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狭义相对论简介2
二年級 六級
1樓 發表于:2014-11-13 06:25

【本帖目录】

2楼:同时的相对性

3楼:同地的相对性
4楼:洛伦兹变换的逆变换
5楼:不同参照系下测量物体长度
6~7楼:具有加速运动差异的两个观测者分别观测到的对方的加速度不相等


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二年級 六級
2樓 發表于:2014-11-13 06:26

同时的相对性:
在某一参照系K中看来,同时发生于不同地点的两个事件,在另一个相对K运动的参照系K'中看来,这两个事件不仅不是同地发生的,而且也不是同时发生的,发生时间有先后之分。

原因很简单:
如果在K系来看,发生在两个不同地点x1和x2处的两个事件1号事件(发生在x1)和2号事件(发生在x2)是同时发生的,则1号事件发生时刻t1和2号事件发生时刻t2是相等的,即t1=t2。
我们通过洛伦兹变换钟的时间坐标变换T=γ(t-vx/c^2)计算另一个参照系K'中1号事件发生时刻T1和2号事件发生时刻T2就可以得到:
T1=γ(t1-vx1/c^2)
T2=γ(t2-vx2/c^2)
由于t1=t2,所以我们可以都用t1代表,于是上面的式子变成:
T1=γ(t1-vx1/c^2)
T2=γ(t1-vx2/c^2)
可见,T1无法和T2相等,因为x1≠x2。
这就说明,在K系两个事件同时发生,但在K'系就因为两者发生地点不同,所以不是同时发生。
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3樓 發表于:2014-11-13 06:26

在一个参照系K中同一地点发生在不同时刻的两个事件,在另一相对K运动的参照系K'看来,既不是同时发生,又不是发生于同一个地点。

原因同样很简单:
如果在K系来看,发生在两个不同时刻t1和t2的两个事件1号事件(发生在t1)和2号事件(发生在t2)是同地发生的,则1号事件发生位置x1和2号事件发生位置x2是相等的,即x1=x2。
我们通过洛伦兹变换中的空间坐标变换X=γ(x-vt)计算另一个参照系K'中1号事件发生位置X1和2号事件发生位置X2就可以得到:
X1=γ(x1-vt1)
X2=γ(x2-vt2)
由于x1=x2,所以我们可以都用x1代表,于是上面的式子变成:
X1=γ(x1-vt1)
X2=γ(x1-vt2)
可见,X1无法和X2相等,因为t1≠t2。

这就说明,在K系两个事件同地发生,但在K'系就因为两者发生时刻不同,所以不是同地发生的。
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4樓 發表于:2014-11-13 06:26

假定K参照系为第一观察者所在参照系,也叫“相对第一观测者静止的参照系”,简称“静止系”,K'系为第二相对观察者所在参照系,也叫“相对第一观察者运动系,相对第二观察者静止系”,简称“运动系”。 
x,y,z,t,v(x)是被观测物体在“静止系”的三维空间坐标,时间,三维速度分量。 
X,Y,Z,T,V(X)是被观测物体在“运动系”的三维空间坐标,时间,三维速度分量。 
γ=1/[(1-u^2/c^2)^(1/2)] >1是“静止系”中“洛仑兹扩张因子”。
洛伦兹变换X=γ(x-ut),Y=y,Z=z和T=γ(t-ux/c^2)
其逆变换为:
x=γ(X+uT),y=Y,z=Z和t=γ(T+uX/c^2)


推导:
根据爱因斯坦速度变换V(X)=[v(x)-u]/([1-v(x)u/c^2)],由于在xyz-t系看来,XYZ-T系在以速度u运动,而xyz-t 系自认为速度v(x)=0(相对自己静止),则xyz-t系在XYZ-T系中的速度V(X)就是V(X)=[v(x)-u]/([1-v(x)u /c^2)]=(0-u)/(1-0)=-u

那么,当我们把XYZ-T系看作静止系,则它到xyz-t系的洛伦兹变换就是:
γ'=1/[(1-(-u)^2/c^2)^(1/2)]=1/[(1-u^2/c^2)^(1/2)]=γ>1
x=γ'[X-(-u)T],y=Y,z=Z和t=γ'[T-(-u)X/c^2],整理得:
x=γ(X+uT),y=Y,z=Z和t=γ(T+uX/c^2)
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5樓 發表于:2014-11-13 06:33

下图中,蓝色参照系为运动系XYZ-T,黑色为静止系xyz-t。

已知在黑色xyz-t系中“同时测量(在t0=0时刻)”得到的两个位置是x0和x1。
根据洛伦兹空间坐标变换X=γ(x-vt),x0=0对应XYZ-T系的X0,x1对应XYZ-T系的X1,于是有:
X0=γ(x0-vt0)=γx0=0
X1=γ(x1-vt0)=γx1>x1
我们把在xyz-t系测量x0点的事件叫做事件A,把在xyz-t系测量x1点的事件叫做事件B,则两个事件发生的时刻分别为ta=tb=t0=0
根据洛伦兹时间坐标变换T=γ(t-vx/c^2),在XYZ-T系看来,这两个事件对应的发生时间就是:
Ta=γ(t0-vx0/c^2)=0
Tb=γ(t0-vx1/c^2)=-γvx1/c^2
显然是满足“同时的相对性”规则,Ta≠Tb。说明在XYZ-T系,AB两个事件并不同时发生。

现在我们假定有人在XYZ-T系中同时测量了与X0X1线段相同的一段长度,也就是说,该参照系内在T0时刻同时发生了两个事件C(测量X0)和D(测量X1),它们的发生时刻分别为Tc=Td=T0

