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在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，从它们可以导出双曲正切函数等，其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数。

双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。

射线出原点交单位双曲线于点，这里的是射线、双曲线和x轴围成的面积的二倍。对于双曲线上位于x轴下方的点，这个面积被认为是负值

最简单的几种双曲函数为[1]：

双曲正弦：


双曲余弦：

双曲正切：

双曲余切：当

双曲正割：


双曲余割：当

函数是关于y轴对称的偶函数。函数是奇函数。

如同当遍历实数集时，点（, ）的轨迹是一个圆一样，当遍历实数集时，点（, ）的轨迹是单位双曲线的右半边。这是因为有以下的恒等式：

参数t不是圆角而是双曲角，它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点（, ）的直线之间的面积的两倍。

历史

在直角双曲线（方程）下，双曲线三角形（黄色），和对应于双曲角u的双曲线扇形（红色）。这个三角形的边分别是双曲函数中和的倍。

在18世纪，约翰·海因里希·兰伯特引入双曲函数[2]，并计算了双曲几何中双曲三角形的面积[3]。自然对数函数是在直角双曲线下定义的，可构造双曲线直角三角形，底边在线上，一个顶点是原点，另一个顶点在双曲线。这里以自然对数即双曲角作为参数的函数，是自然对数的逆函数指数函数，即要形成指定双曲角，在渐近线即x或y轴上需要有的或的值。显见这里的底边是，垂线是。

通过旋转和缩小线性变换，得到单位双曲线下的情况，有：

单位双曲线中双曲线扇形的面积是对应直角双曲线下双曲角的。

虚数圆角定义

双曲角经常定义得如同虚数圆角。实际上，如果是实数而，则

 

所以双曲函数和可以通过圆函数来定义。这些恒等式不是从圆或旋转得来的，它们应当以无穷级数的方式来理解。特别是，可以将指数函数表达为由偶次项和奇次项组成，前者形成函数，后者形成了函数。函数的无穷级数可从得出，通过把它变为交错级数，而函数可来自将变为交错级数。上面的恒等式使用虚数，从三角函数的级数的项中去掉交错因子，来恢复为指数函数的那两部分级数。

双曲函数可以通过虚数圆角定义为：

双曲正弦：[1]


双曲余弦：[1]

双曲正切：


双曲余切：

双曲正割：


双曲余割：

这些复数形式的定义得出自欧拉公式。

与三角函数的类比

奥古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科书《Trigonometry and Double Algebra》中将圆三角学扩展到了双曲线[4]。威廉·金顿·克利福德在1878年使用双曲角来参数化单位双曲线。

给定相同的角α，在双曲线上计算双曲角的量值（双曲扇形面积除以半径）得到双曲函数，角得到三角函数。在单位圆和单位双曲线上，双曲函数与三角函数有如下的关系:

正弦同样是从x轴到曲线的半弦。
余弦同样是从y轴到曲线的半弦（图中的余弦是长方形的另一条边）。

正切同样是过x轴上单位点（1,0）在曲线上的切线到终边的长度。
余切同样是从y轴与过终边和曲线交点的切线与y轴的交点和曲线连线之长度。
正割同样是在一个有正切和单位长的直角三角形上，但边不一样。
余割同样是y轴与过终边和曲线交点的切线与y轴的交点和原点之距离。

角的量值可以从0到无限大，但实际上只会介于到（360度）之间，其余是的同界角，再绕着圆旋转，故三角函数可以有周期。双曲角的量值可以从到无限大，但实际上不会超过（45度），故无法如三角函数一样有周期性。

与双曲函数有关的恒等式如下:

加法公式：

二倍角公式：