

反双曲函数是双曲函数的反函数。它们的定义为：

[img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4037cf41ed88f824727044066df30adc8d80109a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|

以上文字來自中文維基百科：https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E5%87%BD%E6%95%B0