通过洛伦兹变换的逆变换x=γ(X+uT)和t=γ(T+uX/c^2),可以计算出事件C(发生在Tc=T0=0时刻,位置Xc=X0=0)和事件D(发生在Td=T0=0时刻,位置Xd=X1=0)在xyz-t系中的数据:
xc=γ(Xc+uTc)=0
xd=γ(Xd+uTd)=γX1>X1

前面我们计算过X1=γ(x1-vt0)=γx1>x1
xd=γX1=γ²x1>X1>x1

这就说明了一个重要问题:在xyz-t系中同时测量的一段长度x1-x0=x1 不等于 与“这段长度通过洛伦兹变换 变换到XYZ-T系的长度X1-X0”等长的Xd-Xc长度通过洛伦兹逆变换 变换回xyz-t系的长度xd-xc。

在牛顿理论中,通常我们认为,xyz-t系中一段长度x1-x0变换到XYZ-T系得到长度X1-X0,如果把长度X1-X0变换回xyz-t系,无论是否同时测量两端,都应该重新得到长度x1-x0。
但相对论中显然存在“是否同时测量两端”造成的显著差异。
如 上图,相对论中,在XYZ-T系中同样一段长度X1-X0,如果它是在xyz-T系中同时测量两端的,那么它在xyz-t系种对应长度就是x1-x0;如 果X1-X0是在XYZ-T系中同时测量两端的,那么它就对应xyz-t系中的长度xd-x0;在不同参照系中同时测量两端,将对应完全不同的结果。

通过上面的分析我们发现,在一个参照系中同时测量两端的长度,变换到另一个参照系后得到的长度都是比原来长的,是原来长度的γ>1倍。

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6樓 發表于:2014-11-13 06:33

解释:这是相对论中的一个极其重要的结论,甚至可以说最重要也不为过。它直接指出了双生子佯谬的答案。我们现在就来证明它,我们使用反证法:

我们假设最简单的加速运动状况:匀加速直线运动,也就是说,加速度不随时间改变。
我们希望证明下面这个命题是错的:
“在 相对于静止系作匀加速运动的运动系 中看来,静止系也在作匀加速运动”。

正常的具体计算涉及微积分,考虑到部分读者可能看不懂,所以我在这里所进行的列式计算,只使用初等数学,仍然有困难的读者只看定性讨论即可。 

设观察者A看来,观察者B在作匀加速直线运动(加速度a是个常量),则A认为B的速度符合方程u=at(为简化问题,设初速度为0)。 

那么,按照这个速度u=at,通过洛仑兹变换计算一下B系中A的速度就是(已知条件A在自己参照系速度v(x)=0,A看B参照系速度u=at): 
V(X)=[v(x)-u]/([1-v(x)u/c^2)] 
=[0-at]/([1-0*at/c^2)] 
=-at 

看看A系中u=at的含义:为简化问题,我们假设B在A系初位置x0=0,运动开始时间为t0=0,此时A,B位置重合。 
加速运动到t时刻末位置: 
x=0.5at² 
运动距离: 
x-x0=0.5at²-0=0.5at² 
运动时间: 
t-t0=t 
看看在B系的情况,假定B系中A,B重合位置也对应X0=0,T0=0,则对应的 
X=γ(x-at²)(其中γ=1/√(1-a²t²/c²) ) 

则加速运动总位移: 
X-X0=X-0=X 
总时间应该是: 
T-T0=T-0=T 
=γ(t-atx/c²)(其中γ=1/√(1-a²t²/c²) )
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7樓 發表于:2014-11-13 06:33

如果在B系看来,A系也在匀加速运动,则按照匀加速直线运动的位移公式有: 
X=0.5AT² 
A=2X/T² 
=2γ(x-at²)/γ²(t-atx/c²)² 
=2(x-at²)/γ(t-atx/c²)² 

代入x=0.5at²得到 
A=-at²/γ(t-a²t³/c²)² 
=-[at²√(1-a²t²/c²)]/(t-a²t³/c²)² 

看来我们无论如何不能消去t 
这说明,动系中的静系的加速度A不是一个只和常数a和c相关的量,而是一个随着时间t在改变的量。这直接违反了我们假设“在B系看来,A系也在匀加速运动”的前提,说明我们的前提不成立。 

那么合理的解释只有一个,在B系看来,A系在作变加速运动(加速度随时间改变)。 

这就告诉我们一个很关键的结论: 
具有加速运动差异的两个观测者分别观测到的对方的加速度不相等。


正 是由于这个结论的存在,一对生理进程完全相同的孪生兄弟,一个乘坐火箭离开地球再返回,一个一直留在地球上,虽然在火箭看来,地球上的那个兄弟相对于火箭 也有一个加速远离之后返回的过程,而且“看起来”这个过程与地球上的兄弟看到火箭离开又返回的过程异曲同工,但是由于两个过程的各个阶段的加速度都是不同 的,所以两个兄弟重新在地球见面时,一定有一个兄弟经历了“更剧烈”的加速过程(实际上就是火箭里的那位,这里我们不作具体解释),因此他实际上平均运动 速度比地面上的兄弟要快,按照动钟变慢的结论我们就可以知道,火箭上的兄弟就像是动钟,他的衰老变化过程减慢,他返回地面时,看起来比地面上的兄弟衰老得 程度要轻一些,所以地球上的那位看起来比他老。
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8樓 發表于:2014-11-13 06:34

完毕

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作者: 厉风
最後回復:厉风
最後回復時間:2014-11-13 06:34
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